Высшая математика3,4
.pdfМинистерство сельского хозяйства Российской федерации.
Тюменская Государственная Сельскохозяйственная Академия.
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Программа, методические указания и контрольные задания для студентов-заочников первого курса инженерных специальностей МТИ ТГСХА.
Часть II.
Тюмень 2004
Кафедра высшей математики
Составители:
Дьячкова Л.И, доцент Пинаева Г.М, ст. преподаватель
Рецензенты: Антропов В.А., заведующий кафедрой математики Столярова О.А., ст. преподаватель
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Методические указания к контрольным работам № 3, 4.
Решение методического Совета МТИ. Протокол №7 от 19.03.04
Тюмень 2004
Содержание:
Программа курса высшей математики………………………………………………...4 Методика самостоятельной работы студента…………………………………………8
Таблица вариантов контрольных работ…………………………………………….….9
Указания к выполнению контрольной работы № 3………………………………….10 Контрольная работа №3………………………………………………………………..24 Указания к выполнению контрольной работы № 4………………………………….28
Контрольная работа № 4……………………………………………………………….40 Приложение……………………………………………………………………………..46
Программа курса «Высшая математика» для инженерно-технических специальностей.
Содержание программы (продолжение).
X. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
48.Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах. Приложения дифференциальных уравнений первого порядка в различных областях науки.
49.Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений. Уравнения, допускающие понижение порядка. Приложения к решению задач о второй космической скорости, о движении физического маятника, об изгибе стержня.
50.Линейные дифференциальные уравнения, однородные и неоднородные. Понятие общего решения.
51.Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида. Приложения к описанию линейных моделей.
XI. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
52. Нормальная система дифференциальных уравнений. Автономные системы. Векторная запись нормальной системы. Геометрический смысл решения. Фазовое пространство (плоскость), фазовая кривая. Приложения в динамике систем материальных точек, в теории автоматического управле- _ ния, в биологии (модель «хищники-жертвы») и т. п.
53.Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
54.Метод исключения для решения нормальных систем дифференциальных уравнений. Простейшие численные методы.
55.Системы линейных дифференциальных уравнений, свойства решений. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
56.Понятие о качественных методах исследования систем дифференциальных уравнений.
XI. Числовые и функциональные ряды.
57.Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами.
58.Методы исследования сходимости рядов.
59.Функциональные ряды. Область сходимости, методы ее определения.
60.Степенные ряды. Разложение функций в степенные ряды. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях.
61.Ряды Фурье по тригонометрическим системам. Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье. Условия поточечной сходимости и сходимости «в среднем». Применение тригонометрических рядов Фурье в приближенных вычислениях.
XIII. Теория вероятностей.
62.Предмет теории вероятностей.
63.Классификация событий. Пространство элементарных событий. Алгебра событий.
64.Понятие случайного события. Относительные частоты. Закон устойчивости относительных
частот.
65. Классическое и геометрическое определение вероятности. Понятие об аксиоматическом построении теории вероятности. Понятие об аксиоматическом построении теории ве-
роятностей.
66.Методы исчисления вероятностей.
67.Схема Бернулли.
4
68.Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Функция распределения, ее свойства. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.
69.Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.
70.Нормальное распределение, его свойства.
71.Понятие о различных формах закона больших чисел. Теоремы Бернулли и Чебышева.
Центральная предельная теорема Ляпунова.
XIV. Основные понятия и методы математической статистики.
72. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма, эмпирическая функция распределения, выборочная средняя и дисперсия.
73.Статистические оценки генеральной средней и доли. Погрешность оценки. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Определение необходимого объема выборки.
74.Понятие о критериях согласия. Проверка гипотез о равенстве долей и средних.
75.Функциональная зависимость и регрессия. Кривые регрессии, их свойства. Коэффициент корреляции, корреляционное отношение, их свойства и оценки.
76.Определение параметров линейной регрессии методом наименьших квадратов.
77.Определение параметров нелинейных уравнений регрессии методом наименьших квадратов непосредственно и с помощью линеаризующих замен переменных.
78.Оценка параметров многомерных линейных функций регрессии. Совокупный и частные коэффициенты множественной корреляции, свойства и оценки.
5
Ли т е р а т у р а.
1.Пискунов П. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т 1,2. М., Наука, 1973.
2.Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа. М., Наука, 1973.
3.Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М., Наука, 1972.
4.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа, 1977
5.Лихолетов И.И. Высшая математика, теория вероятностей и математическая статистика. Минск, Высшая школа, 1976.
6.Лихолетов И.И. Руководство к решению задач по высшей математике. Минск, Высшая школа,
1976.
7.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах . Часть I, II. М., Высшая школа, 1974.
