Оценка дисперсии (риска) находится по формуле

, (1.5)

а среднее квадратическое отклонение .

Использование двух количественных характеристик делает задачу выбора оптимальной стратегии инвестирования двухкритериальной. Если стратегия состоит в инвестировании всего капитала лишь в один актив, то он должен быть наилучшим сразу по двум критериям, т.е. обладать наибольшей доходностью и наименьшим риском. На практике, как правило, среди множества активов невозможно выбрать один наилучший. В этом случае инвестор, скорее всего, составит портфель из них, стремясь по возможностидиверсифицировать(перераспределить) риск с целью его снижения. Возможность такой диверсификации в значительной степени зависит отковариации, служащей мерой связи между случайными величинами, представляющими доходности активов.

Оценка ковариации между доходностями двух активов равна [1]

. (1.6)

Ожидаемые доходности активов за инвестиционный период , дисперсии и ковариации, описывают инвестиционный рынок, состоящий из конечного набора активов.

Портфели ценных бумаг. Под портфелем ценных бумаг, как отмечалось ранее, понимается совокупность активов в заданной пропорции. Задание портфеля в таком случае сводится к указанию количества единиц каждого актива, входящего в портфель. Пусть- множество активов, обращающихся на рынке, тогда для описания портфеля нужно указать вектор, каждая компонента которого обозначает количество единицz_iвходящего в портфель активаa_i. Данный портфельдолжен удовлетворять условию, согласно которому его начальная стоимость должна быть равна инвестируемому капиталуW₀

(1.7)

где - начальная цена единицы актива.

Описание портфеля с помощью вектора πназываетсяабсолютным. В инвестиционном анализе чаще применяется другой,относительный метод описания, когда портфель задается вектором весовx_i каждого актива_,где весi-го активапредставляет собой долю исходного капитала, инвестируемого в этот актив. Очевидно, что вес – величина неотрицательная.

Разделим обе части (1.7) на W₀. В результате получаем так называемое основное ограничение, которому удовлетворяет векторx, представляющий портфель

. (1.8)

Выразим доходность портфеля через доходности составляющих его активов. Для этого вычислим начальную стоимость портфеля (1.7) и конечную стоимость, включающую в себя стоимости активов в конце инвестиционного периодаP¹_iи текущие доходы по нимDiv_i. Тогда полный доход портфеля будет равен с учетом (1.2)

,

а его доходность за инвестиционный период в соответствии с (1.3) представляет собой линейную комбинацию доходностей активов с коэффициентами, равными весам этих активов в портфеле

. (1.9)

Формула (1.9) определяет реализованную доходность портфеля, т.е. доходность портфеля в конце инвестиционного горизонта. По Марковицу доходности активов рассматриваются как случайные величины R_i, следовательно, ожидаемую доходность портфеля можно представить в виде линейной комбинации ожидаемых доходностей его активов

. (1.10)

Оценим риск портфеля, вычислив дисперсию его доходности . Выражая центрированную доходность портфелячерез доходности активов, получаем

, (1.11)

где - ковариационная матрица доходностей активов.

Таким образом, для выбора портфеля используются два критерия оценки – доходность (1.10) и риск (1.11). Желательно значение первого иметь по возможности большим, а второго – как можно меньшим.

Выбор оптимального портфеля Марковица. Исходными являются следующие данные:

• класс активов ,

• вектор их ожидаемых доходностей ,

• матрица ковариаций .

Цель инвестора – выбрать наилучший по своим инвестиционным характеристикам портфель из активов класса А, т.е представить портфель в виде вектора весов, который максимизирует ожидаемую доходность портфеля

(1.12)

и минимизирует риск, определяемый либо как дисперсия

, (1.13)

либо как среднее квадратическое отклонение , при ограничениях

. (1.14)

Поставленная задача представляет собой двухкритериальную задачу оптимизации. Имеется несколько подходов решения подобных задач [1,4].

