Матричное представление трехмерных преобразований

Аналогично тому, как двумерные преобразования описываются матрицами размером 3x3, трехмерные преобразования могут быть представлены в виде матриц размером 4x4. И тогда трехмерная точка (х, у, z) записывается в однородных координатах как (W*x, W*y, W*z, W), где W0. Если W1, то для получения трехмерных декартовых координат точки (х, у, z) первые три однородные координаты делятся на W. Отсюда, в частности, следует, что две точки H₁ и H₂ в пространстве однородных координат описывают одну и ту же точку трехмерного пространства в том и только в том случае, когда H₁ = С*H₂ для любой константы С0.

Трехмерную систему координат будем считать правосторонней (рис.).

Правосторонняя система координат

Примем соглашение, в соответствии с которым положительными будем считать такие повороты, при которых (если смотреть с конца положительной полуоси в направлении начала координат) поворот на 90⁰ против часовой стрелки будет переводить одну положительную полуось в другую. На основе этого соглашения строится следующая таблица, которую можно использовать IK для правых, так и для левых систем координат:

Если ось вращения	Положительным будет направление поворота
X Y Z	От Y к Z От Z к X От X к Y

Эти положительные направления отмечены также на рис.

Мы применяем здесь правостороннюю систему координат, поскольку она хорошо знакома большинству людей, хотя в трехмерной графике чаще более удобна левосторонняя система, так как ее легче представить наложенной на поверхность экрана дисплея позволяет естественно интерпретировать тот факт, что точки с большими значениями z находятся дальше от наблюдателя.

Y

Z

X

Отметим, что в левосторонней системе положительными будут повороты, выполняемые по часовой стрелке, если смотреть с конца положительной полуоси в направлении начала координат.

Трехмерный перенос является простым расширением двумерного:

10 0 0

01 0 0

M(m_x m_y m_z) = 0 0 1 0

m_x m_y m_z 1

т. e. [x y z 1] * M(m_x, m_y, m_z) = [x+m_x y+m_y z+m_z 1].

Начальная позиция Конечная позиция

Рис. Преобразование точек Р₁, Р₂ и Р₃ из начальной позиции в конечную.

Масштабирование расширяется аналогичным образом:

S_x 0 0 0

0 S_y 0 0

S(S_x, S_y, S_z) = 0 0 S_z 0

0 0 0 1

В самом деле, [х у z l] * S(S_x, S_y, S_z) = [S_x*x S_y*y S_z*z I].

Двумерный поворот является в то же время трехмерным поворотом вокруг оси Z. В трехмерном пространстве поворот вокруг оси Z описывается выражением

cos sin 0 0

- sin cos 0 0

Rz() = 0 0 1 0

0 0 0 1

Это легко проверить: в результате поворота на 90° вектора [1 0 0 1], являющегося единичным вектором оси х, должен получиться единичный вектор [0 1 0 1] оси у. Вычисляя произведение

0 1 0 0

— 1 0 0 0

[1 0 0 1] = 0 0 1 0

0 0 0 1

получаем предсказанный результат [0 1 0 1].

Матрица поворота вокруг оси X имеет вид

1 0 0 0

0 cos sin 0

Rx() = 0 - sin cos 0

0 0 0 1

Матрица поворота вокруг оси Y имеет вид

cos 0 -sin 0

0 1 0 0

Ry() = sin 0 cos 0

0 0 0 1

Столбцы (и строки) верхней левой подматрицы размером 3x3 матриц Rz(), Rx() и Ry() представляют собой взаимно ортогональные единичные векторы, интерпретация которых такая же, что и двумерном случае.

Все эти матрицы преобразований имеют обратные матрицы.

Матрица, обратная M, получается подстановкой знака минус перед m_x, m_y и m_z; обратная S — заменой Sx, Sy и Sz на обратные им значения, а для каждой из трех матриц поворота — выбором отрицательного угла поворота.

Результатом произвольной последовательности поворотов вокруг осей х, у и z является матрица А, имеющая вид

r₁₁ r₁₂ r₁₃ 0

r₂₁ r₂₂ r₂₃ 0

A = r₃₁ r₃₂ r₃₃ 0

0 0 0 1

Подматрицу поворота размером 3x3 называют ортогональной, поскольку ее столбцы являются взаимно ортогональными единичными векторами. При повороте, задаваемом матрицей, эти единичные векторы совмещаются с осями х, у и z. Иногда возникает необходимость определить матрицу поворота, соответствующую таким направлениям. Матрицы поворота сохраняют длину и углы, а матрицы масштабирования и переноса не сохраняют.

Можно перемножить произвольное число матриц поворота, масштабирования и переноса. Результат всегда будет иметь вид

R₁₁ R₁₂ R₁₃ 0

R₂₁ R₂₂ R₂₃ 0

A = R₃₁ R₃₂ R₃₃ 0 (**)

M_x M_y M_z 1

Верхняя левая подматрица R размером 3 х 3 (как прежде подматрица 2 х 2) будет описывать суммарные поворот и масштабирование, в то время как подматрица M будет задавать последующий совокупный перенос. С точки зрения быстродействия проведения вычислений выгоднее выполнять преобразования явно:

[x' y' z'] = [x y z] * R + M,

где R и M - подматрицы (**)