Высшая математика3,4

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Государственный аграрный университет Северного Зауралья

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1 Несобственный интеграл сходится (является конечной величиной),

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

899.53 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Потенцируя, находим

, или x(1+t²)=Ct. Из введѐнной подстановки следует, что t

t 2

y 2

Следовательно,

x 1

или x²+y²= Cy – общее решение данного уравнения.

Задача 3. Найти общее решение уравнения y'-y tg x=2 xsec x.

Решение. Данное уравнение является линейным, так как оно содержит искомую функцию y и еѐ производную y' в первой степени и не содержит их произведений.

Применяем подстановку y= uv, где u и v –некоторые неизвестные функции аргумента x. Если y=uv, то y'= (uv)'= u'v+uv' и данное уравнение примет вид:

u'v+uv'-uvtg x= 2x sec x,
или
v(u'-utg x)+ uv'= 2xsec x.	(1)

Так как искомая функция y представлена в виде произведения двух других неизвестных функции, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию u так, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части неравенства (1), обращалось в нуль, т.е выберем функцию u так, чтобы имело место равенство

u'-utg x=0	(2)
При таком выборе функции u уравнение (1) примет вид
uv'= 2x sec x.	(3)

Уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными относительно u и x. Решим это уравнение:

		du	utgx 0;	du	utgx;			du	tgxdx;
		dx	utgx 0;	dx	utgx;			u	tgxdx;
		dx		dx				u
du	tgxdx;	ln u= -ln cos x,		u		1	;		или	u sec x
u	tgxdx;	ln u= -ln cos x,		u		cos x	;		или	u sec x
u						cos x

(Чтобы равенство (2) имело место, достаточно найти одно какое-либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное рашение, которое соответствует значению произвольной постоянной C=0.) Подставив в (3) найденное выражение для u, получим:

secxv'=2xsecx; v'=2x;	dv	2x;	dv=2xdx. Интегрируя , получаем v=x²+C. Тогда
	dx

y=secx(x²+C)- общее решение данного уравнения.

12.3.Вопросы для самоконтроля.

1.Какое уравнение называется дифференциальным?

2.Как определяется порядок уравнения? Примеры.

3.Что значит решить ДУ1 ?

4.Какая функция называется решением ДУ1 ?

5.Какое решение называется общим, частным?

6.Как найти частное решение ДУ1 по начальным условиям? Записать план операций, выполняемых при решении на примере y'-2x=0 при начальных условиях y(-2)=4.

7.Сформулировать геометрический смысл общего и частного решения ДУ1.

Тема 13. Дифференциальные уравнения высших порядков.

Пискунов, гл. VIII, §16-25, Упр. 118-158.

Данко, § 2 ,3 часть II

	13.1 Основные понятия. Типы ДУn
1. Определение:	Равенство	вида	F x, y, y , y ,... y n 0 называется	ДУn

( дифференциальным уравнением n-го порядка).

2.y= (x,c1,c2,…,cn )- общее решение ДУn, где x-аргумент, c1,c2…,cn – произвольные постоянные.

3.Задача Коши .

F (x, y, y',y″,…,y(n) )=0- данное ДУn

y(x 0)= y 0 , y' (x 0)=y'0 ,…,y(n-1) (x 0)= y0(n-1) - начальные условия

Задача Коши находит частное решение ДУn.

4.y(n) =f (x). Решение этого уравнения находится n-кратным интегрированием данного уравнения.

5.y"= f (x, y') или F (x, y', y")=0- уравнение не содержит переменную y (искомую функцию).

Решается подстановкой y'= P (x), y"= P' (x)

6.y"= f (y,y') или F (y, y', y")=0- уравнение не содержит переменную x (аргумент).

Решается подстановкой y'= P (y), y"= P' (y) y' или y"=P'· P

7.y"+py'+qy=f (x)- линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами p и q.

Если f (x) 0, то уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2- го порядка (ЛНДУ2 )

Если f (x) 0, то уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка (ЛОДУ2).

8.Система ДУ вида:

dx1 f1 (t, x1 , x2 ,...,xn ) dt

dx2 f2 (t, x1 , x2 ,...,xn ) dt

dxn fn (t, x1 , x2 ,...,xn ) dt

где x1, x2, x3,…,xn- неизвестные функции независимой переменной t называется нормальной системой.

