1. Организация эксперимента и обработка результатов

Моделирование готовых объектов проводится в виде организации эксперимента и обработки полученных результатов. Экспериментальные исследования, проводимые как на натуре, так и на моделях, должны быть предварительно тщательно продуманы не только в отношении порядка их проведения, но и в отношении выбора способов обработки результатов. Обработанные данные – это данные после выполнения над ними таких математических операций, как построение графиков, пересчет в относительные единицы, выявление функциональных зависимостей и их математическое (аналитическое) представление в виде буквенных выражений (формул). При конструировании этих выражений причинная зависимость может быть достаточно ясной, а может быть и мало заметной. В одних случаях она определяется сразу же при построении графика, а в других случаях для ее определения требуется применять статистические критерии значимости. Однако во всех случаях в результате эксперимента получают некоторую конечную выборку отсчетов из бесконечной совокупности. Чем больше выборка, тем ближе ее распределение к распределению генеральной совокупности.

Допустим, что в результате эксперимента на модели необходимо найти зависимость параметра y от параметра x (y = f(x)). Для ее поиска необходимо обработку вести в такой последовательности.

1. Определить статистические средние (оценки математических ожиданий) параметров y и x по формулам:

; ,

где x_iи y_i – фактические результаты, полученные в ходе эксперимента.

2. Установить функциональную зависимость между параметрами x и y. Для дальнейшего упрощения поиска зависимости ее представляют в линейном виде y = a₀ + a₁x. Если искомая зависимость нелинейная, её необходимо свести к линейному виду путём замены переменных.

3. В полученной линейной зависимости определить, насколько параметры x и y линейно зависят друг от друга. Оценку линейной зависимости произвести с помощью коэффициента корреляции

R = ,

где k_x_,_y – момент корреляции между x и y; – среднее квадратичное отклонение поx и y.

Коэффициент R в линейной зависимости изменяется от -1 до +1. Если R отрицательный, зависимость обратная; если R = 0, зависимость отсутствует.

Коэффициент R на основе статистических данных необходимо определить по формуле

Если R по абсолютному значению окажется меньше 0,3, то зависимость между x и y слабая. Если окажется, что , зависимость сильная.

Допустим, что зависимость между x и y оказалась высокая. В этом случае переходят к следующему пункту.

4. Определить количественное значение коэффициентов а₀ и а₁ по методу наименьших квадратов. Для этого необходимо записать формулу суммы квадратов отклонений значений y_i экспериментального от теоретического (y_i=a₀ + a₁x_i)

Полученная функция Z является функцией двух неизвестных коэффициентов а₀ и а₁. Их необходимо подобрать таким образом, чтобы теоретическое значение y_i мало отличалось от экспериментального значения y_i. А это значит, найти такие значения а₀, а₁, при которых Z приняла бы минимальное значение. Минимум функции Z можно найти, приравняв к нулю частные производные. В данном случае будем иметь два уравнения с частными производными:

; .

Решив указанную систему, найдём искомые коэффициенты а₀ и а₁. Поиск осуществить следующим образом. Дифференциальные уравнения записать на основе статистических данных в виде:

Решив указанную систему, определить коэффициенты по формулам:

; .

5. После того как значения коэффициентов определены, установить их значимость в функциональной зависимости, т.е. определить насколько их значение влияет на зависимость одного параметра от другого. Значимость коэффициентов найти путём сравнения случайных величин t_ф с t_теор_., где t_теор – теоретическая случайная величина, подчиняющаяся t-распределению и заданная таблично для выбранных степени свободы V и уровня доверия (доверительной вероятности). В рассматриваемом случае выбратьV=2. Фактическая величина t_ф для каждого из коэффициентов определяется по формуле