Задачи на схему упорядоченных разбиений.

2.52*. п различных предметов случайным образом распреде­ляются по s занумерованным ящикам таким образом, чтобы k-й по счету ящик содержал ровно предметов (n₁ + n₂ + … + n_s = п). Показать, что число всех элементарных исходов данного опыта (число упорядоченных разбиений из п по s) определяется формулой

2.53. Десять приезжих мужчин, среди которых Петров и Иванов, размещаются в гостинице в два трехместных и один четырехместный номер. Сколько существует способов их размещения? Какова вероятность события А, состоящего в том, что Петров и Иванов попадут в четырехместный номер?

2.54. В условиях задачи 2.3. найти вероятность события D = {будут выбраны: 1 первокурсник, 2 второкурсника и 2 третье­курсника}.

2.55. 20 футбольных команд, среди которых 4 призера предыдущего первенства, по жеребьевке разбиваются на 4 занумерованные подгруппы по 5 команд. Найти вероятности событий: А = {в первую и вторую подгруппы не попадет ни один из призе­ров}, В = {в каждую подгруппу попадет один из призеров}.

2.56. Множество Е состоит из п символов, среди которых п₁ символов e₁, n₂ символов е₂, ..., n_s символов e_s . Опыт состоит в поэлементном выборе без возвращения всех п элементов множества Е и записи слова.

а)** Показать, что число всех различных слов, полученных в данном эксперименте, определяется формулой .

б) Какова вероятность, что в полученном слове первыми п₁ буквами является символ е₁?

2.57. Бросается 6 игральных костей. Найти вероятности следующих событий: А = {выпадут 3 единицы, две тройки и одна шестерка}, В = {выпадут различные цифры}, С = {выпадут три и только три одинаковые цифры}, D = {выпадут только нечетные цифры}, Е = {выпадут три четные и три нечетные цифры}.

2.58. Из разрезной азбуки выкладывается слово математи­ка. Затем все буквы этого слова тщательно перемешиваются и снова выкладываются в случайном порядке. Какова вероятность того, что снова получится слово математика?

2.59. 52 карты раздаются четырем игрокам (каждому по 13 карт). Найти вероятности следующих событий: А = {каждый игрок получит туза}, В = {первый игрок получит все 13 карт одной масти}.

2.60. (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятности следующих событий: С = {все тузы попадут к од­ному из игроков}, D = {двое определенных игроков не получат ни одного туза}.

2.61*. В отделение связи поступило М телеграмм, которые слу­чайным образом распределяются по N каналам связи. Каналы пере­нумерованы. Найти вероятность того, что на 1-й канал попадет ровно k₁ телеграмм, на 2-й канал — k₂ телеграмм и т. д., на N-й канал — k_N телеграмм, причем

2.62*. М телеграмм случайным образом распределяются по N каналам связи (N > М). Найти вероятность того, что из N каналов будет l₀ таких, на которые не попадет ни одна телеграмма, l₁ — таких, на которые попадет ровно одна телеграмма, и т.д.; l_M таких, на которые попадут все М телеграмм: l₀+ l₁ + ... + l_М = N; 0*l₀+ 1*l₁ + ... + M*l_М = M.

Смешанные задачи на комбинаторный подсчет вероятностей в классической схеме.

2.63. В ящике находятся однотипные изделия, изготовленные раз­ными заводами; из них а изделий изготовлены заводом I, b изделий — заводом II, с изделий — заводом III. Из ящика вынимают одно за другим все находящиеся в нем изделия и отмечают места их изготов­ления. Найти вероятность того, что при этом изделие завода I появится раньше, чем изделие завода II.

2.64. Имеются два ящика, содержащих типовые элементы замены (ТЭЗ). В первом ящике а исправных ТЭЗ и b неисправных; во втором — с исправных и d неисправных. Из каждого ящика наугад вынимается по одному ТЭЗ. Найти вероятность того, что оба ТЭЗ будут исправны­ ми.

2.65. В условиях задачи 2.64. найти вероятность того, что вынутые ТЭЗ будут различными по качеству.

