Высшая математика3,4

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Государственный аграрный университет Северного Зауралья

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

0,1353 0,036 .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

899.53 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Тема 16. Ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье.

Пискунов, гл. XVII, §1-3, упр 1-14

Данко, ч.2, гл III, §8,9.

Определение. Рядом Фурье функции f(x), определѐнной на отрезке [-П, П] называется

		a0
ряд:		a0		(am cos mx bm sin mx),
ряд:	2			(am cos mx bm sin mx),
	2				m 1
					m 1
	где a					1	П f (x) cosmxdx, (m 1,2...)
	где a					П	П f (x) cosmxdx, (m 1,2...)
			m			П
			m
							П
	b				1	П	f (x) sin mxdx, (m 1,2...)
	b				П		f (x) sin mxdx, (m 1,2...)
		m			П
		m
						П

Задача. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную на [-П, П] уравнением f(x)=П+x.

Решение. Графиком этой функции является отрезок, соединяющий точки (-П,0) и

(П, 2П). На рисунке показан график y=S(x), где S(x)-сумма ряда Фурье функции f(x). Эта сумма является периодической функцией с периодом 2П и совпадает с функцией f(x) на [-П, П]

		2-
		_
\|	\|	\|	\|	\| \|	x
-3 ;-2 ;		-	;	2 ; 3

Определяем коэффициенты ряда Фурье.

f (x)dx

(П x)dx

П dx

П xdx

I2=0, как интеграл

от нечѐтной

функции,

взятый

по интервалу,

симметричному относительно

т.O(0;0).

Значит ,

dx x 2

f (x) cosmxdx

( x) cosmxdx cosmx dx

x cosmx dx 0,

am=0, т.е a1=a2=a3=…=0

f (x) sin mx dx

( x) sin mxdx sin mxdx

x sin mxdx

cosmx

cosmxdx

cos(mП)

sin(mx)

( 1)m

( 1)m 1

Тогда разложение функции f(x)= +x в ряд Фурье имеет вид:

f (x) 2	( 1)	m 1	sin mx 2(sin x sin 2x sin 3x sin 4x ...)
		m 1
m 1	m		2	3	4
m 1

Вопросы для самопроверки.

1.Какой ряд называется тригонометрическим? В чѐм состоит задача разложения функции в тригонометрический ряд?

2.Какой вид имеют коэффициенты Фурье периодической функции с периодом 2П?

3.Указать особенности разложения в ряд Фурье чѐтных и нечѐтных функций.

4.Как можно раскладывать в ряд Фурье функции, заданные на половине периода?

Контрольная работа № 3.

В ЗАДАЧАХ 211-220 найти общее					решение	(общий интеграл) дифференциальных
уравнений первого порядка.
211.	y	x 8 y		;	212.	xyy x 2 y 2 ;
		8x y

213.	y	x y	;		214.	xy xtg	y	y;

		x y					x

215.

xy y ln

216.

sin

;

217.

xyy x 2

y 2 ;

218.

x y y 2x y;

219.

xy y ln 2

220.

xy ln

x y ln

;

В ЗАДАЧАХ 221-230

найти частное решение дифференциального уравнения,

удовлетворяющего указанному начальному условию.

221.

y 2xy 3x2e x2

y (0)=0;

222.

xy y y

sin x,

;

223.

y 2xy x ln xe x2 ,

y(1)=0;

y yctgx

224.

sin x

225.

xy y x

sin x,

;

226.

y cos2

x y tgx,

y (0)= -1;

227.

y xy 2 ;

y (1)=1;

228.