Иногда нормальную систему удаѐтся свести к одному ДУn , содержащему одну неизвестную функцию методом исключения других неизвестных.

В некоторых случаях после несложных преобразований удаѐтся получить легко интегрируемые уравнения.

13.2. Примеры решения задач

Задача 1. Найти частное решение ДУ3

y"'= 2x при начальных условиях:

y (1)= 2 y' (1)= 4 y" (1)= -2

Решение: 1) Проинтегрируем данное уравнение последовательно три раза.

			y"= 2xdx= x²+ c 1												(1)
		y\| (x 2		C\| )dx				x3	c1 x c2						(2)
		y\| (x 2		C\| )dx					c1 x c2						(2)
							3
	x3						x4			c x2
y			c x c			dx				1	c		x c		(3)- общее решение.
y			c x c		2	dx					c	2	x c	3	(3)- общее решение.
		3	1		2		12		2			2		3
		3					12		2

2) Найдѐм частное решение, подставив соответствующие начальные условия в (1), (2), (3).

(1)									-2 =1² +С,						С1 = -3
(2)				4		13		с		1 с				,	c		4		1	3 6					2
(2)				4				с		1 с			2	,	c	2	4			3 6
					3		1						2			2	3								3
					3												3								3
(3)	2	14		( 3) 12	6			2	1 c			,		c		2		1				3	4		,	c		24 1 18					7	;
	12		2				3				3				3		12			2							3			12		12
	12		2				3										12			2										12		12
	Тогда частное решение имеет вид:																y				x 4			3x 2		6		2	x	7	;
	Тогда частное решение имеет вид:																y									6			x		;
																				12					2			3		12

Задача 2. Дано уравнение: (x²+1) y"= 2xy'. Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: y(0)= 1; y'(0)=3.

Решение: Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно функцию y. Положим y'=p, где p- некоторая функция аргумента x. Если y'=p, то y"=dp/dx и данное

уравнение примет вид x2 1 dpdx 2xp. Мы получили уравнение первого порядка относительно переменных p и x.

Решим это уравнение:	dp	2xdx	;	dp	2xdx	;	ln p = ln(x²+1)+ln C1 ,

	p	x 2 1		p	x 2 1

откуда p= C1(x²+1) или y'=C1(x²+1).

Определим численное значение С1 при указанных начальных условиях. Имеем 3=С1(0+1). Следовательно, С1=3. Теперь решаем уравнение первого порядка y'=3(x²+1):

dy= 3(x²+1)dx;

y=3 (x²+1)dx= x³+3x+C2 .

Определим численное значение С2 при указывающих начальных условиях. Имеем 1=0+0+С2 ; C2=1. Таким образом, y= x³+3x+1 есть частное решение, удовлетворяющее указанным начальным

условиям.

Задача 3. Дано уравнение 2 yy"= (y')². Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям: y(-1)=4; y'(-1)=1.

Решение. Данное уравнение второго порядка не содержит явно аргумента x. Положим

y'=p, где p-некоторая функция

переменной

Если

y'=p,

то

Тогда данное уравнение примет вид:

2 yp

;

2 yp

2 y

p 0.

Если приравнять нулю первый множитель, то получаем: p=0; y'=0; y=C- решение данного

уравнения.

Приравняем нулю второй множитель:

2 y

p 0;

;

ln p

ln y ln C ;

2 y

p=C1

y , или y'=C1

Используя начальные условия, находим C1:

1=С1

4 ;

C1=1/2 .

Далее решаем уравнение

y :

x c

dx;

2 y

( 1) c

Теперь определим значение C2:

;

(x 9)2

Тогда 2

;

(x 9)

-искомое частное решение,

удовлетворяющее указанным начальным условиям.

Задача 4. Решить систему уравнений и выделить частные решения, удовлетворяющие

заданным начальным условиям:

x 6 y,

x 3t 0,5,

x(0)=1, y(0)= -1.

Решение. Обе части первого уравнения системы продифференцируем по переменной t:

d 2 x

dt 2

В полученном уравнении заменим

правой частью второго уравнения системы. В результате

получим неоднородное линейное уравнение второго порядка:

d 2 x

6x 18t 3.

(1)

dt 2

Составим и решим соответствующее однородное линейное уравнение:

d 2 x

6x 0

(2)

dt 2

Характеристическое уравнение k²-k-6=0 имеем корни: k1=-2, k2=3. Следовательно, общее решение

(2) имеет вид:

Xодн = C1 e-2t + C2 e3t .

