Теоретические основы квантовых приборов

Существует еще несколько физических явлений, приводящих к однородному уширению линии излучения квантовых систем. Для ансамбля квантовых систем, представляющего собой атомный или молекулярный газ, весомый вклад в однородное уширение линии излучения вносят упругие столкновения отдельных частиц. За счет взаимодействия этих частиц во время столкновения скачком изменяется фаза волны когерентного электромагнитного поля вынужденного излучения. Поведение электромагнитной волны во времени, наблюдаемое в системе координат квантовой системы, представлено на рис.11. Если обозначить средний интервал между столкновениями τст (который обратно пропорционален давлению газа), то спектральный анализ такого сигнала

21

снова дает лоренцевcкую форму линии излучения (36) с заменой 2τ2 на τст .

нию p газа в миллиметрах ртутного столба (1 мм рт. ст. = 133 Па). Полная однородная ширина линии излучения вычисляется как сумма

Отметим, что реальные атомы и молекулы обладают более богатым составом квантовых уровней, чем представленная здесь модель двухуровневой квантовой системы. Поэтому, аналогично (4), и нижний лазерный уровень обладает конечной шириной и конечным временем жизни.

Неоднородное уширение. Уширение линии другого вида происходит, когда центры линий излучения различных квантовых систем из ансамбля не совпадают. В этом случае говорят о неоднородном уширении линии. Наиболее характерным примером является проявление эффекта Доплера в газах (так называемый кинематический эффект). Рассмотрим это явление. Эффект Доплера заключается в том, что приемник излучения, движущийся относительно источника излучения с проекцией скорости Vx на направление распространения электромагнитного поля, воспринимает излучение с измененной частотой

где ωs – частота излучения источника. Распределение резонансных частот систем из ансамбля повторяет распределение квантовых систем по скоростям. Из изложенного следует, что доплеровское уширение действительно является неоднородным.

Вспомним, что в газе, находящемся при температуре T, вероятность P(Vx ) того, что молекула с массой M имеет составляющую скорости в интер-

где kB – постоянная Больцмана. Из выражения (39) находим

22

W (Vx )dVx = WD (ω)dω введем функцию распределения спектральной плотности излучения WD (ω), описывающей форму линии излучения ансамбля при уширении за счет эффекта Доплера:

Поскольку это выражение достаточно сложное, для упрощения введем вол-

Контур неоднородно уширенной линии излучения представлен на рис. 12.

ωD = 2ln 2 ku.

DwD = 2p ×1,7 ×109 c−1 . Рис. 12

В большинстве случаев в активной среде присутствуют одновременно однородный и неоднородный виды уширения. Тогда полный контур линии излучения можно найти сверткой двух контуров:

− ∞

23

Полученное в результате выражение называется функцией Фойгта, или функцией дисперсии плазмы (подробности см. в 4). В предельном случае (при ω L >> ω D ) выражение (44) переходит в (36) и описывает однородное уширение линии излучения, а при обратном знаке неравенства получаем чисто неоднородное уширение линии (42).

Отметим еще один эффект, возникающий при учете давления газа и конечных размеров активной среды. Спонтанное излучение за счет переходов с рабочих уровней на нижележащие метастабильные уровни (или же в основное состояние при распространении в активной среде) может резонансно поглощаться другими атомами, находящимися на этих нижележащих уровнях. Такое явление называется пленением резонансного излучения в активной среде и приводит в эффективному увеличению времен жизни рабочих уровней, а также к “ перемешиванию” квантовых систем в ансамбле по скоростям. Результатом этого является уменьшение инверсии населенностей (насыщение), однородное для всех групп квантовых систем, обладающих различными скоростями.

Однородное уширение обычно преобладает в твердых телах и в жидкостях, где межмолекулярное взаимодействие является очень сильным. В разреженных газах обычно проявляется доплеровское (неоднородное) уширение линии излучения. Промежуточными случаями являются газы при средних и высоких давлениях.

2. ОТКРЫТЫЕ РЕЗОНАТОРЫ

2.1. Типы резонаторов

Под пассивным оптическим резонатором понимают замкнутую полость, состоящую из отражающих свет поверхностей. Полость может содержать внутри себя однородную изотропную и пассивную диэлектрическую среду. Размеры оптического резонатора намного превышают длину волны из-за слишком низкого линейного коэффициента усиления. Лазерные резонаторы обычно бывают открытыми, т. е. в них не используется боковая поверхность. Это означает существование неизбежных потерь, связанных с дифракцией электромагнитного поля на апертуре зеркал, приводящих к тому, что часть энергии покидает резонатор. В открытых резонаторах существуют конфигурации типа стоячих или бегущих электромагнитных волн, характе-

24

ризующиеся очень малыми потерями. Для описания таких конфигураций вводят понятие собственного типа колебания, или моды резонатора.

