ДС Радиооптика_1 / Литература ч.1 / История техники связи

104ПИОНЕРЫ ИНФОРМАЦИОННОГО ВЕКА. История развития теории связи

7.Вопросы теории помехоустойчивости телеграфных сигналов // Докт. дисс. Гос. НИИ МС. — М., 1962.

8.О потенциальной помехоустойчивости сигналов частотного телеграфирования при распределении их компонентов по закону Коши // Сб. трудов Гос. НИИ МС. 1959. Вып. 2 (16).

9.Разнос сигналов частотного телеграфирования при замираниях и идеальном приеме // Электросвязь. 1960. ¹ 3.

10.Оценка средней скорости телеграфирования при прерывной работе радиосвязи с частотной модуляцией // Радиотехника. 1959. ¹ 4.

11.Идеальный прием с предсказанием сигналов частотного телеграфирования при замираниях // Сб. трудов Гос. НИИ МС. 1961. Вып. 3 (24).

12.Идеальный прием с предсказанием сигналов фазового телеграфирования при замираниях // Радиотехника. 1962. ¹ 1.

13.Радиолинии ионосферного рассеяния метровых волн / Н.Н. Шумская, В.В. Вязников, Э.М. Гаспарьянц и др. — М.: Связь, 1973.

14.Потенциальная помехоустойчивость телеграфных сигналов при многолучевом распространении // Сб. трудов Гос. НИИ МС. 1962. Вып. 1 (25).

15.Сложение постоянных напряжений по формуле геометрического суммирования // Электросвязь. 1961. ¹ 9.

16.О необходимом объеме статистического материала при экспериментальном определении вероятности ошибочного приема телеграфных сигналов // Сб. трудов Гос. НИИ МС. 1965. Вып. ¹ 2 (38).

17.Оценка надежности многопролетной линии // Сб. трудов Гос. НИИ МС. 1965. Вып. ¹ 3 (39).

18.К определению качественных показателей линий радиотелеграфной связи // Радиотехника. 1968. ¹ 12.

Давид МИДДЛТОН

Мне нужно действовать. Я каждый день бессмертным сделать бы желал, как тень Великого героя. И понять я не могу, что значит отдыхать. Всегда кипит и зреет что-нибудь в моем мозгу.

Михаил Лермонтов

Введение

Для специалистов в области теории связи во всем мире имя Давида Миддлтона известно так же хорошо, как физикам имена крупней-

ших ученых ХХ в. Альберта Эйнштейна, Нильса Бора или Льва Ландау.

Немецкий философ Эрих Фромм писал: «…самое прекрасное в жизни состоит в том, чтобы реализовать себя не ради какой-нибудь цели, а ради деятельности как таковой, ради творческого акта». Американский ученый Давид Миддлтон относится к тем счастливым людям, которым удалось построить свою жизнь так, что каждый прожитый им день был наполнен творчеством и созиданием. Он принадлежит к выдающимся фигурам в науке ХХ в. Этот человек уникален по количеству первоклассных научных результатов в разных разделах теории связи, а также по продолжительности своей активной творческой деятельности в области статистической теории связи и статистической радиофизике, которая охватила целую эпоху. Его первые основополагающие научные работы были выполнены в середине 40-х гг., а последняя трехтомная научная монография была издана в конце 90-х гг. ХХ столетия.

Любое творчество требует вдохновения, которое, как правило, приходит нечасто и длится непродолжительно. Имеются примеры ученых, творческая продуктивность которых была неиссякаемой. Великий математик Леонард Эйлер при жизни опубликовал сотни выдающихся научных работ. Его производительность как ученого была столь велика, что полученные им результаты Российская академия наук не успевала публиковать. После его смерти осталось огромное научное наследие, издание которого не завершено и по сей день. Весьма продуктивным ученым был знаменитый французский математик Коши. Давид Миддлтон также принадлежит к весьма плодовитым ученым.

