Курс_лекций_по_теории_случайных_процессов
.pdfСодержание
1 Введение |
3 |
1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
3 |
1.1. Предмет теории случайных процессов. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . |
3 |
1.2.Определение и классификация случайных функций. Терминология и обозна-
|
|
чения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
3 |
|
1.3. Конструктивное построение случайных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . |
4 |
|
|
1.4. |
Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
2. |
Каноническое вероятностное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
8 |
|
|
2.1. |
Конечномерные распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
8 |
|
2.2. |
Теорема Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
8 |
|
2.3. |
Пример: гауссовский процесс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
9 |
|
2.4. |
Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
10 |
2 Процессы восстановления |
11 |
||
3. |
Случайные блуждания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
11 |
|
3.1.Вероятностная модель последовательности н.о.р. с.в. . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2.Случайные блуждания. Определение. К.м.р. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3. Предельные теоремы для случайных блужданий . . . . . . . . . . . . . . . . . |
12 |
|
3.4. |
Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
13 |
4. Процессы восстановления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
14 |
|
4.1. |
Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
14 |
4.2. |
Распределение числа восстановлений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
14 |
4.3. Производящая функция числа восстановлений . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
16 |
|
4.4. |
Пример. Пуассоновский процесс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
16 |
4.5. |
Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
17 |
5. Функция и уравнения восстановления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
19 |
|
5.1. |
Функция восстановления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
19 |
5.2. |
Уравнения восстановления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
21 |
5.3. |
Теоремы восстановления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
22 |
5.4. |
Предельные теоремы для процессов восстановления . . . . . . . . . . . . . . |
24 |
5.5. |
Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
24 |
6. Процессы, связанные с процессом восстановления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
27 |
|
6.1. Возраст и остаточное время жизни элемента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
27 |
|
6.2. Предельное распределение возраста и остаточного времени жизни . . . . . . |
28 |
|
6.3. |
Альтернирующий процесс восстановления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
29 |
6.4. |
Процесс накопления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
30 |
6.5. |
Регенерирующие процессы* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
33 |
6.6. |
Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
35 |
142 |
Содержание |
3 Цепи Маркова |
37 |
7. Определение. Основные свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . 37 |
7.1. Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . 37 |
7.2.Примеры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.3. Основные задачи теории цепей Маркова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
43 |
|
7.4. |
Теорема Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
45 |
7.5. |
Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
47 |
8. Классификация состояний и цепей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
49 |
|
8.1. |
Классификация состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
49 |
8.2. Канонический вид матрицы вероятностей переходов . . . . . . . . . . . . . . . |
51 |
|
8.3.Вероятности первого достижения и связанные с ними характеристики . . . . 52
|
8.4. |
Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
55 |
9. |
Обрывающиеся и поглощающие цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
57 |
|
|
9.1. |
Вводные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
57 |
|
9.2. |
Фундаментальная матрица и ее свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
58 |
|
9.3. |
Время пребывания в несущественных состояниях . . . . . . . . . . . . . . . . |
61 |
|
9.4. |
Вероятности поглощения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
62 |
|
9.5. |
Возвращение и достижение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
63 |
|
9.6. |
Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
64 |
10. |
Эргодические цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
66 |
|
|
10.1. |
Возвратность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
66 |
10.2.Инвариантные вероятности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10.3. Предельные теоремы для переходных вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . 70 10.4. Эргодические теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.5.Фундаментальная матрица эргодических цепей и ее свойства. . . . . . . . . . 75
|
10.6. |
Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
76 |
11. |
Счетные марковские цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
78 |
|
|
11.1. |
Вводные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
78 |
|
11.2. |
Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
78 |
|
11.3. |
Классификация состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
79 |
|
11.4. Асимптотическое поведение счетных цепей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
83 |
|
|
11.5. |
Критерии положительной возвратности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
85 |
|
11.6. |
Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
85 |
4 Скачкообразные марк. и полумарк. процессы |
87 |
||
12. |
Скачкообразные марковские процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
87 |
|
|
12.1. |
Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
87 |
|
12.2. |
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
88 |
|
12.3. Конечномерные распределения. Теорема Колмогорова . . . . . . . . . . . . . |
90 |
|
|
12.4. |
Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
91 |
13. |
Стандартные марковские процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
92 |
|
|
13.1. |
Матрица интенсивностей переходов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
92 |
13.2.Уравнения Колмогорова для переходных
|
|
вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
93 |
|
13.3. |
Структура марковского процесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
94 |
|
13.4. |
Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
97 |
14. |
Классификация состояний. Устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
98 |
|
|
14.1. |
Классификация состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
98 |
|
14.2. |
Устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
101 |
|
14.3. Связь марковских процессов с цепями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
102 |
|
|
14.4. |
Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
103 |
15. |
Свойства марковских процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
105 |
|
|
15.1. |
Уравнения для вероятностей состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
105 |
Содержание |
143 |
15.2. Время достижения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
105 |
15.3.Предельная теорема для марковских
|
|
процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
108 |
|
15.4. |
Эргодическая теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
110 |
|
15.5. |
Критерии положительной возвратности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
111 |
|
15.6. |
Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
112 |
16. Процессы рождения и гибели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
115 |
||
|
16.1. |
Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
115 |
|
16.2. |
Уравнения Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
115 |
|
16.3. |
Стационарные вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
116 |
|
16.4. Условие положительной возвратности ПРГ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
117 |
|
|
16.5. |
Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
117 |
17. |
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
119 |
|
|
17.1. |
Процесс чистого размножения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
119 |
|
17.2. |
Процесс чистой гибели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
120 |
|
17.3. |
Система Эрланга MjMjnj0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
121 |
|
17.4. |
Система MjMj1j1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
122 |
|
17.5. |
Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
122 |
18. |
Полумарковские процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
123 |
|
|
18.1. |
Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
123 |
|
18.2. Полумарковская матрица и ее свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
123 |
|
|
18.3. Процессы, связанные с полумарковскими . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
124 |
|
|
18.4. |
Классификация состояний ПМП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
125 |
|
18.5. |
Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
126 |
19. Процесс и матрица марковского восстановления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
127 |
||
|
19.1. |
Процесс марковского восстановления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
127 |
|
19.2. |
Матрица марковского восстановления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
127 |
|
19.3. |
Уравнения марковского восстановления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
129 |
|
19.4. |
Одномерные распределения ПМП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
129 |
|
19.5. |
Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
130 |
20. Предельная и эргодическая теоремы для ПМП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
131 |
||
|
20.1. |
Предельная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
131 |
|
20.2. |
Эргодическая теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
132 |
|
20.3. |
Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
133 |
21. |
Полурегенерирующие процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
134 |
|
|
21.1. |
Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
134 |
|
21.2. |
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
135 |
|
21.3. |
Сопровождающие процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
136 |
|
21.4. |
Одномерные распределения ПРП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
137 |
|
21.5. Предельная и эргодическая теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
137 |
|
|
21.6. |
Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
138 |