2.66. В тех же условиях найти вероятность того, что оба вынутых ТЭЗ будут неисправны.

2.67. В ящике имеется k перенумерованных однотипных изделий с номерами 1, 2, ..., k. Из ящика l раз вынимается наугад по одному изделию, его номер записывается и изделие кладется обратно в ящик. Найти вероятность р того, что все записанные номера будут различны.

2.68. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность р того, что у него снова получилось слово «книга».

2.69. Тот же вопрос, если было составлено слово «ананас».

2.70. Из полной колоды карт (52 листа, 4 масти) вынимается сразу несколько карт. Сколько карт нужно вынуть для того, чтобы с вероятностью, большей чем 0,50, утверждать, что среди них будут карты од­ной и той же масти?

2.71. N человек случайным образом рассаживаются за круглым столом (N > 2). Найти вероятность р того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом.

2.72. Та же задача, но стол прямоугольный, и N человек рассаживаются случайно вдоль одной из его сторон.

2.73. Имеется М операторов и N перенумерованных приборов, ко­торые они могут обслуживать. Каждый оператор выбирает случайным образом и с одинаковой вероятностью любой прибор, но с условием, что ни один прибор не может обслуживаться больше, чем одним опера­тором. Найти вероятность того, что будут выбраны для обслужива­ния приборы с номерами 1, 2, ..., М.

2.74. В ящике имеется К ТЭЗ, из них К₁ элементов 1-го типа, ..., K_i элементов i-го типа, ..., К_т элементов т-го типа; . Из ящика выбирают наугадk ТЭЗ. Найти вероятность того, что среди них будет k₁ ТЭЗ 1-го типа, ..., k_i ТЭЗ i-го типа, ..., k_m ТЭЗ т-го типа.

2.75. В отделение связи поступило 4 телеграммы; всего имеется четыре канала связи. Телеграммы случайным образом распределяют­ся по каналам; каждая телеграмма с одной и той же вероятностью пе­редается по любому из четырех каналов. Найти вероятность события А = {на один из каналов попадут три телеграммы, на другой — одна телеграмма, а два оставшихся канала будут не загружены}.

2.76. М телеграмм случайным образом распределяются по N каналам связи (N > М). Найти вероятность события

А = {на каждый канал придется не больше одной телеграммы}.

Решить задачи 2.77. - 2.99., используя подходящие комбина­торные схемы.

2.77. Множество Е состоит из трех различных элементов: Е = {а, b, с}. Выписать состав Ω во всех четырех опытах по вы­бору двух элементов из множества Е без возвращения и с возвращением, без упорядочивания и с упорядочиванием. Определить число элементов множества Ω (число различных выборок) в каждом из четырех случаев и сравнить результат с тем, который получается по соответствующей комбинаторной формуле.

2.78. Опыт состоит в случайном выборе одного элемента из множества Е₁ = {а, b} и одного элемента из множества Е₂ = {а, b, с}. Перечислить состав множества Е = Е₁ * Е₂. Какова вероятность того, что выборка будет состоять из одинаковых элементов?

2.79. Из урны, содержащей шары с номерами 1, 2, ..., п, k раз вынимается шар и каждый раз возвращается обратно. Найти вероятность того, что номера вынутых шаров образуют возрастающую последовательность.

2.80. Зенитная батарея, состоящая из n орудий, производит залп по группе, состоящей из m самолетов. Каждое из орудий выбирает себе цель наудачу независимо от остальных. При т > п найти вероятность того, что орудия выстрелят по различным самолетам.

2.81. Из урны, содержащей шары с номерами 1, 2, ... , п, наудачу отбирается k шаров и номера вынутых шаров записываются последовательно. Какова вероятность того, что на фиксированном т-месте окажется шар с номеромт, если выбор осуществляется: а) без возвращения; б) с возвращением?

2.82. На тренировке детской спортивной школы по футболу роли игроков распределяются случайным образом среди одиннадцати участников. Нужно отобрать одного вратаря, четырех за­ щитников, трех полузащитников и трех нападающих. Какова вероятность того, что два друга-участника Коля и Миша: а) будут играть в нападении; б) получат разные роли, причем один из дру­зей будет играть в нападении, а другой — в защите?