1 x 2 y y y 2 arctgx,

y (0)= 1;

229.

y 3x2 y x3e x3 ,

y (0)=0;

230.

xy y x

cos x,

;

В ЗАДАЧАХ 231-240 найти: а) частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее заданным начальным условиям; б) общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

231.	а)	y 7 y 10y 0;		y 0 2;	y / 0 1;
231.	а)
		б)	y 2 y 3x 2	1;
		б)

232.а)

233.а)

234.а)

235.а)

236.а) б)

237.а) б)

238.а) б)

239.а) б)

240.а) б)


y	2 y	10y 0;	y		0;		1;
y	2 y	10y 0;	y		0;	y	1;
				2		2

б)	y 5 y 6 y 2xe x ;

y 6y 9y 0;		y 0 1; y / 0 0;
б)	y 8 y x 1 e2 x ;

y 8y 7 y 0;		y 0 2;	y / 0 1;
б)	y 6 y 8 y 3e4 x ;

y 9 y 0;		y 0; y / 1;
б)	y 2 y 3y xe x	;

y 7 y 12y 0;		y 0 2;		y / 0 2;
y y 2 y x 2 e 2 x
y 9 y 0;		y 0 1;	y / 0 3;
y 2 y 8y 3x 1 e2 x
y 3y 2y 0;		y 0 0;		y / 0 1;
y 7 y 2x 2 x;
y 5y 6y 0;		y 0 5;		y / 0 0;
y y 8x 2 e x ;
y 2y 5y 0;		y 0 1;		y / 0 0;
y 3y 10 y 2x 2 e x ;

В ЗАДАЧАХ 241-250: а) исследовать на сходимость с помощью признака Даламбера знакоположительный ряд; б) исследовать на сходимость с помощью признака Лейбница знакочередующийся ряд; в) найти радиус сходимости степенного ряда и определить тип сходимости ряда на концах интервала сходимости.

1 n

241.

а)

;

б)

;

в)

x n ;

n 5

n 1

242.

а)

;

б)

1 n

;

в)

x n ;

n 1

243.

а)

;

б)

1 n

;

в)

x n ;

n 1 n 2 5

n 1

244.

а)

;

б)

1 n

;

в)

x n ;

n 2

n 1 3

n 1

245.

а)

;

б)

1 n

;

в)

x n ;

n 1

246.

а)

;

б)

1 n

;

в)

;

n 1 7

n 1

1 n

247.

а)

;

б)

;

в)

x n ;

n 1

248.

а)

;

б)

1 n

;

в)

;

1 n

n 1

n 2

x n

249.

а)

;

б)

;

в)

;

n 1

250.

а)

;

б)

1 n

;

в)

;

n 2

n7n 1

n 1

n 3

n 1

В ЗАДАЧАХ 251-260 вычислить определѐнный интеграл с точностью до 0,001 путѐм предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

	1		sin			x						1

	4											9
	4					2						9
251.						2	dx;				252.			xe						x dx;
							dx;

	0				x							0
	1											1

	3											4
	x ln 1									dx;			sin		4		x		dx;
253.									x		254.		sin		4		x


	0											0				x
		1										1	sin x
																		2
		5										8						2
255.	x3e x3 dx;										256.										dx;
255.	x3e x3 dx;										256.										dx;
	0											0			x
	0											0
												1
	1
	1											4
257.				xe x2 dx;							258.	x 2 ln 1 x dx;
	0											0
	1
												1
	2											1
259.	x cos							xdx;			260.			xe x3 dx;
	0											0

В ЗАДАЧАХ 261-270 разложить заданную функцию f (x) в ряд Фурье по косинусам на

отрезке 0; .
261.	f (x)= x-2;	262.	f (x)=3x;
263.	f (x)= 1-x;	264.	f (x)= 2x-1;
265.	f (x)= -2x;	266.	f (x)= 3x+1;
267.	f (x) = -2x+3;	268.	f (x) = x +2;
269.	f (x) x ;	270.	f (x) 8x ;
269.	2	270.	2
	2		2

В ЗАДАЧАХ 271-280 при указанных начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд Маклорена функции f (x) , являющейся решением данного дифференциального уравнения.

271.	y x 2	y 2 e x ,			y (0)=0

272.	y 2x 2		3y cos x 2,		y (0)=0

273.	y 2x 3ln y y,				y (0)=1

274.	y x3	y 2 e x ,			y (0)=1

275.	y x 2	y e y x,			y (0)=0

276.	y sin 2x xy,				y (0)=1

277.	y e 2 x		y 2 ,		y (0)=0

278.	y cos x e y			x,	y (0) =0

279.	y x e x y 2 y,				y (0)= 0.

