2.4. Статистическое определение вероятности.

Относительная частота события А определяется равенством

,

где m – число испытаний, в которых событие А наступило; n – общее число произведенных испытаний.

При статистическом определении в качестве вероятности события принимают его относительную частоту.

Решение типовой задачи.

Задача 1. Отдел технического контроля обнаружил пять бракованных книг в партии из случайно отобранных 100 книг. Найти относительную частоту появления бракованных книг.

Решение. Относительная частота события А (появления бракованных книг) равна отношению числа испытаний, в которых появилось событие А, к общему числу произведенных испытаний:

Задачи.

2.169. Отдел технического контроля обнаружил пять бракованных книг в партии из случайно отобранных 100 книг. Найти относительную частоту появления брако­ванных книг.

2.170. По цели произведено 20 выстрелов, причем заре­гистрировано 18 попаданий. Найти относительную час­тоту попаданий в цель.

2.171. При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0,9. Найти число годных приборов, если всего было проверено 200 приборов.

2.5. Аксиоматическое определение вероятности.

Для количественного описания степени объективной возможности наступления того или иного наблюдаемого в эксперименте события вводится специальная числовая функция Р(А), называемая вероятностью события А.

Пусть F – поле событий для данного эксперимента. Вероятностью Р(А) называется числовая функция, определенная для всех А F и удовлетворяющая трем условиям (аксиомам вероятностей):

1. Р(А) ≥ 0.

2. Р(Ω)=1.

3. Для любой конечной или бесконечной последовательности наблюдаемых событий таких, чтоØ при,

Так как событие есть множество, то вероятность является также функцией множества. Указанные аксиомы выделяют специальный класс числовых функций, являющихся вероятностными. В соответствии со смыслом этих аксиом вероятность есть неотрицательная, нормированная и аддитивная функция множеств, принадлежащих алгебре F.

Тройку {Ω, F ,Р}, где F – алгебра подмножеств множества Ω, Р – числовая функция, удовлетворяющая аксиомам 1-3, называют вероятностным пространством случайного эксперимента.

Решение типовой задачи.

Задача 1. Доказать, что если для некоторого эксперимента , то

Решение. Так как , тоАВ = А, поэтому , причем оба слагаемых несовместны. В силу аксиомы аддитивности, а в силу аксиомы 1)Следовательно,.

Задачи.

Доказать справедливость следующих следствий из определения вероятности события:

2.172*. Р (Ø) = 0.

2.173. .

2.174*. .

2.175*. Р (А + В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ) (формула сложения вероятностей).

2.176. .

2.177. .

2.178. Доказать, что, если А = В, то Р (А) = Р (В).

2.179*. Пусть А, В и С – три события из поля событий для данного эксперимента. Показать, что

.

2.180*. Пусть А и В – наблюдаемые события в эксперименте. Показать, что .

2.181. Доказать, что если , тоР (А - В) = Р (А) - Р (В).

2.182. Доказать, что если А и В –наблюдаемые события в эксперименте, то справедливо равенство .

2.183. Показать, что для любых наблюдаемых в эксперименте событий А, В и С справедливо неравенство

Р (АВ + ВС + АС) (Р (А) + Р (В) + Р (С)).

2.184*. Показать, что для трех наблюдаемых в эксперименте событий А, В и С справедлива следующая формула сложения вероятностей

.

2.185*. Известно, что для данного эксперимента совместное наступление событий А и В с необходимостью влечет за собой наступление события С. Доказать, что .