2. Планирование эксперимента

Для математического описания объектов и процессов широко используется такая процедура, как планирование экспериментов.

Модельный эксперимент требует, чтобы при минимальном количестве опытов, варьируя значения независимых переменных по специально сформированным правилам, найти область оптимума и получить ей математическую модель. Подход здесь чисто кибернетический. Весь процесс влияния факторов на свойства представляется в виде «черного ящика». Экспериментатор на первом этапе исследования, по сути дела, абстрагируется от механизма явления, от механизма влияния факторов. Он лишь меняет входы в «черный ящик» и соответственно этому получает разные выходы из ящика.

Схема решения задачи в общем виде предполагает вначале наблюдения за влиянием факторов на параметр оптимизации, а затем поиск связи между ними. Связь, выявляемая в результате опытов, обычно представляется в виде уравнения регрессии

y=b₀++… .

На изменение любого влияющего параметра х_i функция откликается изменением у. Поэтому величина у называется поверхностью отклика, функцией отклика или просто откликом. Функция отклика при этом записывается в виде отрезка степенного ряда.

Решается задача поэтапно. В этом основной принцип метода планирования экспериментов. На первом этапe, варьируя в каждом опыте сразу все независимые переменные (что уже само по себе во много раз уменьшает объем экспериментальной работы), исследователь ищет лишь направление движения к области оптимума. Поверхность отклика при этом исследуется только на небольшом участке. В дальнейшем на каждом этапе в соответствии с результатами, полученными на предыдущих этапах, ставится небольшая серия опытов, результаты которых вместе с интуитивными решениями определяют следующий шаг. Эта процедура заканчивается в области оптимума, где ставится значительно большая серия опытов, и поверхность отклика в области оптимума описывают уже нелинейными функциями. Получающиеся в результате уравнения регрессии служат математическими моделями. По величине коэффициентов этих уравнений, как правило, можно судить о степени влияния факторов и их взаимодействии.

Статистическая значимость коэффициентов свидетельствует о значимости факторов. Такой целенаправленный подход к исследованию значительно эффективнее проведения исследования на основе проб и ошибок или на основе только опыта и интуиции.

Основная идея метода планирования – это возможность целенаправленного оптимального управления экспериментом при неполном знании механизма изучаемого явления, что отвечает идеям кибернетического подхода, предусматривающего формализацию нетворческой части труда исследователя. В основе теории планирования эксперимента лежат методы регрессионного и дисперсионного анализа.

Регрессионный анализ позволяет представлять результат эксперимента в виде функциональной зависимости. Для применения методов регрессионного анализа необходимо соблюдение следующих условий: значения изучаемых параметров процесса (переменных) в каждом опыте следует считать независимыми, нормально распределенными случайными величинами, полагая, что ошибка в параметрах системы, начальных и граничных условиях пренебрежимо мала по сравнению с ошибкой в параметрах процесса; дисперсии параметров системы при переходе от опыта к опыту следует считать однородными, полагая, что опыты достаточно хорошо повторяются.

Дисперсионный анализ, используя разложение суммарной дисперсии на составляющие, позволяет оценить адекватность экспериментальных данных истинным значениям.

В теории планирования эксперимента широко пользуются поня­тием матриц планирования эксперимента, т. е. таблицами, в кото­рых записаны кодированные значения факторов. Каждый столбец в этой таблице (матрице планирования) называется вектор-столбцом. Если сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы равна нулю, то говорят об ортогональности матрицы планирования. Если точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления, то это свойство называется рототабельностью. Комбинация факторов, влияющих на проведение эксперимента, называется уровнем факторов. Если число факторов k известно, то можно найти число опытов N, необходимое для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов. Это число определяется формулой

N=p^k, где p-число уровней.

Эксперимент, при котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Часто применяется так называемый дробный факторный эксперимент (ДФЭ) от полного факторного эксперимента, которым пользуются в тех случаях, когда нужно получить линейное приближение некоторого небольшого участка поверхности отклика вместо всей поверхности. При решении такого типа задачи, например, для трёх факторов можно ограничиться четырьмя опытами, если в планировании для полного факторного эксперимента типа 2² произведение двух влияющих факторов x_ix_j приравнять к третьему фактору x_ij.

Общая схема планирования экспериментов для решения экстремальных задач состоит из следующих этапов: постановка задачи, выбор параметра оптимизации, выбор факторов, составление линейного плана, реализация линейного плана и построение линейной модели, поиск области экстремума, описание области экстремума, интерпретация результатов.