280.	y 2x3		y 2 2x,		y (0)=1

Указания к выполнению контрольной работы №4.

Гмурман В.Е гл.I, § 1-8, гл II, § 1-4, гл III, § 1-5, гл IV, § 1-3, гл V , § 1-4, гл VI, § 1-8, гл VII, гл VIII, гл IX, гл X, гл XI, гл XII, гл XIII.

Тема 17. Случайные события. Вероятность событий.

17.1 Основные определения и формулы.

1. Определение. Вероятностью события А в данном испытании называется число, выражающее меру объективной возможности появления этого события.

2. P( A) mn - классическая формула для вычисления вероятности события А, где m-число

исходов испытания, благоприятствующих событию А, n- число всех единственно возможных, несовместных и равновозможных исходов испытания. Р(А)- вероятность события А.

3.Р(А)=0, если событие А- невозможное событие.

4.Р(А)=1, если событие А- достоверное событие.

5.0 Р(А) 1, если событие А- случайное.

6.Р(А+В)=Р(А)+Р(В), если события А и В несовместны.

7.Если А и А - противоположные события , то Р(А)+Р ( А) =1- сумма вероятностей двух

противоположных событий.

(А+ А )- событие достоверное,

Аи А - события несовместные.

8.Если события А и В независимы, то Р(А В)=Р(А) Р(В), где событие (А В) – произведение (совмещение) двух независимых событий А и В.

9.Если события А и В зависимы в данном испытании, то

P( A B) P( A) PA (B) , где событие (А В)- произведение двух зависимых событий. PA (B) - вероятность события В при условии , что событие А наступило.

10. Если события А и В совместны, то Р(А+В)= Р(А)+ Р(В)- Р(А В)

11. P( A) P(B1 ) PB ( A) P(B2 ) PB	( A) ... P(Bn ) PB	( A);	где
1	2	n

B1, B2 …,Bn- несовместные события или гипотезы. Событие А может наступить совместно с одной гипотез.

12.	PA (Bi)			P(Bi) PBi ( A)				- формула Бейеса, которая
12.	PA (Bi)			( A) P(B2 ) PB ( A) ..	P(Bn ) PB			- формула Бейеса, которая
			P(B1 )PB	( A) P(B2 ) PB ( A) ..	P(Bn ) PB		( A)
		1		2		n
позволяет переоценить вероятность гипотез после того как становится известным результат
испытания в результате которого появилось событие А.
13.	P	Cm m qn m - формула Бернулли, где C m					n!		- число сочетаний из n


	m,n	n			n	m!(n m)!
						m!(n m)!

элементов по m в каждом. р =P(A), q =P ( A) . Используется формула Бернулли при повторении испытаний . Событие А может появиться или не появиться в каждом из n испытаний.

14. P

(x) Локальная формула Лапласа, где

P P( A),

m,n

ngq

npq

q P( A),

n- число испытаний. (x)

e 2

- значения этой функции можно найти в

2П

соответствующей таблице (см приложение 1)

Локальная формула Лапласа используется при повторении испытаний, когда число их (испытаний) велико.

15. Pn (m1 m m2 ) Ф(x2 ) Ф(x1 ) - интегральная формула Лапласа.

где	x1	m1 np		; x2	m2 np

			npq			npq

	1		x		x2
Ф(x)	1		e		2 dx - функция Лапласа, значения которой можно найти в соответствующей таблице

	2П
	2П	0
(приложение 2).						Для x 5 полагают Ф(x)= 0,5;		Ф(-x)=-Ф(x)- функция нечѐтная. Используется
интегральная формула Лапласа при повторении испытаний (n-велико).
	16.			P			m	где n p; n- число испытаний, р= P(A)
	16.			P			e - формула Пуассона,	где n p; n- число испытаний, р= P(A)
					m,n		m!
							m!