В эпиграфе к данному очерку русский поэт Михаил Лермонтов выразил жизненное кредо людей — созидателей, которые не знают отдыха и каждый свой день наполняют действием. Давид Миддлтон по своей природе, безусловно, относится к таким людям.

Проблемы, над которыми он всю жизнь работал, возникли во время Второй мировой войны в годы, когда были заложены основы статистической радиотехники. Эти проблемы были связаны с необходимостью совершенствования приемников (повышения их чувствительности) радиолокационных станций, ставших во время войны важ-

нейшим элементом боевой техники, предназначенной для обнаружения и уничтожения самолетов и кораблей противника. Приемники сигналов, содержащие фильтры и нелинейные элементы (смесители, детекторы, ограничители и т.п.), должны обеспечи- вать надежный прием слабых сигналов в присутствии действующих на их входе шумов. Процессы обработки принимаемых на фоне случайных шумов сигналов весьма сложны, и к решению этих проблем были привлечены многие крупнейшие ученые. В США исследованиями в этой области занялись такие крупные ученые как, Норберт Винер — создатель кибернетики и Стефан Райс, который одним из первых получил основополагающие результаты в данном направлении, опубликованные в 1944 и 1945 гг. в двух его известных статьях в журнале «Bell System Journal». В нашей стране многие важные результаты в этой области были получены профессором В.И. Бунимовичем, работавшим в Институте радиотехники и электроники Академии наук, профессором Московского государственного университета Р.Л. Стратоновичем и профессором Во- енно-воздушной академии им. проф. Н.Е. Жуковского В.И. Тихоновым.

Другое важное направление научной деятельности Д. Миддлтона — создание методов синтеза оптимальных приемников сигналов при наличии радиопомех и оценки их помехоустойчивости. Теоретические основы этой области были заложены академиком В.А. Котельниковым в 1947 г. Д. Миддлтон, независимо от Котельникова, разработал в 1954 г. теорию оптимального приема сигналов на основе математической теории статистических решений. Им были получены многие фундаментальные результаты этой теории.

Биографический очерк

Давид Миддлтон родился 19 апреля 1920 г. в Нью-Йорке. Его мать получила хорошее музыкальное образование в Берлине. Она играла на скрипке, фортепьяно и пела. Отец Миддлтона был поэтом, писателем и редактором газеты «Нью Йоркер». В семье Д. Миддлтона никто никогда не занимался наукой.

Годы юности Д. Миддлтона пришлись на период большой депрессии в экономике США. Хотя у семьи были некоторые сбережения, однако для того, чтобы Миддлтон смог окончить школу, а затем Гарвардский университет, пришлось продать скрипку работы знаменитого итальянского мастера Гварнери, на которой играла его мать. Закончив университет в 1942 г., он получил степень бакалавра.

В начале Второй мировой войны в Гарвардском университете была организована Исследовательская радиолаборатория (ИРЛ). В ее составе была создана группа, разрабатывающая активные и пассивные системы радиопротиводействия для радиолокации, руководителем которой стал выдающийся американский физик Дж. Г. Ван Флек, которому в 1977 г. была присуждена Нобелевская премия за исследования в области магнетизма. В этой группе под руководством Флека начал свою научную карьеру Д. Миддлтон.

Аналогично тому, как электронное телевидение послужило технической основой создания радиолокации, так и разработка проблем выделения полезных сигналов на фоне шумов, над которыми стал работать Д. Миддлтон, явилась предпосылкой наступления в наше время информационной эры. В этой области он выполнил исследо-

вания, создав статистические методы анализа систем приема сигналов в присутствии шумов. После окончания войны Д. Миддлтон продолжил свое образование в Гарвардском университете. В 1945 г. он получил магистерскую степень, а в 1947 г., продолжая работать в ИРЛ под руководством Ван Флека, стал доктором наук в области физики.

