Курс_лекций_по_теории_случайных_процессов

5.2.Уравнения восстановления

Рассмотрим функцию U(t), определенную соотношением (5.1). Очевидно, она удовлетворяет уравнению

Аналогичному уравнению удовлетворяет функция восстановления простого процесса восстановления

Заметим, кроме того, что между функциями восстановления общего и простого процессов восстановления имеет место простая связь

Ясно, что решения уравнений (5.8) и (5.9) имеют соответственно вид

XX

В приложениях теории восстановления часто приходится иметь дело с уравнениями относи-

где B(t) некоторая заданная функция, а F (t) некоторое распределение вероятностей.

Определение 5.2. Уравнение вида (5.11) называется уравнением восстановления.

В настоящем разделе рассматривается вопрос о существовании и единственности решений уравнений восстановления

Теорема 5.2. Если распределение F (t) собственное, т.е. F (1) = 1, и не сосредоточено в нуле, т.е. 9 c > 0; 0 < p < 1 : 1 F (c) > p, то решение уравнения (5.11) существует, единственно и имеет вид

Доказательство. Полагая G0(t) 0 методом последовательных приближений из соотношения

0 i n

Покажем, что последовательность Gn(t) равномерно сходится к своему пределу G(t) = B U(t). Для этого мажорируем с.в. Xn независимыми Бернуллиевыми с.в. Be(c; p), принимающими значения 0 и c с вероятностями q = 1 p и p соответственно, Xn Ben(c; p). Тогда для соответсвующих сумм имеет место аппроксимация

с некоторым коэффициентом , что показывает, что члены ряда (5.13) мажорируются числовым сходящимся рядом, обеспечивающим его равномерную сходимость. Приведенные рассуждения обеспечивают также единственность решения (5.12) уравнения (5.11) так как последовательные приближения с любым другим начальным приближением приводят к тому же результату.

5.3.Теоремы восстановления

Одним из наиболее важных вопросов в приложениях процессов восстановления является исследование асимптотического поведения функции восстановления. В этом направлении элементарная теорема восстановления утверждает, что

Теорема 5.3 (Элементарная теорема восстановления). Если F ( ) собственное распределение,

F (1) = 1 , то

1

где = MXn = R xdFn(x) и следует положить 1 = 0, если = 1.

0

Доказательство. В случае < 1 используя лемму Фату найдем

1 = M lim inf t 1N(t) lim inf t 1MN(t) = lim inf t 1H(t):

Для доказательства обратного неравенства,

1 lim inf t 1H(t);

t!1

рассмотрим последовательность усеченных с.в. Xn0 = Xn ^ c для некоторого c > 0 и отметим штрихами соответствующие процессы случайного блуждания Sn0 и восстановления N0(t). Очевидно, что с вероятностью 1 N0(t) N(t) и, следовательно, H0(t) H(t). Используя равенство Вальда M[SN(t)] = M[N(t)]M[X] (см. задачу 5) имеем в силу M[SN(t)+1] M[SN(t)]

В случае, когда распределение имеет плотность, утверждение теоремы можно усилить.

Следствие 5.4. Если распределение F (:) абсолютно непрерывно (имеет плотность), то и функция восстановления дифференцируема, а для ее плотности h(t) = H0(t) в условиях теоремы 1

справедливо представление

h(t) ! 1

Доказательство не тривиально, но формально предел можно получить пользуясь тауберовой теоремой [9]

Для формулировки дальнейших обобщений теорем восстановления напомним, что распределение F (t) называется арифметическим, если его точки роста сосредоточены на множестве tk = k , причем максимальное из этих называется шагом этого распределения.

5.4.Предельные теоремы для процессов восстановления

ЗБЧ и ЦПТ, приведенные в § 3 для случайных блужданий благодаря тождеству (5.2) между событиями fN(t) ng и fSn tg переносятся также на процессы восстановления.

Теорема 5.6 (ЗБЧ). Если < 1, то для процесса восстановления имеют место ЗБЧ и УЗБЧ,

Так как r ! 1; l ! 1 при t ! 1 для любого " > 0, то в силу ЗБЧ вероятность последнего события сходится к нулю, откуда следует, что и вероятность события слева в предыдущем равенстве сходится к нулю. Аналогично получаем сходимость к нулю вероятности события

что вместе с предыдущим утверждением доказывает справедливость ЗБЧ для процесса восстановления.

Применение УЗБЧ к последовательности с.в. Sn показывает, что для процесса восстановления справедлив также и УЗБЧ.

Аналогично предыдущим рассуждениям доказывается справедливость ЦПТ для процессов восстановления. Для этого потребуется вычисленное в задаче 1 значение дисперсии процесса восстановления.

Теорема 5.7 (ЦПТ). Если < 1 и 2 < 1, то распределение нормированных своими средним значением и стандартным отклонением значения процесса восстановления равномерно сходится к стандартному нормальному распределению,

5.5. Дополнения

Вопросы для контроля.

1.Дайте определение функции и плотности восстановления процесса восстановления.

2.Как связана функция восстановления с распределением интервала между восстановления-

ми?

3.Укажите связь между функциями восстановления простого, общего и стационарного процессов восстановления.

4.Приведите уравнение для функции восстановления простого, общего и стационарного процессов восстановления.

