Задача 1 Задание

Используя рисунок 1.1.2 к задаче и рассмотренный пример, определить напряженность Ер и потенциал р результирующего поля в указанных в таблице 1.1 точках. Вариант исходных данных дается преподавателем.

Таблица 1.1

Вариант	Величина зарядов, 10Кл		Длина сторон прямоугольника		Точки для определения Ер и р
	Q1	Q2	1-3	1-4
1	2	3	4	5	6
1	3,0	6,0	6,0	8,0	3; 8
2	-3,0	6,0	5,0	7,0	4; 8
3	6,0	3,0	7,0	6.0	5; 8
4	-6,0	3,0	4.0	5,0	6; 8
5	-6,0	-3,0	5,0	6,0	4; 3
6	-3,0	-6,0	6,0	8,0	3; 5
7	3,0	6,0	5,0	7,0	3; 6
8	-3,0	6,0	7,0	6.0	4; 5
9	5,0	8,0	4.0	5,0	4; 6
10	-6,0	3,0	5,0	6,0	3; 7
11	-6,0	-3,0	7,0	4,0	5; 7
1	2	3	4	5	6
12	-3,0	-6,0	4.0	5,0	6; 7
13	3,0	6,0	5,0	6,0	3; 8
14	-3,0	6,0	6,0	8,0	4; 8
15	6,0	3,0	5,0	7,0	5; 8
16	-5,0	8,0	7,0	6.0	6; 8
17	-6,0	-3,0	4.0	5,0	4; 3
18	-3,0	-6,0	5,0	6,0	3; 5
19	3,0	6,0	5,0	6,0	3; 6
20	-3,0	6,0	6,0	8,0	4; 5
21	6,0	3,0	5,0	7,0	4; 6
22	-6,0	3,0	7,0	6.0	3; 7
23	-6,0	-3,0	4.0	5,0	5; 7
24	-5,0	-7,0	5,0	6,0	6; 7
25	4,0	9,0	4,0	7,0	5; 6
26	-6,0	-3,0	4.0	5,0	6; 7
27	-3,0	-6,0	5,0	6,0	3; 8
28	3,0	6,0	6,0	8,0	4; 8
29	-3,0	6,0	5,0	7,0	5; 8
30	6,0	3,0	7,0	6.0	6; 8

1.2 Теорема Гаусса

В практике часты случаи, когда заряд тела распреде­лен по его поверхности с некоторой плотностью. В таких случаях задачи решаются более просто на основе теоремы Гаусса.

Поток вектора напряженности электрического поля

Рассматривая электрическое поле, изображенное на рис. 1.2.1,

Рис.1.2.1

вы­делим элемент поверхности площадью dS. Он представляет собой маленькую часть сферы радиусом г, в центре которой помещено то­чечное тело с положительным зарядом Q.

В силу геометрической симметрии поля вектор напряженности Е по величине одинаков во всех точках поверхности и направлен перпендикулярно ей. Произведение E dS выражает величину эле­ментарного потока dN вектора напряженности электрического по­ля через элемент поверхности dS, если линии напряженности пер­пендикулярны пронизываемой ими поверхности: dN = E dS.

Определим полный поток N вектора напряженности электриче­ского поля, для чего сложим элементарные потоки по всей поверх­ности сферы:

N =E dS. (1.2.1)

Вынося постоянную величину Е за знак суммы и учитывая, что вектор Е всюду перпендикулярен поверхности сферы, получаем

N =EdS,

где dS = 4— площадь сферы; следовательно,

N = Е². (1.2.2)

Подставляя в формулу напряженности поля Е = формулу (1.2.2), получим

N = Q/ (1.2.3)

Приведенные рассуждения справедливы и при отрицатель­ном заряде с той лишь разницей, что поток вектора напряженно­сти в этом случае отрицатель­ный.

Из формулы (1.2.3) следует, что поток N не зависит от радиуса сферической поверхности. В общем случае данная формула справедлива для любой замкнутой поверхности и для любого количества заряженных тел внутри ее, т.е.

N = Q. (1.2.4)

Формула (1.2.4) является математическим выражением теоремы Гаусса, которая формулируется так:

поток вектора напряженности электрического поля сквозь замкнутую поверхность в вакууме равен отношению электрического заряда, заключенного внутри этой поверхности, к электрической постоянной.

Для среды, относительная диэлектрическая проницаемость

которой отличается от единицы, формула потока имеет вид

N = Q. (1.2.5)