Âтечение года Д. Миддлтон стажировался в Гарварде у знаменитого французского физика Леона Бриллюэна, который серьезно интересовался проблемами теории связи и в 50-х гг. написал одну из первых в мире книг по теории информации.

Âлаборатории Гарвардского университета Миддлтон работал до 1954 г., совмещая исследовательскую работу с преподаванием в университете прикладной физики.

Ñ1942 по 1954 г. он вел интенсивные исследования: анализировал работу разных систем с амплитудной (АМ) и частотной модуляцией (ЧМ) при действии случайного шума, разрабатывал методы проектирования и оптимизации систем приема сигналов. Позже он получил важнейшие научные результаты теории связи, разрабатывая теорию оптимального приема сигналов в разных каналах связи, в которых действует не только гауссовский шум, но и другие виды помех с произвольными статистическими характеристиками.

Подобно Эдисону, организовавшему первую в мире исследовательскую лабораторию, продукцией которой были изобретения в разных областях техники, Миддлтон был первым, кто в 1954 г. создал консалтинговую фирму — независимый научно-исследовательский институт, где он был директором, менеджером и главным научным сотрудником. Он выполнял проекты по заказам университетов, промышленных лабораторий, а также Министерств энергетики, обороны и военноморского флота.

Занимаясь исследованиями во многих направлениях теории связи, о которых будет сказано в следующем разделе, Миддлтон продолжал преподавать прикладную физику, математику и электротехнику в Колумбийском, Денверском, Техасском и других университетах США. Кроме того, во многих крупных американских академических институтах он руководил подготовкой аспирантов к защите докторской степени.

Результаты Д. Миддлтона широко публиковались в ведущих научных журналах и освещались на международных конференциях. Им опубликовано более 170 научных статей и несколько фундаментальных монографий.

Д. Миддлтон поддерживал тесные научные контакты с советскими учеными. В период 1973—1984 гг. он четырежды посещал СССР по приглашению Института акустики Академии наук. В 1978 г. под его редакцией в издательстве «Наука» вышла книга отечественного ученого В.В. Ольшевского «Статистические методы в гидролокации».

Д. Миддлтон — член физического, математического и акустического научных обществ США, Американской ассоциации содействия прогрессу наук, почетный член Международного института инженеров электротехники и электроники (IEEE). Он также член Общества прикладной математики, Космического клуба, Нью-Йоркской академии наук и др. Его научные заслуги отмечены наградой Американского института электросвязи (NTIA), Секции электромагнитной совместимости IEEE и др.

У Д. Миддлтона семь детей. От первого брака у него были две дочери и два сына, от второго — три сына.

Научные работы

Ä.Миддлтон — один из крупнейших современных ученых, чьи исследования внесли большой вклад в развитие современной статистической теории связи. Ему принадлежат основополагающие результаты, связанные с оценкой влияния шумов на прием сигналов с разными видами модуляции. В развитии этой научной области, которое она получила в ХХ столетии, роль Д. Миддлтона значительна.

В 1943 г. во время Второй мировой войны он приступил к разработке методов анализа закономерностей прохождения сигналов и шумов через нелинейные устройства. Такие методы были необходимы для оценки последствий воздействия искусственных помех, создаваемых противником, на радиолокационные станции. Эти методы сейчас вошли в учебники по теории связи и необходимы современному инженеру. Им были получены результаты, позволяющие определять подавление модулированных по амплитуде и частоте слабых сигналов при их детектировании в присутствии шумов. В частности, он исследовал пороговый эффект при приеме ЧМ-сигналов строгими математическими методами.

Вместе со своим учителем Дж. Г. Ван Флеком он в 1944 г., независимо от известного американского ученого Д.О. Норта, разработал важнейшую в теории связи концепцию согласованных фильтров, очищающих принимаемые сигналы от действующих в канале связи шумов и помех. Согласованные фильтры играют исключительно важную роль при проектировании систем связи, радиолокации и различных других систем, в которых осуществляется обработка сигналов в присутствии шумов. В радиолокации такие фильтры являлись эффективным средством защиты приема сигналов от искусственных помех, создаваемых противником.

