2.2. Временные характеристики динамических звеньев

К временным характеристикам звеньев относят весовую (импульсную) функцию и переходную характеристику.

Весовая функция w(t) представляет собой реакцию предварительно невозбужденного звена на дельта-функцию. Весовая и передаточная функции звена связаны между собой преобразованиями Лапласа:

Переходной характеристикой h(t) называется реакция звена на единичную ступенчатую функцию при нулевых начальных условиях. Аналитически единичная ступенчатая функция описывается следующим соотношением

Между весовой функцией и переходной характеристикой существует связь, позволяющая по одной из них находить другую [5]

Для анализа динамических свойств звеньев наиболее часто используется переходная характеристика, что объясняется особенностями ступенчатой функции , которая является широко распространенным воздействием в САУ и достаточно просто формируется на практике. По переходной характеристике, снятой экспериментально, можно определить параметры исследуемого звена [5].

При известной передаточной функции звена W(s) переходная характеристика h(t) вычисляется аналитически с использованием обратного преобразования Лапласа

Для типовых звеньев переходную характеристику удобно находить с помощью формул Хевисайда [1] . Техника применения этих формул такова. Пусть изображение Лапласа переходной характеристики H(s) представляет собой отношение двух многочленов

H(s) = B(s) / A(s).

Если знаменатель A(s) изображения содержит один нулевой корень (s₀ = 0), а остальные корни s₁, …, s_n- простые, то представляя A(s) = sA₀(s), находим переходную характеристику

где .

2.3.Частотные характеристики динамических звеньев

Для наглядного представления частотных свойств звеньев используются частотные характеристики, которые описывают вынужденное движение звена при входном гармоническом воздействии и имеют простую физическую интерпретацию. Пусть на вход динамического звена с передаточной функцией W(s) воздействует гармонический сигнал v(t) = A₀sinωt с амплитудой A₀ и угловой частотой ω.

На выходе устойчивого звена после завершения переходного процесса (т.е. в установившемся режиме) будет наблюдаться также гармонический сигнал y_уст(t) = A₁(ω)sin[ωt + φ(ω)] той же частоты, амплитуда A₁(ω) и фаза φ(ω) которого зависят от частоты входного воздействия.

Отношение амплитуд сигналов на выходе и входе звена R(ω) = A₁(ω) / A₀, определяющее коэффициент передачи звена на различных частотах, называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ). Другими словами АЧХ показывает, как изменяется амплитуда выходного сигнала звена при изменении частоты.

Функция φ(ω) называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ) звена. Она показывает как изменяется фаза выходного гармонического сигнала на различных частотах.

Основной частотной характеристикой звена является амплитудно-фазовая характеристика (АФХ), представляющая собой комплексную функцию W(jω), модуль которой равен АЧХ, а аргумент – ФЧХ, т.е.

|W(jω)| = R(ω), arg W(jω) = φ(ω).

АЧХ является четной функцией частоты, а ФЧХ – нечетной.

В общем случае АФХ определяют как отношение изображений Фурье выходной и входной величин звена при нулевых начальных условиях

W (jω) = Y(jω) / V(jω) = W(s)| _{s = j ω}

и получают на практике из передаточной функции подстановкой s=jω. Функцию W(jω) еще называют частотной передаточной функцией, поскольку она определяет установившуюся реакцию звена на гармонический входной сигнал.

Математически АФХ можно записать в показательной или алгебраической формах:

W (j ω) = R (ω) е ^{j φ (ω)} = U (ω) + j V (ω),

где U(ω) = Re{W(jω)} и V(ω) = Jm{W(jω)} – вещественная и мнимая частотные характеристики. Указанные выше частотные характеристики связаны между собой следующими соотношениями:

АФХ изображается на комплексной плоскости (U, jV) в виде годографа, т.е. совокупности точек, соответствующих значениям функции W(jω) = U(ω) + jV(ω) при изменении частоты от нуля до бесконечности. Для отрицательных значений частот АФХ находится как зеркальное относительно вещественной оси отображение характеристики для положительных частот. Функцию W(jω), построенную при изменении называют диаграммой Найквиста. Таким образом, АФХ или совокупность АЧХ и ФЧХ полностью определяют частотные свойства динамического звена.

На практике широкое распространение получили логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ): логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) и логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ). ЛАЧХ представляет собой график зависимости 20lg |W(jω)| от lgω, ЛФЧХ – график зависимости φ(ω) от lgω.

В том случае, когда звено является минимально-фазовым, его свойства однозначно оцениваются амплитудно-частотной характеристикой. Минимально-фазовым называют динамическое звено, все нули и полюсы передаточной функции которого имеют отрицательные или нулевые вещественные части [5].

Построение ЛАЧХ звена экспериментальным путем осуществляют следующим образом. На вход исследуемого звена подают гармонический сигнал с постоянной амплитудой А₀, частота которого изменяется в определенном диапазоне, и производят измерение амплитуды A₁(ω) выходного сигнала звена в установившемся режиме. По оси абсцисс графика ЛАЧХ откладывается угловая частота ω в логарифмическом масштабе (т.е. lgω), а по оси ординат- значение L(ω) = 20lg|W(jω)| = 20lg|A₁(ω)/A₀| на данной частоте, выраженное в децибелах (дб).

В некоторых случаях целесообразно строить асимптотическую ЛАЧХ. Пусть передаточная функция записана в стандартной форме причем передаточная функциясодержит только сомножители видаили. Тогда правило построения асимптотической ЛАЧХ заключается в следующем [5]:

-определяются сопрягающие частоты ,соответствующие всем сомножителям передаточной функции W(s), и откладываются на логарифмической оси частот;

- строится низкочастотный участок ЛАЧХ, представляющий собой прямую, имеющую наклон –20*υ дб/дек, и проходящую при частоте ω= 1 через точку с ординатой 20 lg k(дб);

- после каждой из сопрягающих частот, начиная с наименьшей, изменяется наклон характеристики на ±20 дб/дек или на ±40 дб/дек в зависимости от того, какому сомножителю соответствует эта сопрягающая частота или.Знак (+) или (-) ставится в зависимости от того, в числителе или знаменателе передаточной функции расположен этот сомножитель;

Наибольшее отличие асимптотической ЛАЧХ от точной характеристики L(ω) наблюдается в области значений ω, расположенных вблизи сопрягающих частот ω_i.