Находим частное решение x = At+B. Дважды дифференцируя, получим ( x )'=A, ( x )"=0.

Подставив в (1), находим A=-3 и B=0. Следовательно, x = -3t и x=C1e-2t+C2e3t-3t.

(3)

Из первого уравнения системы находим, что 6 y				dx	x, или 6y= -2C1e-2t+3C2e3t-3 –C1e-2t - C2e3t+ 3t,
Из первого уравнения системы находим, что 6 y					x, или 6y= -2C1e-2t+3C2e3t-3 –C1e-2t - C2e3t+ 3t,
				dt
	откуда		6y=-3C1e-2t +2C23t+3t-3.			(4)
Подставив начальные условия в (3) и (4), получим систему:						C1+C2=1 и 3C1-2C2=3 .
Решение этой системы даѐт C1=1 и C2=0. Следовательно,
x e 2t 3t и	y	1	e 2t t 1 -частные решения, удовлетворяющие заданным
x e 2t 3t и	y	2	e 2t t 1 -частные решения, удовлетворяющие заданным
		2

начальным условиям.

13.3 Вопросы для самоконтроля.

1.Дайте определение ДУ2 и общего решения этого уравнения. Пример.

2.Изложить план выполнения операции при решении уравнений второго порядка: а) не содержащих y,

б) не содержащих x.

3.Дать определение линейного дифференциального уравнения 2-го порядка. Привести пример.

4.Как решается ЛОДУ2 с постоянными коэффициентами (описать способ решения).

5.Какой вид имеет общее решение линейного уравнения второго порядка без правой части ( с постоянными коэффициентами) ЛОДУ2 в зависимости от корней характеристического уравнения?

6.Разъяснить правило отыскания частного решения линейного уравнения с правой частью f(x)=A·emx, f(x)= Pn (x)·emx .

7.Какое уравнение называется характеристическим уравнением для линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами?

8.Каков геометрический смысл начальных условий для ДУ2?

9.Какова структура общего решения ЛОДУ2?

10.Как составляется общее решение для ЛНДУ2?

11.Разъяснить правило отыскания частного решения ЛНДУ2 с правой частью

f(x)=emx(a cos nx+ b sin nx)

12.В чѐм заключается метод вариации произвольных постоянных?

13.Какая система ДУ называется нормальной?

14.Описать приѐмы сведения произвольной системы ДУ к нормальной.

15.Описать приѐмы сведения нормальной системы к однородному уравнению высшего порядка.

Тема14. Числовые ряды.

Пискунов, гл XVI, §1-8, упр 1-28.

Данко, ч II, гл III,§1.

14.1 Основные понятия.

1. Выражение a1+a2+…aп+…= an называется бесконечным числовым рядом, где an=f(n)-

n 1

общий член ряда ( формула бесконечной числовой последовательности ).

2.Ряд называется сходящимся, если его n-я частная сумма Sn стремится к конечному

числу S при n ,

т.е.

lim Sn S , S-конечное число.

Если lim Sn

S , S- конечное число, то ряд называется расходящимся.

3.Если ряд

сходится, то lim an 0 -

необходимый признак сходимости числового

n 1

ряда.

4.Первый признак сравнения ( достаточный признак).

Если два ряда с положительными членами an

и bn , причѐм члены

не превосходят

n 1

соответствующих членов ряда bn

т.е

an bn , то

из сходимости ряда bn следует сходимость

n 1

an , а из расходимости ряда an

следует расходимость ряда bn

n 1

5. Второй признак сравнения (достаточный признак).

Если существует конечный или отличный от нуля предел отношения

lim

k -

конечное

n b

число, то оба ряда одновременно сходятся или одновременно расходятся.

6. Признак Даламбера (достаточный признак).

an 1

Если для ряда an существует lim

l , то этот ряд сходится при l 1 и расходится

a 1

при l 1.

7.Признак Коши (достаточный признак).

Если для числового ряда

существует

конечный предел lim n

an C

, то этот ряд

n 1

сходится при c< 1 и расходится при c>1.

8.Интегральный признак.