В 1954 г. он вместе со своим коллегой Д. ВанМетером сформулировал статисти- ческую теорию оптимального приема сигналов, основанную на строгом байесовском подходе, разработанном в математической статистике. Следует отметить, что идеи синтеза устройств оптимального приема сигналов в присутствии шумов были впервые выдвинуты в докторской диссертации академика В.А. Котельникова в 1947 г.

Ä.Миддлтон многое сделал для развития этой теории. В 1965 г. он разработал каноническую теорию порогового обнаружения и оценки параметров сигналов при воздействии шумов с произвольными статистическими характеристиками. Несколько позже (в 1968 и 1970 гг.) совместно со своим учеником Р. Эспозито он разработал баейсовскую теорию совместного обнаружения и оценки параметров сигналов в условиях априорной неопределенности.

С 1970 г. Д. Миддлтон начинает активно разрабатывать новое научное направление — статистическую модель негауссовских шумов и помех. Разработанная им модель негауссовских шумов позволяла при соответствующем выборе ее параметров достаточно точно описать статистические характеристики воздействующих на приемные устройства шумов и индустриальных помех в диапазоне частот ниже 1 ГГц, в котором шумы имеют как гауссовскую, так и импульсную составляющие.

Важным событием в мировой науке стала изданная в 1960 и 1961 гг. двухтомная монография Д. Миддлтона «Введение в статистическую теорию связи», к написанию которой он приступил еще в 1949 г. и работал над которой с перерывами вплоть до 1958 г. В нее вошли материалы ряда курсов, которые он читал на факультете приклад-

ных наук в Гарвардском университете, а также результаты его исследований, проводившихся в Гарварде и в Массачусетском технологическом институте по договорам с Министерством обороны. Эта монография получила широкую известность и была переведена во многих странах, став настольной книгой для специалистов, работающих в области статистической радиотехники и смежных областях. Следует отметить, что она не была первой книгой в данной области. В 1951 г. в СССР вышла весьма содержательная работа В.И. Бунимовича «Флуктуационные процессы в радиоприемных устройствах», а в 1957 г. книги В.С. Пугачева «Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления» и Б.Р. Левина «Теория случайных функций и ее применение в радиотехнике». В 1958 г. в США была издана книга В.Б. Давенпорта и В.Л. Рута «Введение в теорию случайных сигналов и шумов», позже вышедшая в СССР на русском языке. Однако монография Д. Миддлтона отли- чалась от ранее изданных книг своей энциклопедичностью.

Как указывал автор, он адресовал ее инженерам, физикам и специалистам по прикладной математике. Создавая свою книгу, он преследовал три цели: 1) сформулировать систематический метод проектирования оптимальных систем связи, вклю- чая оценку их качества и сравнение с неоптимальными системами того же назначе- ния; 2) охватить в рамках единого теоретического подхода главные результаты ранее опубликованных работ; 3) создать учебное пособие для различных ступеней обуче- ния, которое могло бы служить инструментом для исследователей современных проблем и быть отправной точкой для новых разработок.

Монография сыграла большую роль во внедрении статистических методов в образование инженеров в области связи, радиолокации и других смежных областях. Эта книга в 1962 и 1963 гг. была переведена и издана в СССР под редакцией крупного отечественного ученого профессора Б.Р. Левина.

Â1965 г. издается небольшая по объему, но весьма содержательная книга Д. Миддлтона «Очерки теории связи», которую в 1966 г. выпускают в СССР на русском языке также под редакцией Б.Р. Левина. В работе кратко изложены основные идеи в области теории связи, появившиеся к этому времени.