8.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятности и математической статистике.
6
Методика самостоятельной работы студента при изучении математики.
1. При изучении материала по учебнику, указанному в пособии перед каждой темой, ведите конспект, в котором выписывайте определения, формулировки теорем, формулы, графики и т.д.
2.На полях конспекта отмечайте вопросы для письменной или устной консультации с преподавателем.
3.Переходите к следующему вопросу только после хорошего понимания предыдущего материала.
4.Теоретические формулы обводите рамкой, чтобы они лучше запоминались при перечитывании конспекта. Можно выписать основные формулы на отдельном листе в форме справочника.
5.При решении задач обосновывайте каждый этап решения теоретическими положениями курса математики, задавая себе вопрос: "На каком основании сделан переход от одной операции к другой?".
6.Отделяйте вспомогательные вычисления от основных при оформлении решения.
7.Делайте рисунки, но аккуратно и в соответствии с условием задачи.
8.Запишите краткий план решения задачи. Помните, что вы должны приобрести твѐрдые навыки в решении однотипных задач.
9.Помогите себе в повторении, закреплении, усвоении изученного материала по вопросам для самопроверки, предлагаемым в этом пособии после каждой темы.
Помните, что умение решать задачи является необходимым, но не достаточным условием хорошего знания теории.
10.Для обратной связи студента-заочника с преподавателем следует выполнить четыре контрольные работы, предложенные в методических указаниях. Рецензия на работу указывает на пробелы в знаниях. Несамостоятельное выполнение работы делает студента неподготовленным к устному экзамену или зачѐту.
11.Без контрольных работ с рецензией преподавателя, исправлениями и дополнениями студент не допускается к сдаче экзамена или зачѐта.
12.На экзамене и зачѐте проверяются отчѐтливое понимание теоретических и прикладных вопросов программы, а также умение применить знания к решению практических задач.
13.Студент выполняет тот вариант контрольных работ, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра (номера зачѐтной книжки).
14.На титульном листе выполненной контрольной работы укажите номер этой контрольной работы, Ф.И.О. студента, учебный шифр (номер зачѐтной книжки), дату окончания работы, подробный адрес студента.
На 1 курсе выполняются контрольные работы №1 и №2. На 2 курсе выполняются контрольные работы №3 и №4.
15.Указать используемую литературу в конце решѐнной работы.
7
Таблица заданий для контрольных работ №1 и №2.
Номер |
|
|
|
|
Номер задач для контрольных работ |
|
|
||||||
варианта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Работа №3 |
|
|
|
|
|
Работа №4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
211 |
221 |
231 |
241 |
251 |
261 |
271 |
281 |
291 |
301 |
311 |
321 |
331 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
212 |
222 |
232 |
242 |
252 |
262 |
272 |
282 |
292 |
302 |
312 |
322 |
332 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
213 |
223 |
233 |
243 |
253 |
263 |
273 |
283 |
293 |
303 |
313 |
323 |
333 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
214 |
224 |
234 |
244 |
254 |
264 |
274 |
284 |
294 |
304 |
314 |
324 |
334 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
215 |
225 |
235 |
245 |
255 |
265 |
275 |
285 |
295 |
305 |
315 |
325 |
335 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
216 |
226 |
236 |
246 |
256 |
266 |
276 |
286 |
296 |
306 |
316 |
326 |
336 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
217 |
227 |
237 |
247 |
257 |
267 |
277 |
287 |
297 |
307 |
317 |
327 |
337 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
218 |
228 |
238 |
248 |
258 |
268 |
278 |
288 |
298 |
308 |
318 |
328 |
338 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
219 |
229 |
239 |
249 |
259 |
269 |
279 |
289 |
299 |
309 |
319 |
329 |
339 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
220 |
230 |
240 |
250 |
260 |
270 |
280 |
290 |
300 |
310 |
320 |
330 |
340 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
Указания к выполнению контрольной работы №3
(темы 12-16)
Тема 12. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Пискунов, гл. VIII, § 1-8, упр. 1-68 Данко, часть II, гл. IV, §1
12.1 Определение дифференциального уравнения первого порядка. Типы дифференциальных уравнений первого порядка.
1.Определение. Равенство, связывающее независимую переменную х, функцию у и производные ( или дифференциалы) этой функции называются дифференциальным уравнением первого порядка ( DY1) т.е. F (x,y,y')=0 или y'=f (x,y)
Решить дифференциальное уравнение первого порядка – значит, найти неизвестную функцию y.
2.Общим решением дифференциального уравнения первого порядка y f x, y
называется функция y= (x,c), где C- постоянная, которая при подстановке в дифференциальное уравнение первого порядка обращает его в тождество. На плоскости XOY общее решение y= (x,c) выражает семейство интегральных кривых.
