Теоретические основы квантовых приборов

собой ансамбль квантовых систем, существуют квантовые системы, находящиеся в различных чистых состояниях. Для описания всего ансамбля вводится статистический оператор, или оператор плотности ρˆ . Для этого волновая функция состояния разлагается в ряд Ψ(t) = C1(t)Ψ1 + C2 (t)Ψ2 по решениям

статистических весов возможных состояний, строим выражение для оператора плотности в виде так называемой матрицы плотности

вероятностями соответствующих состояний и пропорциональны их населен-

Ψ1 иΨ2 являются решениями (65), отсюда можно получить уравнение движения для оператора плотности

В случае, когда ансамбль квантовых систем взаимодействует с внешней системой (например, с внешним электромагнитным полем), квантовое состояние ансамбля становится “ смешанным” и, в отличие от чистого состояния, полностью описывается только оператором плотности.

Рассмотрим конкретный атом из нашего ансамбля, возбужденный в верхнее квантовое состояние а в момент t0 в точке r0 и двигающийся со скоростью V. В момент t он будет находиться в точке r = r0 + V(t − t0 ) и на него будет действовать электромагнитное поле E[r0 + V(t − t0 ), t]. Обозначим через pab значение матричного элемента вектора дипольного момента атома, наведенного этим полем. Энергия дипольного взаимодействия атома с электромагнитным полем будет определяться D(t ) = −pabE[r0 + V( t − t0 ), t]

41

где N – число активных атомов в единице объема, W (V) – распределение Максвелла по скоростям (48) (суммирование производится по всем атомам единицы объема вещества). Для описания процессов возбуждения здесь феноменологически введены скорости возбуждения λ a и λb атомов на уровнях

a и b.

С учетом энергии дипольного взаимодействия оператор Гамильтона принимает вид H = H 0 + D(t) , где D(t) – оператор энергии взаимодействия (66). Чтобы учесть изменение энергии атомов за счет спонтанного излучения с верхнего и нижнего уровней квантовой системы, вводится оператор диссипации энергии в виде

где γ a = τa−1 и γ b = τb−1 – вероятности спонтанного распада верхнего и ниж-

него уровней на остальные уровни, лежащие ниже рабочих (4).

После введения операторов взаимодействия и диссипации энергии динамическое уравнение для оператора плотности приобретает следующий вид:

Расписывая это матричное уравнение по компонентам, получаем систему уравнений для элементов оператора плотности двухуровневой квантовой системы:

42

Здесь ω0 = (Ea − Eb ) – частота квантового перехода; γ ab = (γ a + γ b )/ 2 – половина естественной ширины линии атомного перехода. Решение этой системы уравнений будет рассмотрено далее.

3.2. Работа лазера у порога генерации

Система (67) решается методом теории возмущений при начальных условиях ρaa = 1, ρbb = 0, ρab − ρba = 0 в момент t = t0 , соответствующих нахождению квантовой системы в верхнем состоянии a. Разложение матричных элементов оператора плотности в ряд производится по малому парамет-

Далее процедура последовательных итераций продолжается. Обычно ограничиваются нахождением членов ряда вплоть до третьего порядка мало-

ρ(2) (t ) и ρ(3) (t). Значения, полученные в первом порядке, пропорциональ-

bb ab

ны амплитуде поля E0, а во “ втором” и в “ третьем” порядках – квадрату E02

и кубуE03 амплитуды поля соответственно.

43

Полученные решения системы уравнений (67) согласно (66) позволяют определить вектор поляризации активной среды и с помощью разложения (61) найти синфазную и квадратурную компоненты поляризации. После этого из самосогласованных уравнений (63) и (64) можно получить значения напряженности электромагнитного поля в резонаторе лазера.

В результате расчета в “ первом порядке” теории возмущений получаем следующие самосогласованные уравнения электромагнитного поля для n-й продольной моды резонатора газового лазера:

плотность инверсии населенностей (ср. с выражением (31), там эта величина обозначена как N 0 ); ξn = (ωn − ω0 )/ ku – относительная расстройка частоты генерации ωn n-й моды резонатора относительно частоты ω0 атомного перехода; ku – доплеровский параметр (см. (43)); Z (ζ) – комплексная функция, называемая функцией дисперсии плазмы, мнимая часть которой пропорциональна инверсии населенностей, а вещественная – дисперсии актив-

ной среды: Z (ζ) = Z r (ξ) + iZi (ξ) = 2i iζexp[− (t 2 + ζ2 )]dt . Здесь ζ = ξ + iη =

∫

−∞

=ω − ω0 + i γ ab , η – относительный параметр однородного уширения линии ku ku

такой, чтобы выполнялись условия: (ω − ω0 ) < ku или ξ < 1. В этом приближении, называемом доплеровским, выражения для Zi и Zr с точностью до членов первого порядка малости можно записать в виде

44

где

– так называемый лэмбовский коэффициент α, определяющий разность полного усиления активной среды (с учетом формы линии усиления) и потерь, μ – потери на проход излучения вдоль резонатора. Как и ранее, в (32) вводит-

Это условие соответствует отсутствию генерации (En (t) = 0) ; только оно и могло быть получено в “ первом порядке” теории возмущений, так как эффек-

45

ты насыщения активной среды включаются, начиная со второго порядка разложения.