Этим книгам была суждена долгая жизнь. Двухтомная монография «Введение в статистическую теорию связи» переиздавались в США в 1972, 1987 и 1996 гг., а книга «Очерки теории связи» переиздавалась в 1977 и 1987 гг.

Â1997 г. вышла в свет трехтомная монография Д. Миддлтона «Обработка пороговых сигналов». Эта книга содержала новые результаты в области оптимального приема сигналов, полученные им после 1965 г.

Научные интересы Д. Миддлтона необычайно широки и не ограничены областью статистической теории связи. Он выполнил ряд фундаментальных работ в области распространения волн в средах со случайными неоднородностями и их рассеяния на шероховатых поверхностях. Им была разработана статистическая теория реверберации волн, дающая теоретическую основу для синтеза и анализа оптимальных систем приема радио- и гидролокационных сигналов в каналах с сильными эхосигналами, образованными за счет их рассеяния на неоднородностях среды распространения.

Â1988 г. он публикует оригинальные результаты исследований по обнаружению векторных полей. Ему принадлежат также результаты, связанные с многомерным обобщением теоремы отсчетов Уиттекера—Котельникова—Шеннона (1962—1965 гг.).

Он выполнил важное исследование искажений сигналов из-за эффектов амплитуднофазовой конверсии. Этот эффект часто возникает в бортовых ретрансляторах сигналов в спутниковой связи (1986 г.).

Творческий инстинкт Д. Миддлтона не ослабевает с годами, он продолжает активно работать и регулярно публиковать свои научные исследования, касающиеся проблем теории связи и статистической физики. В 1999 г. выходит его обширная статья «Модели негауссовского шума и обработка сигналов в телекоммуникации — новые методы и результаты для моделей классов А и В» (IEEE Trans. on Information Theory. ¹ 4). Эта работа является развитием его результатов по моделям негауссовских шумов, полученных в 1970 г. Для двух классов моделей им были предложены методы определения распределения вероятностей уровня воздействующих на приемник негауссовских шумов.

В 2002 г. в «Трудах Института физики» (Institute of Physics Publishing, Waves in Random Media. 12.) публикуется его работа «Новые результаты прикладной теории рассеяния волн: новый физико-статистический метод исследования процессов рассеяния, включая многократное рассеяние, и метод определения точного распределения вероятностей уровня рассеянного поля и его сравнение с приближенными методами Борна и Рытова». В этой статье был сделан новый существенный шаг в решении весьма сложных проблем теории рассеяния волн, над которыми уже много десятилетий работают крупнейшие ученые.

Заключение

Давид Миддлтон выбрал для себя высшую жизнь — жизнь в сфере духа. Более чем за 60 лет своей активной творческой деятельности он создал методологию анализа различных систем обработки сигналов в присутствии шумов. Эти методы нашли широкое применение при решении весьма разнообразных практических задач.

Он входит в элиту ученых ХХ в., заложивших фундамент теории связи и установивших основные закономерности оптимальной обработки сигналов, передача которых по каналам связи сопровождается значительными искажениями, а прием осуществляется в присутствии интенсивных шумов и помех.

Поразительной чертой этого человека является неиссякаемая интеллектуальная мощь, не ослабевающая в течение более полувека. Эта мощь проявилась в количестве, глубине и разнообразии выполненных им научных исследований. В жизни он не искал успеха и популярности, финансовые вопросы также не стояли у него на первом месте. Его жизненной целью было научное творчество.

Обычно после 50 лет творческие возможности ученых заметно снижаются. Давид Миддлтон является очень редким исключением из этого правила. В чем же секрет его творческого долголетия? Думается, его стимулировал в первую очередь инстинкт созидания, огромный интерес и любовь к той работе, которой он занимался. Им двигало также ясное понимание того, что для человечества продвижение по пути знания в той области, в которой он трудился, имеет огромное значение.

Гарри НАЙКВИСТ

Человек достигает совершенства, упорно выполняя свою дхарму.

