Элементы комбинаторики

Основные правила комбинаторики.

Комбинаторика- это раздел математики, изучающий способы расположения объектов в соответствии со специальными правилами и методы подсчета числа всех возможных способов. Правило умножения. Если некоторый выбор A можно осуществить m способами, а для каждого из них некоторый другой выбор B можно осуществить n способами, то выбор A и B ( в указанном порядке) можно осуществить m×n способами. Пример 1.На гору ведут 6 дорог. Сколькими способами можно подняться на гору и спуститься с горы, если подъем и спуск должен быть по разным дорогам? Решение. Дорогу на гору можно выбрать 6-ю способами, так как подъем и спуск должны быть по разным дорогам, то выбрать дорогу для спуска можно 5-ю способами. Тогда по правилу умножения число способов выбора дороги для подъема и спуска равно 6×5=30. Правило сложения. Если некоторый выбор A можно осуществить m способами, а выбор B можно осуществить n способами, то выбор A или B можно осуществить m+n способами. Пример 2.В ящике имеется 6 красных карандашей, 5 синих и 3 простых карандаша. Сколькими способами можно выбрать цветной карандаш? Решение. Цветной карандаш - это красный или синий, следовательно, по правилу сложения число способов выбора цветного карандаша равно 6+5=11. Замечание. Данные правила можно обобщить на большее число выборов. Вопрос. Сколько основных правил комбинаторики существует?

2

Перестановки.

Определение 1.Множество называется упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие некоторое натуральное число от 1 до n, где n - это число элементов данного множества, причем разным элементам поставлены в соответствие разные числа.

Упорядоченные множества считаются различными, если они отличаются либо своими элементами, либо их порядком. Определение 2. Различные упорядоченные множества, составленные из элементов данного множества, отличающиеся лишь порядком элементов, называются его перестановками. Пример 3.Рассмотрим множество M={a,b,c}. Это множество из трех элементов. Составим его различные перестановки: (a,b,c),(a,c,b),(b,a,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a). Получили 6 перестановок. P_n - число всех перестановок множества из n элементов.

P_n=n! (1), где

n!=1·2·3·...·n ( читается "н факториал"). Замечание. 0!=1; (n+1)!=n!·(n+1) . Пример 4.Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5, при условии, что в числе нет одинаковых цифр? Решение. Числа, кратные пяти( делящиеся на пять), оканчиваются либо на 0, либо на 5. Если последняя цифра числа 0, то остальные цифры можно располагать в любом порядке, получим перестановки из пяти элементов, их P₅=5!=120. Если на конце 5, то остальные можно расположить P₅=120 способами, но среди них не подходят те, которые начинаются на 0, так как это будут не шестизначные числа. а пятизначные, данных чисел P₄=4!=24.Тогда требуемых чисел будет 120+120-24=216.

Вопрос.Сколько существует перестановок из шести элементов?

Ваш ответ : 720

верно

Перестановки с повторениями.

Если взять цифры 1, 2, 3, 4, то из них можно составить 24 перестановки. Но если взять четыре цифры 1, 1, 2, 2, то можно получить только следующие различные перестановки: (1,1,2,2),(1,2,1,2),(1,2,2,1),((2,2,1,1),(2,1,2,1),(2,1,1,2), то есть шесть перестановок, их в 4 раза меньше, чем перестановок из четырех различных чисел, так как перестановки, в которых меняются местами одинаковые числа - это не новые перестановки, их 2!·2!=4.  Рассмотрим задачу в общем виде:пусть имеется множество из  элементов, в котором элементы  встречаются  раз, элементы  встречаются  раз ,..., элементы  встречаются  раз, причем  .

Определение 3.Перестановки с повторениями - это перестановки из элементов данного множества, в которых элементы повторяются.  - число всех перестановок с повторениями. Число перестановок, не меняющих данную перестановку с повторениями равно , а  чисел можно переставлять  способами, поэтому получаем следующую формулу для вычисления числа перестановок с повторениями:

 (2)

Пример 4.Сколькими способами можно расселить 8 студентов по трем комнатам: одноместной, трехместной и четырехместной? Решение. Различныеспособы расселения студентов по комнатам являются перестановками с повторениями, так как внутри, например, трехместной комнаты выбранные студенты могут занимать спальные места по-разному, но эти варианты не будут являться новыми перестановками, поэтому получаем:  То есть всего 280 способов расселения студентов. Вопрос. Вычислить 

Сочетания.