Зависимость усиления ненасыщенной активной среды для слабого сигнала от расстройки резонатора относительно центра линии усиления (73) приведена на рис. 26, на котором также представлены положения продоль-

Из (69) получим значение частоты генерации ωn = f n + σn . Из него следует, что частота генерации сдвинута относительно частоты моды резонатора в сторону центра линии атомного перехода, так как знак величины σn совпадает со знаком Z r (ξn ) (см. рис. 25). Это явление называется линейным затяги-

46

ванием частоты генерации, а лэмбовский коэффициент σn – коэффициентом линейного затягивания частоты. Такой эффект можно интерпретировать с точки зрения оптической длины резонатора. Коэффициент σn отражает вклад дисперсии активной среды в оптическую длину резонатора. По сути дела, fn – собственная частота пустого резонатора, а ωn – собственная частота резонатора, в котором находится активная среда с коэффициентом преломления, отличие от единицы которого пропорционально значению σn .

3.3. Эффекты насыщения в лазерах

Результаты расчета поляризации активной среды в “ третьем порядке” теории возмущений дают следующие уравнения:

Здесь вместо амплитуды поля введена так называемая безразмерная интен-

сивность I n = ( pEn )2 , пропорциональная квадрату амплитуды поля внутри

2 2 γ a γb

резонатора. Фактически, разложение теории возмущений идет по данному параметру, поэтому наше рассмотрение справедливо при условии I n << 1.

Коэффициенты Лэмба в приведенных уравнениях определены следующим образом:

∙ коэффициент насыщения усиления активной среды полем своей моды (коэффициент автонасыщения)

∙ коэффициенты кросснасыщения усиления или коэффициенты насыщения полями других мод

∙ коэффициент нелинейного выталкивания частоты полем своей моды (коэффициент автонасыщения дисперсии активной среды)

47

Второй и третий члены в правой части уравнений (75) и (76) пропорциональны интенсивности излучения лазера и описывают насыщение активной среды. Их влияние обусловливает уменьшение усиления до уровня потерь и искажает контур дисперсии активной среды.

Рассмотрим уравнение (76) для стационарного случая ( Iɺn = 0 ). Получаем систему m уравнений для интенсивностей мод I n :

Одномодовый режим. Рассмотрим режим генерации одной моды с продольным индексом n. Амплитудное уравнение принимает вид α n − βn I n (t ) = 0 . Вычислим из него интенсивность моды:

48

атомов, имеющих проекцию скорости на ось резонатора Vz . Она пропорциональна усилению. График такой зависимости представлен на рис. 28, a. Пусть

49

Это означает, что в генерации волны участвуют две группы атомов со скоростями, лежащими в пределах: V1 = c[1 − (ω ± γ ab / 2)ω0 ] для одной волны и V1 = c[1 + (ω ± γ ab / 2)ω0 ] для другой. При настройке резонатора в центр линии излучения (рис. 28, б) два “ провала” совмещаются и в генерации участвует только одна группа атомов (т. е. количество атомов, участвующих в процессе генерации, уменьшается). Поскольку интенсивность излучения пропорциональна числу атомов, участвующих в генерации, в центре линии интенсивность излучения уменьшается – появляется “ провал Лэмба” ( см.

рис. 27).

Влияние эффектов насыщения на частоту генерации описывается членом ρn I n (t ) в (78), называется нелинейным выталкиванием частоты генерации, так как сказывается в смещении частоты генерации от центра линии усиления, которое пропорционально интенсивности излучения. Как отмечалось ранее, частота генерации продольной моды связана с оптической длиной резонатора Lопт = L + l(na − 1) и показателем преломления активной среды na , согласно (23),

На рис. 29 представлена зависи-

− l (na −1) мость относительного изменения ча-

L

стоты, линейно связанного с показателем преломления активной среды:

L

настройки резонатора. Здесь же пунк-

Рис. 29

тиром показана зависимость, обусловленная линейной дисперсией σn .

Многомодовый режим генерации. Поведение интенсивностей мод описывается уравнениями (74) и (75) в стационарном режиме. При перестройке частоты резонатора спектральный состав излучения определяется числом мод, помещающихся внутри области существования генерации, и явлением конкуренции мод. Для случая двухмодового режима при несимметричной настройке резонатора относительно центра линии усиления мода I n , расположенная ближе к центру линии, имеет преимущество в усилении по

50