Бхагават-гита

Введение

Библия учит, что каждый человек, приходя в этот мир, имеет свое предназначение — содействовать утверждению в мире полноты свободы, истины и доброты. Далеко не всем удается осознать свое предназначение и в полной мере реализовать свой интеллектуальный и нравственный потенциал.

Однако есть счастливые люди, которые с юных лет осознают свою дхарму — свой долг перед другими людьми и перед будущим и посвящают свою жизнь созиданию и творчеству. Такие люди щедро наполняют свою жизнь и жизнь окружающих их людей достоинством и красотой. Именно благодаря им в мире постоянно происходит восполнение добра, которое способствует возрастанию духовности и созидания. Поразному складываются человеческие судьбы.

Гарри Найквист принадлежал к тем мужественным и целеустремленным людям, которые смогли утвердить себя в жизни и совершить то, что им было предопределено их дхармой.

Биографический очерк

Гарри Найквист родился 7 февраля 1889 г. в семье фермеров Лорса Джонсона и Катарины Эриксдотер и был четвертым ребенком. Судьба знаменитого шведского уче- ного не была простой. Вырос он на ферме, которая располагалась в глухих местах в одном из районов Швеции. Хотя большинство шведов принадлежат к лютеранской церкви, родители Найквиста были баптистами. В Швеции фамилия Джонсон очень распространена и из-за этого часто возникают недоразумения, и в частности с доставкой почты. Поэтому отец Гарри сменил свою фамилию на Найквист. В те годы смена фамилии в Швеции не являлась большой редкостью. Семья Найквистов не была богатой, и дать всем детям (а их было восемь) среднее образование было затруднительно. Тем более было трудно обеспечить им возможность получить высшее образование.

Найквист закончил начальную школу в 1900 г. в г. Нилсби. Во время обучения он работал на ферме своего отца и помогал ему торговать в обувном магазине. Его школь-

ный учитель Моден заметил способного ученика и стал давать ему книги из своей библиотеки. Он считал, что Гарри должен получить образование и стать учителем. Поскольку семья не могла материально поддержать Гарри, которому было всего 14 лет, то учитель посоветовал ему готовиться к эмиграции в США, считая, что шансы продолжить образование в этой стране для него будут выше.

К этому времени два сына Модена уже жили в США. Четыре года потребовалось Гарри, чтобы реализовать план своего учителя. В течение этих лет он работал на сульфатной фабрике в г. Деджи и заработал небольшую сумму денег на дорогу в США. Опыт работы и приобретенная специальность давали ему право на эмиграцию. В 1907 г. он получил сертификат, гарантирующий получение работы, и с 10 долларами в кармане покинул родину и отплыл в США.

В течение пяти лет Найквист работал на разных фабриках США. Только в 1912 г.

âвозрасте 23 лет он поступил в университет в штате Северная Дакота и через два года получил степень бакалавра по специальности инженер-электрик, а в следующем году — степень магистра по этой же специальности. Г. Найквист продолжает свое образование

âЙельском университете и в 1917 г. становится доктором наук в области физики. После завершения образования Найквист поступает на работу в исследователь-

ский отдел Американской телефонной и телеграфной компании (AT&T). В этой компании он проработал 37 лет до своего выхода на пенсию в 1954 г. С 1934 г. Найквист — сотрудник знаменитой Белл-лаборатории. После выхода в отставку Найквист оставался консультантом по проблемам правительственной и военной связи.

Скончался Гарри Найквист 4 апреля 1976 г. в г. Харлингтон штата Техас в США.

Вклад Найквиста в теорию связи

Теорема отсчетов. Наибольшую известность получили работы Найквиста, выполненные им в 20-х гг. прошлого столетия. Эти работы связаны с проблемами телеграфной связи, которые были весьма актуальными в те годы. Его статьи, содержащие постановку важнейших проблем электросвязи, написаны изящным языком. Они не потеряли актуальности и в настоящее время.