Один из них состоит в отказе от нахождения одного "наилучшего" по всем критериям решения, поскольку его может просто не существовать. Вместо этого ищут так называемые эффективные, илинеулучшаемыерешения.

Портфель π₀ называется эффективным, если не существует другого портфеля π₁, лучшего его по обоим критериям. Эффективность означает просто неулучшаемость портфеля. Для эффективного портфеля любой другой (неэквивалентный) портфель имеет либо больший риск, либо меньшую доходность.

Данный метод основан на выборе главного критерия, по которому будет осуществляться оптимизация. Другой критерий используется в качестве ограничения. В этом случае можно сформулировать задачу минимизации риска при условии, что доходность не будет ниже требуемого значения или задачу максимизации ожидаемой доходности при риске, не превышающем некоторый заданный уровень.

2. Исходные данные

Сведения о рыночной стоимости обыкновенных акций российских компаний на начало месяца приведены в табл.1.1.

Котировочный ряд акции каждой компании заданного варианта (табл.1.2) представить в виде вектора в средеMathcad.

Таблица 1.1

Год	Месяц	Рыночная цена акций USD
		Лукойл НК	Сургут- нефтегаз	Юкос	Сибнефть	РАО "ЕЭС России"	Мос-энерго	Норильс- кий никель	АвтоВАЗ	Сбербанк
		1	2	3	4	5	6	7	8	9
2002 г.	Январь	14.41	0,334	6,200	0,870	0,162	0,044	15,820	19,000	83,000
	Февраль	12,400	0,303	6,750	1,152	0,149	0,039	19,300	27,250	88,500
	Март	14.55	0,366	8,340	1,680	0,163	0,042	21,800	32,250	135,500
	Апрель	18,000	0,389	9,750	1,850	0,157	0,044	23,950	33,550	173,000
	Май	17,570	0,438	10,050	1,735	0,142	0,035	23,250	37,000	172,500
	Июнь	15,950	0,377	8,950	1,740	0,098	0,030	20,550	28,500	166,100
	Июль	14,580	0,339	9,040	1,800	0,092	0,027	20,360	24,500	153,000
	Август	15,890	0,347	8,720	1,872	0,090	0,025	18,750	26,750	149,700
	Сентябрь	15,300	0,364	8,590	1,832	0,081	0,029	19,150	30,750	156,500
	Октябрь	16,300	0,352	9,750	2,030	0,093	0,029	17,000	25,900	177,000
	Ноябрь	16,280	0,345	8,705	1,852	0,118	0,033	20,900	25,900	192,500
	Декабрь	16,680	0,325	9,000	1,971	0,122	0,034	19,950	25,500	198,700
2003 г.	Январь	16,000	0,323	9,500	1,990	0,127	0,038	23,000	25,000	196,100
	Февраль	14,800	0,320	10,600	2,040	0,131	0,040	24,650	24,500	204,000
	Март	13,920	0,297	9,870	2,200	0,133	0,049	24,150	24,000	209,000
	Апрель	14,650	0,297	9,640	2,190	0,141	0,052	24,050	22,600	216,000
	Май	16,750	0,327	11,263	2,360	0,230	0,059	28,900	22,700	223,500
	Июнь	17,820	0,395	13,840	2,570	0,285	0,068	35,600	23,800	240,000
	Июль	19,500	0,443	14,550	2,650	0,298	0,071	39,350	24,500	252,000
	Август	19,450	0,421	14,050	2,600	0,316	0,070	38,000	25,050	251,000
	Сентябрь	19,450	0,437	14,650	2,875	0,320	0,066	48,350	28,500	255,000
	Октябрь	21,050	0,502	12,050	2,320	0,279	0,070	55,000	24,500	260,000
	Ноябрь	21,600	0,522	11,350	2,260	0,260	0,063	57,500	23,500	251,000
	Декабрь	22,900	0,588	10,620	2,830	0,279	0,068	63,600	26,500	259,000
2004 г.	Январь	26,000	0,595	9,870	3,070	0,323	0,074	71,750	28,700	297,000
	Февраль	27,650	0,629	12,550	3,380	0,312	0,080	69,020	30,750	345,000
	Март	29,900	0,732	13,500	3,500	0,318	0,081	74,500	28,800	425,000

3. Порядок выполнения работы

3.1. Определение доходностей активов, указанных в варианте задания, компаний за инвестиционный период, равный одному месяцу.