5.Сформулируйте теорему о существовании и единственности решения уравнения восстановления.

6.Приведите аналоги функции и плотности восстановления для дискретного процесса восстановления.

7.Как выражается функция восстановления через распределение времени между восстановлениями?

8.Как ведет себя среднее число восстановлений при неограниченном росте временного интер-

вала?

9.Какая функция называется арифметической?

10.При каком условии на функцию распределения случайных величин будет выполняться теорема Блекуэлла?

11.Сформулируйте узловую теорему восстановления.

Упражнения.

1.Докажите эквивалентность событий (5.2) в теореме 5.1.

2.Докажите формулу (5.4) для вычисления плотности восстановления.

3.Докажите формулу (5.6) для вычисления дискретной плотности дискретного процесса восстановления.

4.Выведите формулу для s-преобразования дискретной плотности восстановления дискретного процесса восстановления.

5.Используя рассуждения, аналогичные приведенным в теореме 5.6, докажите сходимость к

no

нулю при t ! 1 вероятности события Nt(t) 1 < " .

6.Закончите доказательство теоремы 5.1.

7.Проведите доказательство следствия 5.1..

Задачи.

1.Вычислите дисперсию DN(t) процесса восстановления.

2.Аналогично рассуждениям, использованным при доказательстве теоремы 5.6, докажите справедливость ЦПТ для процессов восстановления.

3.Докажите ЗБЧ и УЗБЧ для дискретных процессов восстановления.

4.Докажите справедливость ЦПТ для дискретных процессов восстановления.

5.Докажите тождество Вальда, используемое в теореме 5.3.

6.Длительности Xn; n > 1; безотказной работы, определяющие процесс восстановления N(t), равны Xn = Y1; n + Y2; n, где Yi; j; i = 1; 2; j > n независимые в совокупности с.в., и Yi; n имеют экспоненциальные распределения с параметрами i. Найдите функцию восстановления H(t) и

плотность восстановления h(t) процесса восстановления N(t).

7. Длительность безотказной работы, определяющая процесс восстановления N(t), имеет плотность распределения

Библиографические замечания.

Исследованию ассимптотического поведения функции восстановления посвящена обширная литература, сформировавшаяся в основном уже к середине прошлого века. Достаточно подробное

освещение этих вопросов можно найти, например, в [17]. Приводимое здесь понятие непосредственно интегрируемой по Риману функции и доказательство теоремы Смита принадлежат Феллеру ([30], стр. 426). Более подробное изложение вопросов, относящихся к дискретным процессам восстновления, содержится в ([29], стр. 314-320).

§ 6. Процессы, связанные с процессом восстановления

В этом параграфе рассматриваются некоторые процессы, связанные с процессом восстановления и его обобщения.

6.1.Возраст и остаточное время жизни элемента

Рассмотрим случайные процессы функционально заданные на вероятностном пространстве исходного процесса восстановления соотношениями

Z (t) = t SN(t) и Z+(t) = SN(t)+1 t:

Если интерпретировать процесс восстановления, как процесс (мгновенной) замены элементов, то случайные величины Z (t) и Z+(t) можно рассматривать, как возраст и соответственно остаточное время жизни используемого в момент времени t элемента.

Определение 6.1. Процессы Z (t) и Z+(t) называются возрастом и остаточным временем до восстановления процесса восстановления в момент времени t.

В качестве упражнения 1 предлагается нарисовать траектории процессов возраста и остаточного времени жизни элемента.

Представляет интерес исследование распределений с.п. Z (t) и Z+(t). Для исследования распределения с.в. Z (t) и Z+(t) обозначим через G (t; x) распределение соответствующих величин на любом из интервалов Xi; i 1,

G (t; x) = PfZ (Si 1 + t) < x; t Xig

Здесь для простоты предполагается, что все интервалы, включая первый, распределены одинаково, т.е. рассматривается простой процесс восстановления. Замечание, касающееся общего случая, см. в конце раздела.

Теорема 6.1. Распределения возраста и остаточного времени жизни имеют вид

где H(t) функция восстановления, а распределения возраста и остаточного времени на отдельных интервалах G (t; x) имеют вид

k 1

28 Глава 2. Процессы восстановления

Воспользовавшись теперь формулой полной вероятности для непрерывных распределений во вто-

Формула (6.4) дает представление распределений с.п. Z+(t) и Z (t) через их распределения на отдельных случайных интервалах Xk; k 1. Так как на отдельном интервале Xk, то есть

совместно с событием fSk 1 < t Skg, для величин Z+(t); Z (t) справедливы представления

Z (Sk 1 + t) = t; Z+(Sk 1 + t) = Xk t, то для G (t; x) имеем:

Замечание 1. В общем случае для общего процесса восстановления для вычисления распределения G1 (t; x) на первом интервале в этих формулах следует заменить F (t) на F1(t).

6.2.Предельное распределение возраста и остаточного времени жизни

Рассмотрим асимптотику распределений с.п. Z (t) при t ! 1.

Теорема 6.2. Предельные распределения возраста и остаточного времени жизни существуют и имеют вид

функции G (t; x) удовлетворяют условиям узловой теоремы восстановления Смита. Поэтому су-