Модой резонатора называется стационарная конфигурация электромагнитного поля, которая удовлетворяет как уравнениям Максвелла, так и граничным условиям. Учитывая потери, электромагнитное поле в моде можно записать в виде E(r, t ) = E0u(r)exp(− t2τc )exp(iωt ), где r – радиус-вектор; τc – время жизни фотона в резонаторе (время релаксации квадрата амплитуды поля). Стационарность здесь понимается с точностью до множителя, обусловленного распадом поля из-за потерь в резонаторе.

Для анализа процессов в резонаторе применяют два метода: один из них использует лучевое приближение, а другой – волновое. Для анализа лучевым методом выбирают точку в резонаторе, не лежащую на его оси, и проводят луч параллельно оси резонатора (рис. 13). С поведением луча при многократном отражении его от зеркал резонатора связано понятие устойчивости резонатора.

Рис. 13

Резонатор называется устойчивым, если при многократном прохождении резонатора луч не выходит за пределы его некоторого ограниченного объема. Если же луч в итоге выходит в окружающее пространство, то резонатор называется неустойчивым. Обычно неустойчивые резонаторы обладают большими потерями, чем устойчивые. Если в устойчивом резонаторе луч через конечное число проходов повторяет свою траекторию, тогда он принадлежит собственному семейству лучей резонатора, или моде резонатора.

Свойства открытого резонатора определяются числом и взаимным расположением образующих его отражающих поверхностей. Различные схемы резонаторов представлены на рис. 14. По структуре электромагнитного поля они делятся на резонаторы стоячей волны – линейные (а, б, в, г) и резонаторы бегущей волны – кольцевые (д, е, ж), а по резонансным свойствам – на однополостные и многополостные (б, г, ж). Кольцевые резонаторы могут быть с контуром луча плоским и пространственным.

25

Рис. 14

Активная среда может заполнять весь резонатор или только его часть. Показатель преломления активной среды лежит в пределах от 1 для газов до 4.5 для полупроводниковых лазеров. В твердотельных и полупроводниковых лазерах роль зеркал как отдельных элементов резонатора выполняют отполированные торцы активного вещества. В лазерах с малым коэффициентом усиления активной среды используют зеркала с высоким коэффициентом отражения, представляющие собой многослойное диэлектрическое покрытие, нанесенное на подложку из плавленого кварца или оптического стекла. Обычно наносятся 17…25 слоев сульфида цинка или фторида магния с толщиной каждого слоя λ/4. За счет многолучевой интерференции света в слоях коэффициент отражения зеркал может составлять 0.999-0.99999. В лазерах с высоким усилением используются алюминиевые зеркала с отверстием для выходного потока излучения. В кольцевых лазерах вместо зеркал иногда используются призмы полного внутреннего отражения.

Юстировка резонаторов осуществляется специальными юстировочными приспособлениями, на которых закрепляются зеркала, или технологически в процессе изготовления лазера. Настройку резонатора на центр линии усиления осуществляют устройства, позволяющие плавно менять длину резонатора и, соответственно, частоты его мод. Для этого одно зеркало резонатора или несколько устанавливаются на пьезоэлектрические преобразователи. При подаче напряжения на преобразователь его длина и, соответственно, длина резонатора изменяются в пределах нескольких длин волны.

26

Основной характеристикой, определяющей свойства резонатора, является конфигурация, т. е. совокупность радиусов зеркал и расстояний между ними. Она задается g-параметрами конфигурации. Для простейшего резонатора (см. рис. 14, а) они определяются как

зеркал.

Анализ условия устойчивости двухзеркального резонатора лучевым методом дает очень простое требование к g-параметрам. Резонатор будет устойчивым, если

скольких распространенных типов резонаторов:

1. Плоскопараллельный симметричный резонатор (интерферометр Фабри– Перо) ( R1 = R2 = ∞; L – произвольное; g1 = g 2 = 1). На диаграмме ему соответствует точка A, которая лежит на границе устойчивости. Даже небольшая неточность в изготовлении или разъюстировка резонатора могут привести к неустойчивости последнего. Моды резонатора хорошо аппрокси-

27

мируются комбинацией плоских электромагнитных волн, а спектр совпадает

с(23).