Для этого следует воспользоваться формулой (1.2), полагая дивиденды равными нулю. В среде Mathcadэто может выглядеть, например, так:

Таким образом формируются ряды доходностей акций, которые представляются в виде векторов .

3.2. Построение графиков изменения месячной доходности акций.

Используя средства пакета Mathcad, изобразить графики доходностей акций компаний на одном рисунке.

3.3. Составление модели сегмента инвестиционного рынка.

Находятся ожидаемые доходности акций компаний и ковариационная матрица доходностей акций, используя данные табл.1.1 по февраль месяц 2004 года. Для вычисления характеристик доходностей можно использовать формулы (1.4), (1.6) или встроенные функцииMathcad-.

Элементы главной диагонали ковариационной матрицы, являющиеся дисперсиями доходностей, определяют риски акций. По характеристикам оценить самый доходный и самый рискованный актив.

4. Определение состава портфеля Марковица при минимальном риске .

Для этого решается оптимизационная задача в среде Mathcad, в которой минимизируется риск(1.11) без ограничений на доходность. Результатами являются состав портфеля в виде вектораи значения дисперсиии доходности.

3.5. Определение состава портфеля Марковица при максимальной доходности .

Для этого решается оптимизационная задача в среде Mathcad, в которой максимизируется доход(1.12) без ограничений на риск. Результатами являются состав портфеля в виде вектораи значения дисперсиии доходности.

3.6. Нахождение множества эффективных портфелей.

Для этого интервал разбивается 6 -7 точками на отрезки. В каждой точке решается задача максимизации доходности портфеля при риске, не превышающем величину дисперсии в этой точке. При этом фиксируется состав портфеля и его ожидаемая доходность.

Затем строится график зависимости , представляющий линию эффективных портфелей допустимого множества [1-3].

3.7. Составление портфеля Марковица на основании максимизации функции полезности.

В данном случае двухкритериальная задача выбора портфеля сводится к однокритериальной путем введения суперкритерия (функции полезности) в виде

.

Задавая последовательно , определить оптимальные портфели. Объяснить влияниена состав портфеля.

3.8. Оценить полный доход портфеля с минимальным риском (п. 3.4) и портфеля с максимальной доходностью (п. 3.5) за март 2004 года.

Для этого вычисляется доход портфеля по формуле

,

где - доходность акции- й компании за март месяц 2004 года.

Таблица 1.2

Вариант	Компании
1	Лукойл НК, Сургутнефтегаз, Юкос, Сибнефть, РАО "ЕЭС России"
2	Сургутнефтегаз, Юкос, Сибнефть, РАО "ЕЭС России", Мосэнерго
3	Юкос, Сибнефть, РАО "ЕЭС России", Мосэнерго, Норильский никель
4	Сибнефть, РАО "ЕЭС России", Мосэнерго, Норильский никель, АвтоВАЗ
5	РАО "ЕЭС России", Мосэнерго, Норильский никель, АвтоВАЗ, Сбербанк
6	Лукойл НК, Юкос, Сибнефть, Мосэнерго, Норильский никель
7	Юкос, РАО "ЕЭС России", Норильский никель, АвтоВАЗ, Сбербанк
8	Сургутнефтегаз, Сибнефть, Мосэнерго, АвтоВАЗ, Сбербанк
9	Лукойл НК, Сургутнефтегаз, Юкос, Мосэнерго, Норильский никель