Лабораторная работа № 3

АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

1. Цель работы

Изучение типовых установившихся ошибок линейных систем управления, зависимости ошибок от параметров системы, методов достижения инвариантности.

2. Краткие теоретические сведения

Система автоматического управления должна воспроизводить задающее воздействие с заданной точностью, уменьшая или полностью устраняя при этом влияние возмущающих воздействий. Точность системы управления характеризуется ошибками, которые зависят от типа воздействий, структуры и параметров системы.

2.1 Ошибки систем управления. Передаточные функции ошибок

Рассмотрим систему управления, которая находится под действием задающего и основного возмущающего воздействий, представленную структурной схемой на рис. 2.1.где

Y(s)

V(s)

+

Рис. 2.1

- передаточная функция (ПФ) управляющего устройства (регулятора); - ПФ обобщенного объекта управления (ОУ);- изображения по Лапласу соответственно задающего, возмущающеговоздействий, переменной выхода системыи полной ошибки системы.

Положим Разностьопределяет ошибкуотработки системой задающего воздействия. Уравнение этой ошибки в изображениях

(2.1)

Разделив (2.1) на , получим , где - ПФ системы по ошибке;- ПФ замкнутой системы,- передаточная функция разомкнутой системы.

Очевидно, что , а(2.2)

Рассмотрим систему под действием только возмущающего воздействия, полагая Выходная переменная, появляющаяся за счет возмущения, является в тоже время ошибкой системы от этого воздействия, только с противоположным знаком, т.е.

Найдем изображение выхода системы

где - ПФ системы по возмущению. Тогда

(2.3)

Ошибки, определяемые как оригиналы иимеют переходные и установившиеся составляющие. При анализе точности системы управления интересуются установившимися значениями ошибок, которые можно определять как пределы, если они существуют. Полная (или можно определить, как суммарная) установившаяся ошибка системы в соответствии с принципом суперпозиции определяется следующим образом:

(2.4)

(знак “+” в (2.4) ставится, если возмущение отрицательное и, наоборот,вычитается из, еслиположительное).

2.2. Вычисление установившихся ошибок отработки типовых задающих воздействий

К типовым задающим воздействиям относятся воздействия, представленные степенными функциями времени

(2.5)

и синусоидальной функцией

(2.6)

Величину установившейся ошибки воспроизведения воздействия вида (2.5) целесообразно вычислять по формуле

(2.7)

При выводе формулы (2.7) использованы известная в операторном методе теорема о конечном значении оригинала

(2.8)

и изображение ошибки (2.2).

Изображение функции (2.5) имеет вид

. (2.9)

Подставляя (2.9) и (2.2) в выражение(2.7), получаем

Представляя передаточную функцию разомкнутой системы в стандартном виде

, (2.10)

где - нормирования ПФ, - порядок астатизма,- коэффициент усиления, получаем ПФ ошибки

. (2.11)

Тогда

. (2.12)

Анализируя формулу (2.12) при разных значениях порядка астатизма и степенифункции (2.5) приходим к выводу, что если:

а) , то;

b) ,, то; (2.13)

c) ,,то;

d) ,, то.

Случай соответствует постоянному задающему воздействиюи нулевому порядку астатизма системы. Установившаяся ошибка в этом случае называетсястатической ошибкой . Соответственно система, имеющая в установившемся режиме при постоянном задающем воздействии ошибку, зависящую от величинывоздействия, называетсястатической.

Система, порядок астатизма которой не равен нулю, т.е. не имеет статической ошибки и называетсяастатической.

Случай ,определяет установившиеся ошибки, которые имеют названия, соответствующие физическому смыслу параметрастепенной функции (2.5). В частности, прииустановившаяся ошибка называется ошибкой по скорости, т.е.; прииустановившаяся ошибка называется ошибкой по ускорению.

Случай соответствует тому, что степень множителяв числителе ПФ ошибки(2.11) равна степени знаменателя в изображении входного воздействия (2.9). Это приводит к нулевой установившейся ошибке (2.12). Следовательно, если порядок астатизма системына единицу больше степенивходного воздействия вида (2.5), то система является селективно инвариантной по отношению к этому воздействию.

Определение. Селективная инвариантность – это равенство нулю установившейся ошибки от входного воздействия, изображение которого имеет полюсы, совпадающие с нулями ПФ ошибки.

Для достижения селективной инвариантности ошибки (2.5) от задающего воздействия астатизм системы обеспечивается наличием интегрирующих звеньев в прямом тракте системы, число которых должно быть не менее .

Точность воспроизведения гармонического воздействия (2.6) оценивают амплитудой ошибки по формуле

, (2.14)

где - значение АФХ разомкнутой системы на частоте входного гармонического воздействия. Когда АЧХ разомкнутой системы, допускается оценка.

Для селективной инвариантности системы относительно гармонического задающего воздействия (2.6), изображение которого , ПФ ошибки должна содержать в числителе сомножитель.