Формула Пуассона применяется в тех случаях , когда n 10, p = P(A)- невелика.

17.2.Примеры решения задач.

Задача 1. В ящике 6 белых и 8 чѐрных шаров. Из ящика вынули два шара (возвращая вынутый шар в ящик). Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение.

Пусть событие А- появление белого шара при первом вынимании, событие В- появление белого шара при втором вынимании. События А и В независимы. Тогда

P(A B)=P(A)P(B), где	P( A)		6	3	;	P(B)		6	3	Имеем P( A B)	3	3	9	Ответ:	9
		14		7			14		7		7	7	49		49

Задача 2. В условии предыдущей задачи пусть первый шар не возвращается в ящик. Решение.

Событие А- появление белого шара при первом вынимании. Событие В- появление белого шара при втором вынимании. А и В- зависимые события.


P( A)	6	3	;	P (B)		6 1				5		;
P( A)			;	P (B)								;
14 7				A	6	8 1		13
14 7					6	8 1		13
Тогда P( A B) P( A) P (B)							3		5				15	Ответ:	15
				A		7		13			91			91
						7		13			91			91

Задача 3. Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут: а) четыре; б) не менее четырех.

Решение. Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится п независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления событий А постоянна и равна р, а

вероятность противоположного события A равна q= 1 — p, то вероятность Рп (т) того, что при этом событие А осуществляется ровно т раз, вычисляется по формуле:

P (m) C m ( p)m (q)n m ,		(1)
n	n

где Cmn есть число сочетаний из п элементов по m .

а) По условию задачи вероятность всхожести семян р = 0,9; тогда q — 0,1; в данном случае n = 5 и т = 4. Подставляя эти данные в формулу Бернулли (1), получим

P (4) C 4		(0,9)4 (0,1)	5 4 3 2	0,656 0,1 0,328
P (4) C 4		(0,9)4 (0,1)		0,656 0,1 0,328
5	5		1 2 3 4
			1 2 3 4

б) Искомое событие А состоит в том, что из пяти посеянных семян взойдут или четыре, или пять. Таким образом, Р(А) = Р5(4) + Р5(5). Первое слагаемое уже найдено. Для вычисления второго снова применяем формулу (1):

P5 (5) C55 (0,9)5 (0,1)0 1 0,591 1 0,591

Следовательно, Р( А) = 0,328 + 0, 591 =0,919.

Задача 4. Вероятность появления события А в каждом из 625 испытаний равна 0,64. Найти вероятность того, что событие А в этих испытаниях появится ровно 415 раз.

Решение. Если число испытаний п велико, то применение формулы Бернулли приводит к громоздким вычислениям. Использование этой формулы становится практически невозможным. В таких случаях применяют приближенную формулу, которая выражает суть локальной теоремы Лапласа.

Если вероятность наступления события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р (р отлично от нуля и единицы) , а число п достаточно велико, то вероятность Рn(m) того, что в этих испытаниях событие A наступит т раз (безразлично, в какой последовательности) вычисляется приближенно по формуле:

Pn (m)

(x),

( 2 )

npq

где x

, а

(x)

e x2

2 .

npq

2П

Имеются готовые таблицы значений функции

(x) (см. табл. 1 Приложения).

Для x>5 считают, что (x) 0. Так как функция (x) четная, то ( x) (x). По

условию задачи п = 625, m = 415, p=0,64. Находим q= 1 —0,64 = 0,36. Определяем значение х при этих данных:

x	415 625 0,64		1,25.

		625 0,64 0,36

По табл. 1 находим, что (1,25) = 0,1 826. Подставив это значение в (2), получим

P625	(415 )	1	0,1826	0,015 .


		0,65 0,36
	625

Задача 5. Среди семян ржи 0,04 % сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 5000 семян обнаружить 5 семян сорняков?

Решение. Применение асимптотической формулы (2) для случая, когда вероятность р близка к нулю, приводит к значительному отклонению от точного значения Рп(т), При малых значениях р (и при малых значениях q) применяют асимптотическую формулу Пуассона.