Если f(x) при x 1-непрерывная положительная и монотонно убывающая функция,

то an , где an = f(n) сходится или расходится, в зависимости от того сходится или расходится

n 1

несобственный интеграл f (x)dx

9. Числовой ряд

( 1)n an a1 a2 a3 .... - называется знакочередующимся.

n 1

Признак Лейбница: Если

абсолютные величины членов ряда убывают, а lima

0 , то

знакочередующийся числовой ряд сходится, т.е. если выполняются два условия:

|a1| > |a2| > |a3|….


2) lim an 0,	то ( 1)n an сходится.
n	n 1

10. Если Sn= a1-a2+….+(-1)n-1 an – n-я частичная сумма.

rn= (an+1-an+2 +….)- остаток ряда, тогда выполняется неравенство

rn < an+1, т.е. остаток знакочередующего ряда (rn) по абсолютной величине меньше первого в скобках члена или остаток ряда (rn) по абсолютной величине меньше абсолютной величины первого из отбрасываемых членов.

14.2 Примеры решения задач.

Задача 1. Исследовать сходимость ряда:

....

Решение: Применим признак Даламбера:

; a

2n 1

;

n 1

2n 1

n10

2n10

;

n10

n 1

(n 1)10

l lim

an 1

lim

2n10

lim

(n 1)10

n )

Т.к. l > 1, то ряд расходится.

Задача 2. Исследовать сходимость ряда .

n 1 n 2

Решение. Имеем an n12 , следовательно, f (x) x12 -непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция при x ≥1. Применим интегральный признак сходимости.

поэтому сходится и данный ряд.

14.3. Вопросы для самопроверки.

1.Какое выражение называется числовым рядом с положительными членами? Знакочередующимся числовым рядом?

2.Что понимается под суммой сходящегося числового ряда?

3.Можно ли утверждать, что ряд сходится , если предел его общего члена равен нулю при n ?

4.В чѐм состоит признак Даламбера?

5.Какие знакопеременные числовые ряды называются абсолютно сходящимися и какие условно сходящимися?

6.В чѐм заключается интегральный признак сходимости числового ряда?

7.Сформулировать один из признаков сравнения числовых рядов.

Тема 15. Степенные ряды.

Приложения степенных рядов.

Пискунов, гл XVI, § 9-22, упр 40-132

Данко ч. II, гл. III, §2-6.

15. 1. Основные понятия и формулы.

1.Определение. Функциональный ряд вида a 0 +a 1 (x-x 0)+ a 2 (x-x 0)2 +…+a n (x-x 0)+… где a 0, a 1…a n –действительные числа (коэффициенты степенного ряда) называется степенным рядом. a 0 +a 1 x+ a 2 x2 +a 3 x3 +… +an xn +…частный случай степенного ряда.

2. R lim

- формула для нахождения радиуса сходимости степенного ряда.

n 1

(////////|///////)

(x0-R,x0+R)-

интервал

сходимости

x0-R

x0+R

степенного ряда:

a 0 +a 1 (x-x 0)+ a 2 (x-x 0)2+…

(////////|///////)

(-R,R)- интервал сходимости степенного ряда

-R

a 0 +a 1 x+ a 2 x

+a 3 x

+…

3. Интервал сходимости можно находить, применяя непосредственно признак

Даламбера или признак Коши:

un 1

1 или

lim

lim n

где Un=an(x-x0)n

или Un=an xn

4.Всякая функция f (x), бесконечно дифференцируемая в интервале (x0-R,x0+R), может быть разложена в ряд Тейлора:

f (x) f (x

)

f (x0 )

(x x

)

f (x0 )

(x x

...

или в ряд Маклорена:

f (x)

f (0)

x 2

...

(n) (0)

x n ....

f (n) (x0 )	(x x		)n ...
		0
n!

5.На практике часто приходится прибегать к приближѐнным вычислениям, основанным на разложении некоторой функции в степенной ряд и последующей замене ряда конечной суммой с требуемой точностью. При вычислении определѐнных интегралов, решение дифференциальных уравнений также применяют разложение соответствующих функций в степенные ряды.

15. 1. Примеры решения задач.

	n		n
Задача 1. Найти область сходимости степенного ряда	3	x		:
	n

n 1	2		n

Решение. Данный степенной ряд можно записать так:

32 x 2

33 x3

3n x n

3n 1 x n 1

...

2 1 22

2 23

2n n 2n 1

3n 1 xn 1

Применяем признак Даламбера: lim

Un 1

lim

2n 1 n

3 x

Как видно, ряд будет сходиться для тех значений х,

(1)

3			n		3
	lim			x		x	.

		n 1
2 n					2

для которых	3	x	1, или	x	2	или	2	x	2

	2				3,		3		3.

Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала. При х=-2/3 ряд (1) примет вид :

1	1	1	1	...	(2)

1	2	3	4

Ряд (2) является знакочередующимся; его общий член по абсолютному значению стремится к нулю при n . По признаку Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов заключаем, что ряд (2) сходится. Следовательно, значение х=— 2/3 принадлежит области сходимости данного ряда.

Подставив в (1) x= 2/3, получим:	1	1	1	1	.... (3)

	1	2	3	4

Ряд (3) расходится (для этого достаточно сравнить его с гармоническим рядом). Следовательно, значение x = 2 /з не принадлежит области сходимости данного ря да.

Таким образом,	2	x	2	— область сходимости исследуемого ряда.
Таким образом,	3	x	3	— область сходимости исследуемого ряда.
	3		3
					12 sin 2x
Задача 2. Вычислить интеграл						x	dx с точностью до 0,001.
					0

Решение. Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд функции sin х, будем

иметь:

sin 2x 2x

(2x)3

(2x)5

(2x)7

...

Тогда

sin 2x

23 x 2

25 x 4

27 x6

...;

23 x2

25 x

27 x6

sin 2x

dx (2

...)dx 2x

...

= 1	1	1	1	... 1		1	1	1	...
	3!3	5!5	7!7		18		600	35280

Мы получили знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в полученном ряде четвертый член по абсолютному значению меньше 0,001, то ограничиваемся только первыми тремя членами.

	1\2sin 2x			1	1
Итак,			dx 1			1 0,0556 0,0017 0,946
Итак,		x	dx 1	18	600	1 0,0556 0,0017 0,946
	0

Задача 3. Найти первые три (отличные от нуля) члена разложения в ряд Маклорена функции у(х), являющейся частным решением дифференциального урав нения у' =x+ х2 — y2+cosx,

если у(0)=1.

Решение. Положим, что y(x) является решением данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. Если y(x) допускает разложение в ряд Маклорена, то имеем:

y(x) y(0)	y (0)	x		y (0)	x2	y (0)	x3	...	(1)
	1!			2!		3!

Свободный член разложения (1), т.е.			y(0), дан по условию. Чтобы найти значения y / (0),

y // (0), y /// (0),…, можно данное уравнение последовательно дифференцировать по переменной x и затем вычислить значения производных при x=0.

Значение y (0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:

y (0)=0+0-1+1=0; y (0)=0

y (x)=1+2x-2yy-sin x- производная данного уравнения (2)

y (0)=1+0-0-0=1;

y (x)=2-2(y )2-2yy-cosx –производная уравнения y (0)=2-0-2-1= -1.

…………………..

Подставив найденные значения производных при x=0 в (1), получим разложение искомого частного решения заданного уравнения:

y(x) 1 10! x 21! x2 31! x3 ....

или

y(x) 1 12 x2 16 x3 ...

15.3Вопросы для самопроверки.

1.В чѐм заключается задача разложения функции f(x) в степенной ряд?

2.Как найти интервал сходимости степенного ряда?

3.Как определяются коэффициенты ряда Тейлора?

4.Запишите остаточный член ряда Тейлора.

5.Какой ряд называется рядом Маклорена?

6.В чѐм состоит метод интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов?

7.В чѐм состоит метод интегрирования функции с помощью степенных рядов?

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.08.2019584.7 Кб6Вопросы к рубежной контрольной работе.doc
#
14.04.201519.79 Кб25Вопросы к экзамену по анатомии.docx
#
14.04.201526.76 Кб18Вопросы к экзамену.Анатомия.docx
#
14.04.201548.35 Кб154все таблицы по ботанике.docx
#
14.04.2015166.4 Кб25ВСЭинвазБолезни.doc
#
14.04.2015899.53 Кб19Высшая математика3,4.pdf
#
14.04.201577.05 Кб16ГАУСЗ, аудит, в-1 (задания 1-5).docx
#
14.04.2015334.85 Кб55генетика.doc
#
14.04.2015138.62 Кб23геодезия кр.docx
#
14.04.20154.42 Mб180Гидравлика Учебное пособие.pdf
#
23.11.2019117.76 Кб7Глоссарий Агрономия 2012.doc