2.83. В лотерее выпущено n билетов, из которых m выигрыш­ные. Куплено k билетов. Какова вероятность следующих событий: А = {из k билетов хотя бы один выигрышный}, В = {из k билетов ровно один выигрышный}, С = {из k билетов ровно k₁ выигрыш­ных}?

2.84. Какова вероятность р_п того, что в группе из n (n 365) случайно отобранных студентов хотя бы у двоих окажется один и тот же день рождения? Оценить значениер_п для п = 24 и п = 50.

2.85. На заводе работает 30000 рабочих и служащих. Показать, что на данном заводе обязательно найдутся хотя бы два человека с одинаковыми инициалами имени, отчества и фамилии.

2.86. Регистр калькулятора содержит 8 разрядов. Считая, что появление любого числа на регистре равновероятно, опреде­лить вероятности следующих событий: А = {во всех разрядах стоят нули}, В = {во всех разрядах стоят одни и те же цифры}.

2.87. (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятности следующих событий: С = {регистр содержит ровно две одинаковые цифры}, D = {регистр содержит ровно две пары одинаковых цифр}.

2.88. (продолжение). В условиях задачи 2.86. найти вероятности событий: Е = {регистр содержит ровно три одинаковые цифры}, F = {регистр содержит три и только три различные цифры}.

2.89. 7 яблок, 3 апельсина и 5 лимонов раскладываются случайным образом в три пакета, но так, чтобы в каждом было оди­наковое количество фруктов. Найти вероятности следующих событий: А = {в каждом из пакетов по одному апельсину}, В = {определенный пакет не содержит апельсинов}.

2.90. Из множества чисел Е = {1, 2, ..., n} выбирается два числа. Какова вероятность, что второе число больше первого, если выбор осуществляется: а) без возвращения; б) с возвращением?

2.91. Из множества чисел Е = {1, 2, ..., п} выбирается три числа. Какова вероятность того, что второе число заключено между первым и третьим, если выбор осуществляется: а) без возвращения; б) с возвращением?

2.92. Каждая из n палок случайным образом ломается на две части — длинную и короткую. Затем 2n полученных обломков наудачу объединяются в п пар, каждая из которых образует новую палку. Найти вероятности следующих событий: А = {все обломки объединятся в первоначальном порядке}, В = {все длинные части объединятся с короткими}.

2.93. Путем жеребьевки разыгрывается шесть подписных из­даний среди десяти участников.

Сколько различных распределений подписок возможно, если каждое очередное наименование разыгрывается между всеми участ­никами? Найти вероятность того, что первые шесть человек по­лучат каждый по одной подписке.

2.94. (продолжение). В условиях предыдущей задачи отве­тить на те же вопросы, если каждый участник, получивший под­писку, выбывает из игры.

2.95. Опыт состоит в том, что п различных предметов слу­чайным образом распределяются среди m человек (т < п), при­чем таким образом, что каждый может получить любое число пред­метов из имеющихся. Какова вероятность следующих событий: А = {все предметы достанутся одному из участников}, В = {опре­деленное лицо не получит ни одного предмета}.

2.96. (продолжение). В условиях эксперимента предыдущей задачи найти вероятности событий: С = {определенные т₁ лиц получат по одному предмету}, D = {определенные п₁ предметов достанутся одному из участников}.

2.97. В условиях эксперимента, описанного в задаче 2.50., найти вероятности следующих событий: Е = {автомобили разъедутся по улицам попарно}, F = {по определенной улице поедут два автомобиля}.

2.98. Условия эксперимента, описанного в задаче 2.50., из­менены следующим образом: на перекрестке запрещены разво­роты. Все остальные направления движения для любого из автомобилей равновероятны. Найти вероятности событий Е и F, определенных в предыдущей задаче.

2.99*. Из совокупности всех непустых подмножеств множе­ства Е = {e₁, е₂, ... , е_п} по схеме выбора с возвращением отби­раются два подмножества Е₁ и Е₂. Какова вероятность того, что они пересекаются?