Решение типовой задачи.

Задача 1. Группа, состоящая из 8-ми человек, занимает места за круглым столом в случайном порядке. Какова вероятность того, что при этом два определенных лица окажутся сидящими рядом?

Решение. Так как упорядочивается все множество Е из 8-ми элементов, то N(Ω) = 8! = 40320. Событию А благоприятствуют такие размещения, когда два отмеченных лица сидят рядом: всего 8 различных пар мест за круглым столом, на каждой из которых отмеченные лица могут сесть двумя способами, при этом остальные 6 человек размещаются на оставшиеся места произвольно, поэтому по формуле о числе элементов прямого произведения множеств получаем N(А) = 2*8*6!

.

Задача 2. Множество Е состоит из первых десяти букв русского алфавита. Опыт состоит в выборе без возвращения 4 букв и записи слова в порядке поступления букв. Сколько 4-буквенных слов может быть получено в данном опыте? Какова вероятность того, что наудачу составленное слово будет оканчиваться буквой а?

Решение. N(Ω) – число всех 4-буквенных слов в данном опыте – равно числу 4-элементных упорядоченных множеств из 10-ти элементов, т.е.

Пусть событие А ={наудачу составленное слово из 4-х букв множества Е оканчивается буквой a}. Число элементов множества А равно числу способов разместить на три оставшиеся места по одному символу из 9 (символ а исключен из рассмотрения, поскольку его место уже определено); таким образом,

и

.

Задачи.

Числа 1, 2, ..., 9 записываются в случайном порядке. В зада­чах 2.30.- 2.32. найти вероятности указанных событий.

2.30. А = {числа будут записаны в порядке возрастания}.

2.31. В = {числа 1 и 2 будут стоять рядом и в порядке возрастания}, С = {числа 3, 6 и 9 будут стоять рядом}.

2.32. D = {на четных местах будут стоять четные числа}, Е = {сумма каждых двух чисел, стоящих на одинаковом расстоянии от концов, равна 10}.

2.33. Группа, состоящая из 8 человек, занимает места за круглым столом в случайном порядке. Какова вероятность того, что при этом два определенных лица окажутся сидящими рядом?

2.34. Группа, состоящая из 8 человек, занимает места с одной стороны прямоугольного стола. Найти вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом, если

а) число мест равно 8;

б) число мест равно 12.

2.35. На пяти карточках написаны цифры от 1 до 5. Опыт состоит в случайном выборе трех карточек и раскладывании их в порядке поступления в ряд слева направо. Найти вероятности следующих событий: А = {появится число 123}, В = {появится число, не содержащее цифры 3}.

2.36. (продолжение). В условиях предыдущей задачи найти вероятности событий: С = {появится число, состоящее из после­довательных цифр}, D = {появится четное число}, Е = {появится число, содержащее хотя бы одну из цифр 2 или 3}.

2.37. п человек входят в комнату, где имеется всего m стульев , и рассаживаются случайным образом, но так, что все стулья оказываются занятыми.

а) Показать, что число всех способов рассаживания определяется формулой .

б) Какова вероятность того, что два определенных лица ока­жутся без места?

в) Какова вероятность того, что k определенных лиц будут сидеть ?

2.38. п мужчин и п женщин случайным образом рассажива­ются в ряд на 2n мест. Найти вероятности следующих событий: А = {никакие два мужчины не будут сидеть рядом}, В = {все мужчины будут сидеть рядом}.

2.39. 10 вариантов контрольной работы, написанные каждый на отдельной карточке, перемешиваются и распределяются слу­чайным образом среди восьми студентов, сидящих в одном ряду, причем каждый получает по одному варианту. Найти вероятности следующих событий: А = {варианты с номерами 1 и 2 останутся неиспользованными}, В = {варианты 1 и 2 достанутся рядом си­дящим студентам}, С = {будут распределены последовательные номера вариантов}.

2.40. 12 студентов, среди которых Иванов и Петров, случай­ным образом занимают очередь за учебниками в библиотеку. Ка­кова вероятность, что между Ивановым и Петровым в образовав­шейся очереди окажутся ровно 5 человек?

2.41. Из ящика, содержащего n перенумерованных изделий, наугад вынимают одно за другим все находящиеся в нем изделия. Найти вероятность того, что номера вынутых изделий будут идти по порядку: 1, 2, ..., п.

Схема выбора, приводящая к сочетаниям с повторениями. Если опыт состоит в выборе с возвращением m элементов множества , но без последующего упорядочивания, то различными исходами такого опыта будут всевозможныеm-элементные наборы, отличающиеся составом. При этом отдельные наборы могут содержать повторяющиеся элементы. Например, при m = 4 наборы инеразличимы для данного эксперимента, а наборотличен от любого из предыдущих. Получающиеся в результате данного опыта комбинации называютсясочетаниями с повторениями, а их общее число определяется формулой

.