Â1924 г. он опубликовал важную статью «Факторы, влияющие на скорость передачи телеграфных сигналов», в которой установлена зависимость скорости передачи сигналов от количества используемых уровней сигнала (в современной терминологии от позиционности кодирования).

Âдругой его статье «Вопросы теории передачи телеграфных сигналов» описана фундаментальная теорема отсчетов, согласно которой частота отсчетов должна по крайней мере в два раза превышать верхнюю частоту спектра передаваемого сигнала. Такая теорема в это же время была независимо выведена немецким ученым Р. Кумфнером. Математически она выражала важнейшую закономерность в теории связи следующим образом:

N ≥ 2FT.

Здесь N — число отсчетов, которое необходимо для представления временного отрезка сигнала длительностью T, а F — полоса частот, занимаемая телеграфным сигналом. При выполнении данного критерия информация не утрачивается, и этот

сигнал может быть полностью восстановлен. Установленные Г. Найквистом основополагающие принципы оказали огромное влияние на прогресс в области связи, касающийся перехода от аналоговых систем (аналоговые сигналы вырабатываются большинством источников информации — микрофонами или телевизионными камерами и т.п.) передачи сообщений к цифровым. Каждый из отсчетов сигнала преобразуется в цифровую форму и в виде последовательности бинарных знаков передается по каналу связи.

Две статьи Г. Найквиста вместе со статьей другого американского ученого Р. Хартли явились для Клода Шеннона исходным пунктом, когда он работал над своим классическим трудом «Математическая теория связи», опубликованным в 1948 г. В ней К. Шеннон отметил роль Г. Найквиста и Р. Хартли в создании теории информации.

Найквист много размышлял о методах кодирования аналогового сигнала в последовательность бинарных знаков 0 и 1. Для этого он изобрел устройство, которое назвал «кодек» (кодер-декодер). В этом устройстве аналоговый сигнал преобразовывался в последовательность бинарных знаков, которые должны были передаваться по телефонной линии. На приемной стороне в этом устройстве с высокой точностью осуществлялось обратное преобразование и восстанавливался исходный аналоговый сигнал.

Термин «кодек» укоренился и широко используется в современной теории связи. Правда, сегодня он приобрел несколько другой смысл. Им пользуются, когда речь идет об устройствах, в которых на передаче для повышения помехоустойчивости приема к информационной последовательности символов добавляют избыточные символы и передают результирующую последовательность по каналу связи, а на приеме исходную информационную последовательность символов восстанавливают, устраняя возникшие в процессе передачи сигналов ошибки.

Уровень технологии в 20-х гг. был недостаточен для реализации цифровой передачи сигналов по каналам связи, и Найквист испытывал разочарование. Его теорема отсчетов, как казалось в 20-е гг., показывала, что создание цифровых систем связи является несбыточной мечтой. Ведь в таких системах необходимо было обеспечивать накопление и обработку больших массивов данных и их высокоскоростную передачу по каналам связи (для передачи музыки требовалась скорость порядка 30 000 отсче- тов в секунду). Понадобилось более 60 лет технического прогресса, в течение которых были изобретены рациональные методы преобразования аналоговых сигналов в цифровую форму — кодово-импульсная и дельта-модуляции, а также транзисторы и интегральные схемы, чтобы возможность цифровой передачи сигналов по каналам связи стала реальной.

Эта теорема была существенно обобщена в 1932 г. академиком В.А. Котельниковым, который установил, что аналоговый сигнал S(t) с ограниченной полосой частот F может быть представлен своими отсчетами, взятыми через интервалы времени τ = 1/2F, следующим образом:

S(t) = ∑ S(nτ)[sin2πF(t – nτ)/2πF(t – nτ)].

Позже, в 1948 г., эта же формула независимо была установлена Клодом Шенноном. В честь этих крупнейших ученых ХХ в. данную формулу иногда называют формулой Котельникова—Найквиста—Шеннона.