Практическая часть

1. Выполнить ПФЭ или ДФЭ для модели рис.1 по вариантам, указанным в табл. 8.

Таблица 8

Вариант	Тип плана	Переменные
				L	T	rср	Kз
1 2 3 4 5 6 7	ПФЭ ДФЭ ДФЭ ПФЭ ПФЭ ДФЭ ДФЭ	+ + + + + + +	+ + + + + + +	+ + +	+ +	+ +	+ + +

В табл. 8 ПФЭ и ДФЭ – соответственно полный и дробный факторный эксперименты. Искомые переменные: Т - среднее время задержки заявки, r_ср - средняя длина очереди, К_з - коэффициент загрузки. Значения окликов (Т, r_ср, К_з) на каждом опыте сведены в табл. 9. Область значений независимых переменных принята следующей:

=52, =52,L=2.

Таблица 9

Номер опыта	Т		rср		Кз
	ПФЭ	ДФЭ	ПФЭ	ДФЭ	ПФЭ	ДФЭ
1 2 3 4 5 6 7 8	4,3 8,8 12,1 24,7 3,0 3,0 8,8 8,8	6,4 8,8 3,0 18,8 -- -- -- --	0,42 1,85 0,75 3 0 0 0,25 0,25	1,0 0,25 0 1,75 -- -- -- --	1 1 1 1 0,42 0,42 1 1	1 1 0,42 1 -- -- -- --

Планирование эксперимента провести в такой последовательности:

- провести выбор факторов, влияющих на искомую характеристику, определить уровни факторов;

- по аналогии с табл. 4, 5 составить линейный план ПФЭ или ДФЭ;

- рассчитать коэффициенты регрессии;

- провести анализ полученной регрессии.

2. Пользуясь методикой корреляционно-регрессионного анализа, по данным п.1 настоящей практической части определить линейные зависимости T, r_ср, К_з от , , L. Для этого вычислить коэффициент корреляции, определить количественное значение коэффициентов регрессии и установить их значимость. Полученные данные сравнить с данными планирования эксперимента.

3. Концептуальное моделирование

Рассмотрим концептуальное моделирование на примере производственных объектов, представленных системами массового обслуживания. Под концептуальным моделированием в дальнейшем будем понимать переход от словесного к формальному (математическому) описанию будущей модели. Для этого необходимо выполнить следующие операции:

- составить подробное словесное описание объекта;

- определить и формализовать задачу моделирования;

- определить цель и провести выбор математической записи критерия цели моделирования (критерий эффективности);

- в свете поставленной задачи и цели определить границы модели и внешней среды;

- выбрать математический аппарат, с помощью которого можно описать задачу и цель;

- провести при необходимости детализацию модели.

Составление словесного описания объекта

На этом этапе проводится подробное описание процесса функционирования объекта или его фрагмента. При этом подробно рассматриваются все элементы объекта и определяются его параметры. Устанавливаются связи между ними. Проводится описание внешней среды в виде описания входных и выходных потоков или сигналов. Для объекта описываются процессы и их параметры. Результатом описания, как правило, является функциональная схема (структура объекта), где в качестве элементов фигурируют узлы модели с описанием выполняемых функций и связи между элементами в виде информационных или материальных потоков.

Например, объектом моделирования является вычислительный центр (ВЦ). Входной поток – студенты, которые поступают с интервалом времени 82 мин в ВЦ для работы на ЭВМ1 (ЭВМ отладки программ) и ЭВМ2 (ЭВМ исполнения программ). Часть входного потока (25 %) поступает на ЭВМ1, а затем на ЭВМ2. Другая часть поступает непосредственно на ЭВМ2. После работы на ЭВМ2 20 % студентов возвращаются для повторной работы на ЭВМ1 и ЭВМ2. На входе ВЦ имеется очередь, максимальная длина которой 4 человека. ЭВМ1 обслуживает студентов в течение 81 мин, ЭВМ2 – в среднем 8,5 мин.

Структура ВЦ, отображающая процесс функционирования, имеет вид рис. 2.

Поток отказов обслуживания

Рис. 2

Вычислительный центр обладает следующими параметрами:

- системными: один входной случайный поток, две ЭВМ, одна очередь на 4 студента, 20 % работ после ЭВМ2 возвращаются для повторного обслуживания, четверть студентов обращается к ЭВМ1, остальные – к ЭВМ2;

- процессорными: интервалы поступления студентов 82 мин, время обслуживания ЭВМ1 - 81 мин, ЭВМ2 – в среднем 8,5 мин.

Описание и формализация задачи моделирования

Перед началом моделирования необходимо определить задачу моделирования, под которой, как правило, понимается математическое описание процесса функционирования объекта. Поставленная задача подвергается словесному, а затем формальному описанию, определяются функции, с помощью которых можно формализовать процесс функционирования объекта. Под функциями понимаются виды преобразований, выполняемых на объекте, входных потоков или сигналов, в выходные потоки при определенных условиях и ограничениях. Для этого используются различные теории (теория потоков, теория автоматического управления, теория агрегатов, теория массового обслуживания и т.п.). Например, в системах обслуживания задачей является математическое описание процесса распределения ресурсов среди потока пользователей.

Допустим, что в качестве объекта фигурирует система обслуживания, основными элементами которой являются входные потоки, поступающие из внешней среды, обслуживающие аппараты и правила обслуживания. В этом случае основными функциями, с помощью которых можно реализовать задачу, являются функции, описывающие процесс функционирования объекта и формализующие указанные выше элементы.

Так, по теории массового обслуживания входной поток можно формализовать уравнением t_i = t_i-1 + _i, где t_i – момент поступления в систему i-го пользователя, _i – интервал времени между пользователями. Интервал времени между пользователями подчиняется закону распределения и обладает соответствующими числовыми характеристиками.

