7.2.4. Обменность канальных ресурсов

Из указанной формулы (7.41) следует, что пропускная способность непрерывного канала может быть увеличена за счет увеличения отношения сигнал/помеха и ширины полосы пропускания . Из выражения 7.41 видно, что пропускная способность канала будет тем больше, чем больше мощность сигналаи меньше мощность помехи. Но эта зависимость логарифмическая, поэтому улучшение пропускной способности будет относительно медленным при увеличении. Зависимость пропускной способности от полосы оказывается более сложной.

При расширении полосы увеличивается мощность помехи, т.к. при белом шуме со спектральной плотностью мощности N_o средняя мощность помехи на выходе канала связи

Тогда

Покажем, что с увеличением пропускная способность монотонно возрастает и при неограниченном увеличении, т.е. ∞ стремится к определенному пределу. Этот предел С_∞ называют предельной пропускной способностью. Найдем его.

.

Введем обозначение , если, то и воспользуемся известным из курса математического анализа пределом:

где е≈2,718 – величина второго замечательного предела.

. (7.42)

Из соотношения 7.42 видно, что максимальное значение, к которому стремиться пропускная способность с ростом ширины полосы пропускания канала пропорционально отношению средней мощности сигнала к спектральной плотности мощности помех. Зависимость представлена на рис. 7.10, из которого следует, что с увеличением ширины полосы пропускания канала связи пропускная способность не возрастает безгранично, а стремиться к постоянной величине.

В

Рис. 7.10. Характер зависимости пропускной способности канала от ширины полосы пропускания

ажно отметить, что с расширением полосы (пропускания) пропускная способность канала не увеличивается безгранично, а стремится к определенному пределу. Это объясняется возрастанием шума в канале и ухудшением отношения сигнал/шум на входе приемного устройства.

Рост пропускной способности при увеличении полосы объясняется тем, что при этом увеличивается скорость передачи элементов сообщения (определяемая числом отсчетов непрерывной функции в секунду).

В заключении вопроса отметим, что выражение (7.42) указывает на возможность обеспечения заданной пропускной способности при различных соотношениях ширины спектра и мощности сигнала. Иными словами, допускается своеобразный обмен мощности сигнала на полосу частот. Так, одна и та же пропускная способность может быть получена при меньшей мощности, но при большей полосе частот этого сигнала, с другой стороны уменьшение полосы частот может быть скомпенсировано увеличением мощности сигнала.

Заметим также, что формула Шенона справедлива только для канала с постоянными параметрами и аддитивной помехой в виде белого шума. Если распределение аддитивной помехи не является нормальным или ее спектр неравномерен в полосе пропускания канала, то пропускная способность будет больше определенной по выражению 7.42. Замирания сигнала (мультипликативные помехи) ведут к снижению пропускной способности.

Возникает так же вопрос: всегда ли можно передавать информацию правильно? Если пропускная способность канала

А скорость передачи информации

Энергия сигнала определяется выражением

Тогда пропускная способность

Обозначим

Тогда

Предположим, что скорость передачи информации равна пропускной способности канала , тогда

При ,, тогда

.

Это предел Шеннона для безошибочной передачи информации. Если отношение , то невозможно обеспечить безошибочную передачу.

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Как определяется структурная мера количества информации (мера Хартли)?

2. Как определяется статистическая мера количества информации (мера по Шеннону)?

3. При каких условиях энтропия источника сообщений имеет наибольшее значение?

4. При каких условиях статистическое определение количества информации по Шеннону совпадает с определением количества информации по Хартли?

5. Как определяется энтропия для источника при независимом и равновероятном появлении символов?

6. Как определяется энтропия для источника при независимом и неравновероятном появлении символов?

7. Что называется избыточностью сообщения? Как количественно оценивают избыточность?

8. Что такое производительность дискретных источников сообщений?

9. Как определяется -условная энтропия X при фиксированном ?

10. Как определяется условная энтропия ансамбля при фиксированном ансамбле ?

11. Известно, что условная энтропия меньше или равна безусловной энтропии источника сообщений . При каких условиях выполняется равенство между ними?

12. Известно, что условная энтропия больше или равна нулю . При каких условиях условная энтропия равна нулю?

13. Чему равна взаимная энтропия, , если известна безусловная и условная энтропии ?

14. Как определяется дифференциальная энтропия источника непрерывных сообщений.

15. Каково определение эпсилон-энтропии источника непрерывных сообщений?

16. Что такое пропускная способность канала?

17. Как определяется пропускная способность канала связи без помех?

18. Как определяется пропускная способность канала связи с помехами?

19. Как определяется пропускная способность непрерывного канала связи с белым шумом?

20. Как изменяется пропускная способность непрерывного канала с белым шумом при расширении полосы частот?

21. Каковы предельные энергетические соотношения между энергией сигнала и спектральной плотностью мощности шума для безошибочной передачи информации (предел Шеннона)?

22. Источник сообщений выдает символы из ансамбля с вероятностями p(x₁)=p(x₂)=1/4; p(x₃)=p(x₄)=p(x₅)=p(x₆)=1/8. Найти количество информации, содержащееся в каждом из символов источника при их независимом выборе (источник без памяти), Вычислить энтропию и избыточность источника.

23. Определить максимальные значения энтропии Hmax(x), максимальное значение удельной энтропии H1max(x), значение удельной энтропии H1(x) для первичного пятиразрядного (=5) кода, если известно, что с учётом неравновероятности появления = 32 буквенных знаков текста энтропия источника сообщений H(x) = 4.36 бит/знак.

24.Определить условную собственную энтропию сообщения при фиксиро­ванном , если условные вероятности ,,.

25. Память двоичного стационарного дискретного источника с символами «0» и «1» простирается лишь на 2 соседних символа и следовательно дискретная последовательность символов, выдаваемых источником, описывается простой цепью Маркова с матрицей переходных вероятностей

,

где - вероятность символапри условии, что ему предшествовал символ. Полагая, что,найти безусловные вероятности передачи 1 и передачи 0.

26. Системы передатчик X и приемник Y описываются двумерным распределением :=0,5, =0,25, =0, =0,25. Определить безусловные вероятности и.

27. Стационарный источник выдает за время с двоичными посылками длительностимсбит информации. За какое время, и каким количеством двоичных посылок можно передать тот же объем информации, если соответствующей обработкой полностью устранить избыточность источника?

29. Определить скорость передачи информации по двоичному симметричному каналу со стиранием при безусловных вероятностях ,вероятности стирания ,вероятности ошибки , скорость передачи кодовых символов .

30. Определить пропускную способность двоичногосимметричногоканала без памяти и стирания,вероятность ошибки , скорость передачи кодовых символов

31. В информационном канале без помех для передачи сообщений используется алфавит с четырьмя различными символами =4. Длительности всех символов одинаковы и равны одной миллисекунде: t_с= 1 мс. Определить пропускную способность канала.

32. Чему равна пропускная способность канала, если средняя мощность сигнала мкВт, а помехой является белый шум со спектральной плотностью мощности, полоса канала =10 кГц.

33. По гауссовскому каналу связи передается сигнал со средней мощностью мкВт, помехой является белый шум со спектральной плотностью мощности, полоса канала =10 кГц. Определить максимально возможный объем сигнала, который может быть передан по каналу, если время использования каналас.

215