Если вероятность появления события А в каждом из п независимых испытаний мала, а число испытаний п достаточно велико, то вероятность того, что событие А наступит т раз, вычисляется приближенно по формуле

P (m)	m	( 3 )
	e ,
n	m!

где np.

Формулу (3) применяют в тех случаях, когда 10. При этом чем больше число п и меньше число р, тем точнее результат по этой формуле. По условию задачи n = 5000, m=5,

р = 0,0004. Тогда = 5000 0,0004 = 2. Применяя (3), получим:

Задача 6. Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что число попаданий при 600 выстрелах будет заключено в пределах от

330 до 375.

Решение. Формулы Бернулли, Пуассона, асимптотическая формула (2), выражающая суть локальной теоремы Лапласа, позволяют найти вероятность появления события А ровно т раз при п независимых испытаниях. На практике часто требуется определить вероятность того, что событие А наступит не менее т1 раз и не более т2 раз, т. е. число m определено неравенствами

m1 m m2 . В таких случаях применяют интегральную теорему Лапласа.

Если вероятность наступления события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р (р отлична от нуля и единицы), а число п достаточно велико, то вероятность того, что событие А в таких испытаниях наступит не менее m1 раз и не более m2 раз, вычисляется приближенно по формуле

		1	x2	2
Pn (m1	m m2 )	1	e dx, ( 4 )


		2П
		2П

где

m2 np

npq

Имеются таблицы значений функции

Ф(x)

e z2

2 dz (см. табл. 2 Приложения). Ф(х)

2П

называется функцией Лапласа. Эта функция является нечетной, т.е. Ф(-x)= — Ф(x). Поэтому таблица значений дается только для положительных чисел. Функция Ф(х) является монотонно возрастающей. При неограниченном возрастании х функция Ф(х) стремится к 0,5. Если воспользоваться готовыми значениями функции Лапласа, то формулу (4) можно записать так:


Pn (m1 m m2 ) Ф( ) Ф( ).						(5)
По условию n = 600, р =0,6, m1 = 330, m2==375. Находим и						:
	330 600 0,6		2,5;		375 600 0,6		1,25.

		600 0,6 0,4		600		0,6 0,4

По табл. 2 находим Ф(1,25) = 0,3944; Ф(- 2,5) =- Ф(2, 5) = -0,4938. Подставив эти значения в (5), получим искомую вероятность:

P600 (300 m 375 ) 0,3944 ( 0,4938 ) 0,8882 .

17.3.Вопросы для самопроверки.

1.Дайте понятия испытания и события.

2.Сформулируйте определение вероятности события.

3.Приведите примеры невозможных, достоверных, случайных событий.

4.Понятие полной группы событий.

5.Какие два события называются противоположными?

6.Сформулируйте теорему сложения совместных событий, несовместных событий.

7.Сформулируйте теоремы умножения зависимых, независимых событий.

8.Запишите формулу полной вероятности, формулы Бейеса.

9.На что указывает формула Бейеса?

10.В чѐм заключается смысл локальной и интегральной теорем Лапласа?

11.Запишите формулу Бернулли. Когда она применяется?

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.08.2019584.7 Кб6Вопросы к рубежной контрольной работе.doc
#
14.04.201519.79 Кб25Вопросы к экзамену по анатомии.docx
#
14.04.201526.76 Кб18Вопросы к экзамену.Анатомия.docx
#
14.04.201548.35 Кб154все таблицы по ботанике.docx
#
14.04.2015166.4 Кб25ВСЭинвазБолезни.doc
#
14.04.2015899.53 Кб19Высшая математика3,4.pdf
#
14.04.201577.05 Кб16ГАУСЗ, аудит, в-1 (задания 1-5).docx
#
14.04.2015334.85 Кб55генетика.doc
#
14.04.2015138.62 Кб23геодезия кр.docx
#
14.04.20154.42 Mб180Гидравлика Учебное пособие.pdf
#
23.11.2019117.76 Кб7Глоссарий Агрономия 2012.doc