3.Всякое решение y= ( x,С0) полученное из общего решения при конкретном значении С=С0 называется частным решением дифференциального уравнения первого порядка.
4.Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения первого порядка
y'= f (x,y), удовлетворяющего начальному условию y(x0)=y0, или y/ x=x0 =y0, или
x= x0
y= y0 - называется задачей Коши.
5. f1 (x) 1 (y)dx+ f2(x) 2 (y)dy=0 -ДУ1 с разделяющимися переменными. |
||||||
6. y1 f ( |
y |
) |
-ОДУ1 – |
однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка или |
||
|
||||||
|
|
|
x |
|
|
|
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 , где P(x,y), |
Q(x,y)- однородные функции одного измерения. Используется |
|||||
подстановка |
у |
t |
|
|
||
|
|
|
||||
|
х |
|
|
|||
|
y1 |
a x b y c |
|
|
|
|
|||||
7. |
f |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
, где |
a1b2 a2b1 0 . ДУ1 , приводимое к однородному |
||
|
|
x b |
y c |
|
|||||||
|
|
a |
2 |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
подстановкой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x U |
, |
где |
( , ) - точка пересечения прямых |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||
a1 x b1 y c1 0 и a2 x b2 y c2 0
Если a1 b2 – a2 b1 =0 |
, то используется подстановка |
a1 x + b1 y =t |
|
||||
|
|
дР |
|
дQ |
|
|
|
8. P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 , где |
|
- называется уравнением в полных дифференциалах. |
|||||
|
ду |
дх |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
9 |
|
|
где P(x,y)dx+Q(x,y)dy =duполный дифференциал функции U=U (x;y)
Решить данное уравнениезначит, найти функцию и. 9. y'+ P(x)y= Q(x)- линейное ДУ1 (ЛДУ1)
Если Q(x) 0, то уравнение неоднородное, Если Q(x) 0, то уравнение однородное.
ЛДУ1 интегрируются:
1)Методом Бернулли ( с помощью подстановки y= иv, где u и v- пока неизвестные функции)
2)Методом Лагранжа, варьируя произвольную постоянную.
10. y'+P(x) y=Q(x)ym, где m- число, m 0, m 1- дифференциальное уравнение Бернулли, решаемое либо с помощью подстановки y= uv, либо методом Лагранжа (см. пункт 9).
12.2. Примеры решения задач.
Задача 1. Найти частное решение ДУ1 y cos x
условию y (0)= 1. Решение:
Данное уравнение с разделяющимися переменными.
Т.к. y dydx , то уравнение примет вид:
y =0, удовлетворяющему начальному ln y
cos x |
dy |
|
y |
или |
ln y |
dy |
dx |
- после отделения переменных. |
|
|
|
|
|||||
|
dx |
|
ln y |
|
y |
cos x |
|
|
Интегрируя обе части последнего уравнения, получим:
|
ln y |
dy |
dx |
|
1 |
|
2 |
y ln |
x |
|
|
c -общее решение |
|
|
|
или |
|
ln |
|
tg |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
y |
|
cos x |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
Используя начальное условие y= 1, x= 0, находим C= 0. Тогда из общего решения выделяется частное решение:
1 |
|
2 |
y ln |
x |
|
|
|
|
ln |
|
tg |
|
|
||
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
4 |
Задача 2. Найти общее решение уравнения 2xydx+(y²-x²) dy= 0
Решение. Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при dx и dy суть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных x и y. Применяем подстановку y=xt, где t- некоторая функция аргумента x. Если y= x t, то дифференциал dy= d (x t)= tdx+ xdt, и данное уравнение примет вид:
2xxtdt+(x²t²-x²) (tdx+xdt)= 0
Сократив на x², будем иметь:
2tdx+(t²-1) (tdx+xdt)=0 2tdx+(t²-1 ) tdx+x (t²-1)dt=0 t(2+t²-1) dx+x (t²-1)dt=0
|
dx |
|
1 t 2 |
||
t(1+t²)dx= x(1-t²)dt; |
|
|
|
dt . |
|
|
|
|
|||
|
x |
|
t(1 |
t 2 ) |
|
Мы получили уравнение с разделѐнными переменными относительно x и t. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:
|
dx |
|
1 t 2 2t 2 |
|
dt; ln x |
dt |
|
|
2t |
|
dt; |
||||
x |
t(1 t |
2 |
) |
|
t |
1 t |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ln x ln t ln(1 t |
2 ) ln C; |
ln x ln |
|
Ct |
|
|
. |
||||||||
1 t 2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10