Работу обслуживающего аппарата можно формализовать уравнением обслуженного выходного потока t= t + , гдеt- момент освобождения аппарата от обслуживания, t- момент начала обслуживания, - время обслуживанияi-го пользователя (может принимать два значения:, если пользователь обратился в свободную систему и, если пользователь обратился в занятую систему). Время обслуживания – величина случайная, подчиняется закону распределенияс соответствующими числовыми характеристиками. Если в системе есть очереди, то они формализуются в виде текущих очередей, средних очередей, максимальных очередейи т.п.

Правила обслуживания моделируются с помощью различных математических условий. Например, по условию t_i> t проверяется, занята или свободна система. Выбор пути движения пользователя по системе осуществляется по значению вероятности pa, где 0a1. По условию сравнения двух характеристик пользователь системы может направляться по тому или иному пути и т.п.

Как правило, рассмотренные выше переменные случайные и подчиняются или равномерному закону распределения в диапазоне от a до b, или показательному закону с интенсивностью и легко реализуются средствами имитационного моделирования.

Так, в примере с ВЦ задачей моделирования является воспроизведение процесса обслуживания студентов вычислительным центром. Основные функции ВЦ запишутся в следующем виде.

1. Входной поток: t_i = t_i-1 + _i, где _i – интервал поступления студентов в ВЦ подчиняется равномерному закону распределения (8±2 мин).

2. Обслуживающие аппараты:

- ЭВМ1 – t= t + ;

- ЭВМ2 – t= t + , где ,- время обслуживания соответственно ЭВМ1 и ЭВМ2 (t= t_i если свободны соответствующие ЭВМ, t= t, если i-я ЭВМ занята, t=t, если к ЭВМ2 обращаются после ЭВМ1).

Время обслуживания ЭВМ1 подчиняется равномерному закону (8±1 мин), ЭВМ2 - показательному закону (математическое ожидание 8,5 мин).

3. Правила обслуживания:

- отказ в обслуживании из-за переполнения очереди выполняется по условию r_i 4, где r_i - текущая длина очереди;

- если допустить, что 1/4 студентов обращается к ЭВМ1, остальные – к ЭВМ2, тогда по вероятности р0,25 можно выполнить распределение студентов;

- повторное обслуживание определяется по вероятности р0,2.

Определение и формализация цели моделирования

После того, как описание задачи и ее формализация выполнены, проводится описание цели моделирования. Целью моделирования обычно является определение характеристик процесса или параметров объекта, подлежащих оценке или выбору. Как правило, целей несколько, поэтому желательно выбирать их таким образом, чтобы они могли быть реализованы тем же математическим аппаратом, что и задача. Выбранные задача и цели в дальнейшем являются основополагающими, и все изменения в модели, её структуре должны подчиняться только этим задачам и целям. В модель не должны вводиться элементы, которые не дают вклад в выполнение поставленных задач и целей.

Например, в системах обслуживания целью обычно является определение таких характеристик, как коэффициент загрузки системы К_з, средняя длина очереди на обслуживание , среднее время обслуживания одного пользователя и т.п.

Для количественной оценки выполнения цели берется критерий. Критерием может быть характеристика объекта или оценка эффективности работы объекта. При выборе математической записи критерия стремятся к тому, чтобы он был единственным, а если их множество, то чтобы они были независимы друг от друга.

Так, в системах обслуживания в качестве критерия можно взять и формализовать:

- коэффициент загрузки обслуживающего аппарата К_з=/Т;

- среднюю длину очереди = 1/n;

- среднее время обслуживания одного пользователя =1/n.

В записях критерия - суммарное время обслуживанияn пользователей, поступивших за время проведения эксперимента (моделирования) Т, r_i – длина очереди, - время обслуживанияi-го пользователя.

Так, в рассматриваемом примере за цель принимается определение коэффициента загрузки ЭВМ1 за 8 часов (480 мин) работы ВЦ. Критерий цели в этом случае определится по формуле К_ЗЭВМ1=.

Определение границ модели

На этапе определения границ модели из всего объекта выделяется фрагмент, отвечающий поставленной цели. Он подлежит дальнейшему моделированию, остальная часть объекта представляется в виде внешней среды. Если выделение фрагмента привело к изменению характеристик потоков, элементов, связей между ними, то с учетом изменений необходима дополнительная их формализация.

П

ри описании внешней среды указываются только те связи, которые влияют на поставленные задачу и цель моделирования. Остальные связи в модели не учитываются. Обычно связь модели с внешней средой представляется в виде входных потоков (материальных, информационных) или входных сигналов. Вновь установленные связи подлежат математическому описанию на основе ранее выбранных теорий. Как правило, входные потоки или сигналы представляются через параметры, которые фигурируют в математической записи функции модели и критерия цели. В математических записях функции и критерия цели переменные разделяются на два вида. Переменные, определяющие внешнюю среду, устанавливаются как независимые, неизменяемые (наблюдаемые переменные). Например,входного потока. Переменные, описывающие процесс функционирования объекта в модели, представляются в виде управляемых, изменяемых переменных, которые в процессе моделирования можно подбирать, изменять с целью получения требуемых характеристик. Например,- время обслуживания. В итоге строится структура модели с расшифровкой всех внутренних и внешних связей между элементами. Фрагмент объекта, подлежащий моделированию, рассмотренный выше в примере, показан на рис. 3.

Отказы в

обслуживании

Рис.3

В модели фрагмента - управляемая переменная случайная, подчиняющаяся равномерному закону распределения в диапазоне от 7 до 9 мин. Переменная – неуправляемая случайная с равномерным законом распределения в диапазоне от 6 до 10 мин.