2.Конфокальный симметричный резонатор. Состоит из двух зеркал равной кривизны, расположенных на расстоянии, равном радиусу кривизны (R1 = R2 = R = L; g1 = g2 = 0); фокальные точки F зеркал совпадают – см.

рис. 16, а). На диаграмме ему соответствует точка B, расположенная в центре координат. Потери данного резонатора – минимальные по сравнению со всеми другими конфигурациями.

3. Полуконфокальный резонатор (R1 = 2L; R2 = ∞; g1 = 0,5; g2 = 1) (рис. 16, б). На диаграмме ему соответствует точка D. Поле в резонаторе совпадает с распределением поля в левой половине конфокального резонатора.

4. Концентрический (сферический) резонатор ( R1 = R2 = L / 2; g1 = = g2 = −1) . На диаграмме ему соответствует изображающая точка C (рис. 16, в). Моды можно представить в виде суперпозиции двух сферических волн, потери в резонаторе высокие.

5. Кольцевые резонаторы (см., например, рис. 14, д, е, ж). В них вместо

длины резонатора в качестве основного параметра выступает периметр L контура, описываемого лучом. В отличие от линейных резонаторов, в кольцевых существуют моды в виде двух противоположно направленных бегущих волн, почти не зависящих друг от друга. Фазовое условие воспроизведе-

что в два раза больше, чем для линейного лазера.

28

2.2.Конфокальный резонатор

Воткрытых резонаторах зеркала всегда имеют конечные размеры. Дифракция света на формируемых этими размерами апертурах определяет в значительной мере параметры мод резонатора. Полную информацию о характеристиках резонатора можно получить только из волновой теории резонаторов. Разработанная Фоксом и Ли для плоскопараллельного резонатора, она была затем развита Бойдом и Гордоном для конфокального резонатора. Конфокальный резонатор занимает особое место среди других типов резонатора, поскольку для его мод получено аналитическое решение, и, как будет показано далее, характеристики других типов резонаторов можно получить из характеристик соответствующего ему некоторого конфокального резонатора, называемого также эквивалентным конфокальным резонатором.

Ванализе используется так называемое скалярное приближение: электромагнитное поле в резонаторе считается почти поперечным и однородно поляризованным. Будем считать зеркала квадратными с поперечным размером 2a (рис. 17). Радиусы зеркал R = L, где L – так называемый конфокаль-

ный параметр (длина конфокального резонатора). Обозначим U1(P1) распределение поля на зеркале З Благодаря дифракции это поле создаст некоторое распределение поля U2(P2) на зеркале З2. Его можно вычислить через U1(P1) с помощью интеграла Кирхгофа

U1(P1) = U(P1) принадлежит моде резонатора, распределения полей на

зеркалах могут отличаться только множителем U2(P2) = σU(P2). Тогда выражение (48) приобретает вид

29

Уравнение (49) принадлежит к классу однородных интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Его решения определяют распределение поля моды на зеркалах, а собственные числа σ = σ exp iΦ определяют дифрак-

ционные потери мощности за один проход резонатора μd = 1 − σ 2 и запаздывание фазы волны Φ при распространении от зеркала к зеркалу: Φ = arg σ . Из условия 2Φ = q2π , где q – целое число, находим собственные (резонансные) частоты мод. Если решение найдено, то при помощи интеграла Кирхгофа (48) электромагнитное поле может быть найдено в любой точке пространства внутри и вне резонатора.

Решение упрощается при учете параксиального приближения L >> a и в приближении больших чисел Френеля N >> 1, где число Френеля определяется как N = a 2 λL .

В декартовой системе координат переменные, описывающие распределение поля в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, разделяются: U mn (x, y) = U m (x) U n (y). В этом случае аналитическое решение уравнения (49) может быть представлено через полиномы Эрмита H k (x) в виде

Cm и Cn – постоянные нормирующие множители. Приведем выражения для нескольких первых полиномов Эрмита, графики которых в нормированном виде представлены на рис. 18:

H 0 (x) = 1; H1(x) = 2x;

(51)

H 2 (x) = 4x 2 − 2; H 3 (x) = 8x 3 − 12x.

Функции (50) описывают так называемые гауссовские пучки электромагнитных волн. Они являются естественными состояниями пучков света, проходящих через конечные апертуры и испытывающих дифракцию. Индексы m = 0, 1, 2… и n = 0, 1, 2… называются индексами поперечной моды и равны

30