Пусть некоторое множество содержит n элементов.

Определение 4. Всякое m- элементное подмножество n- элементного множества называется сочетанием из n элементов по m.  - число всех сочетаний.

(3)

Пример 5. Для соревнований из 30 спортсменов надо выбрать трех человек. Сколькими способами это можно сделать? Решение. Команда из 3 спортсменов - это подмножество из трех элементов, то есть сочетание из 30 по 3, поэтому количество способов выбора таких команд вычисляется по формуле (3): .

Свойства сочетаний.

1.  2. . Из данных свойств следует, что  , тогда  , далее , , и так далее. Можно расположить эти числа в виде таблицы: 

.....................................................

или

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

.......................

Эта таблица в виде треугольника называется треугольником Паскаля .

Определение 5. Выражение a+b называется биномом.

 (4)

Формула (4) называется биномиальной формулой Ньютона, а коэффициенты  называются биномиальными коэффициентами. Из данной формулы вытекает следующее свойство числа сочетаний

(5)

Вопрос. .

Сочетания с повторениями

Пусть имеется множество, содержащее n видов элементов, поэтому есть взять какое-то подмножество  этого множества, то в нем могут быть одинаковые элементы. Определение 6.Сочетание с повторениями - это m- элементное подмножество множества, содержащего n видов элементов, в котором элементы повторяются.  - число всех сочетаний с повторениями из n по m. Состав m- элементного подмножества имеет вид , где . Заменяя каждое из чисел  соответствующим количеством единиц и разделяя единицы нулями, получаем набор, состоящий из m единиц и n-1 нулей. Каждому составу отвечает только одна запись из нулей и единиц, а каждая запись задает только один состав, следовательно, число различных составов равно числу перестановок с повторениями из n-1 нулей и m единиц. Получаем формулу для вычисления всех сочетаний с повторениями.

 (5)

Пример 6.В кондитерском магазине продаются пирожные четырех видов: наполеоны, эклеры, песочные и бисквитные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных? Решение. Любая покупка - это подмножество, в котором могут быть одинаковые элементы, поэтому  это сочетание с повторениями. Число всех возможных покупок находим по формуле (5): . Вопрос. В формуле (5) m может быть больше n.

Размещения

Определение 7. Упорядоченное m - элементное подмножество n- элементного множества называется размещением. - число всех размещений из n элементов по m. Число всех размещений из n по m больше числа всех  сочетаний из n по m, так как из каждого подмножества из m элементов с помощью перестановок можно получить m! упорядоченных подмножеств, получаем формулу для числа размещений

 (6)

Пример 7. В группе 25 человек. Нужно выбрать актив группы: старосту, заместителя старосты и профорга. Сколькими способами это можно сделать? Решение. Актив группы - это упорядоченное подмножество из трех элементов, так как надо выбрать не только трех человек, но и распределить между ними должности, значит актив группы - это размещение, число всех  размещений вычисляем по формуле (6): . Вопрос. Во сколько раз число сочетаний из 20 по 4 меньше числа размещений из 20 по 4?

Размещения с повторениями

Пусть дано множество из n элементов, в котором есть одинаковые элементы, тогда его подмножества тоже могут содержать одинаковые элементы. Определение 8. Упорядоченные m- элементные подмножества n- элементного множества, в которых элементы могут повторяться, называются размещениями с повторениями.  - число всех размещений из n по m. В подмножестве из m элементов первый элемент можно  выбрать n способами( то есть любой элемент множества) , так как элементы могут повторяться, то второй элемент тоже можно выбрать n способами, аналогично остальные элементы подмножества можно выбрать n способами, если воспользоваться правилом умножения, получим формулу для вычисления числа размещений с повторениями:

 (7)

Пример 8. В лифт десятиэтажного дома вошли 5 человек. Каждый из них может выйти на любом этаже, начиная со второго. Сколькими способами они могут это сделать? Решение. Так как каждый человек может выйти на любом этаже, начиная со второго, то этажей для выхода 9. Надо выбрать этажи для возможности выхода каждого человека: для первого человека - можно выбрать любой из девяти этажей, аналогично для остальных пассажиров, тогда по формуле (7):  способов. Вопрос. Вычислить .