Neruh_Liniyna_algebra_Navch_posibn_2010_ukr / КНР-7_Тест ЛА(190-)

Теоретичні запитання.

Сформулюйте означення матриці.

За яких умов матриця є діагональною?

За яких умов матриця є одиничною?

Які матриці і називаються погодженими?

Які властивості має операція додавання матриць?

Які властивості має операція транспонування матриць?

Для знаходження добутку двох матриць потрібно, щоб ... (вставити пропущені слова)

Чому дорівнює елемент матриці, що є добутком двох матриць?

Які властивості має операція добутку матриць?

В якому випадку , де і – матриці?

В якому випадку існують добутки матриць і ?

Що називається мінором елемента визначника?

Що називається алгебраїчним доповненням елемента визначника?

Вставити пропущені слова: “Визначник матриці дорівнює сумі добутків елементів деякого ряду на алгебраїчні доповнення…”.

Які властивості визначника не змінюють його значення?

В яких випадках визначник дорівнює нулю?

Яка матриця є союзною або приєднаною до матриці

?

В лемі вставити пропущені матриці:.

Яка матриця є оберненою до матриці ?

Для якої матриці існує обернена матриця?

Які властивості має операція обернення матриць?

Вказати в якому випадку матричне рівняння , де – квадратні матриці одного порядку, не має розв'язку?

За якою формулою знаходиться розв'язок матричного рівняння ?

За якою формулою знаходиться розв'язок матричного рівняння ?

Для якого матричного рівняння розв'язок має вигляд ?

Означення рангу матриці.

Чому може дорівнювати ранг матриці ?

Які перетворення матриці називаються елементарними?

Що називається мінором порядку матриці?

Що називається базисним мінором матриці ?

У теоремі про базисний мінор вставити пропущені слова:

“Базисні рядки матриці лінійно незалежні. Всі інші рядки…”

В якому випадку система лінійних рівнянь є сумісною?

В якому випадку система лінійних рівнянь є несумісною?

Яка сумісна система лінійних рівнянь називається означеною?

Яка сумісна система лінійних рівнянь називається неозначеною?

У теоремі Кронекера-Капеллі вставити пропущені слова:

“Система сумісна…, коли ранг матриці системи дорівнює рангу її розширеної матриці”.

У якому випадку система лінійних рівнянь має єдиний розв'язок?

“Система має єдиний розв'язок тоді і тільки тоді, коли ранг матриці системи…”.

(вставити пропущені слова)

У якому випадку система лінійних рівнянь має безмежну множину розв'язків?

“Система має безмежну множину розв'язків тоді і тільки тоді, коли ранг матриці системи…”.

(вставити пропущені слова)

Дана система з невідомими. Відомо, що та ранг матриці дорівнює . Чи виходить звідси, що система має єдиний розв'язок?

Нехай – система лінійних рівнянь з невідомими та . Що можна сказати про єдиний розв'язок такої системи?

Нехай система лінійних рівнянь містить невідомих та рівнянь :

– визначник основної матриці системи,

– визначник, який утворений з заміною -го стовпця стовпцем вільних членів (). В якому випадку система не має розв'язків?

Чи може однорідна система лінійних рівнянь бути несумісною?

У формулюванні необхідної та достатньої умови існування нетривіального розв'язку однорідної системи вставити пропущені слова.

“Однорідна система лінійних рівнянь має нетривіальний розв'язок тоді і тільки тоді, коли…”.

Що називається фундаментальною системою розв'язків (ФСР) однорідної системи лінійних рівнянь?

Скільки розв'язків містить фундаментальна система розв'язків однорідної системи лінійних рівнянь, яка містить невідомих та рівнянь ( – ранг матриці однорідної системи) ?

Які властивості мають розв’язки однорідної системи лінійних рівнянь?

Нехай множина розв'язків деякої однорідної системи лінійних рівнянь має вигляд .

Скільки розв'язків містить фундаментальна система розв'язків?

Дана сумісна система

Відомо, що , . Якщо – базисний мінор, то які невідомі є базисними?

За допомогою елементарних перетворень розширена матриця системи перетворена до вигляду:

.

В якому випадку система є сумісною?

За допомогою елементарних перетворень розширена матриця системи перетворена до вигляду:

.

В якому випадку система є несумісною?

Що називається п-вимірним лінійним простором?

Що називається базисом n-вимірного лінійного простору?

Як задається матриця переходу від одного базису до іншого?

Який лінійний простір називається евклідовим?

Дайте означення орієнтації базису.

Сформулюйте нерівність Коші-Буняковського.

Як визначається скалярний добуток через координати елементів у довільному базисі?

Що називається нормою елемента лінійного простору?

Як визначається кут між елементами нормованого простору?

Який базис називається ортонормованим?

Означення лінійного оператора.

Оператор лінійний, якщо…(вставити пропущені слова).

Які дії над операторами називаються арифметичними?

Означення власних векторів оператора.

Означення власних чисел оператора.

Що називається характеристичною матрицею для квадратної матриці А?

Яке рівняння називається характеристичним?

Що називається власним вектором матриці?

Що називається квадратичною формою?

В базисі з власних векторів оператора квадратична форма має канонічний вигляд. Чому дорівнюють коефіцієнти квадратичної форми у канонічному вигляді?

Практичні завдання.

Знайти матрицю , якщо .

Знайти матрицю , якщо .

Відомо, що . Чому дорівнюють та ?

Відомо, що . Чому дорівнюють та ?

Відомо, що . Чому дорівнюють та ?

Нехай задані матриці . Які добутки матриць існують?

Вказати вимірність матриці , якщо відомо, що ?

Вказати вимірність матриці , якщо відомо, що ?

Чому дорівнює матриця , якщо ?

Знайти добуток матриць та .

Знайти добуток матриць та .

Обчислити визначник .

При якому значенні визначник дорівнює нулю?

Знайти мінор елемента визначника .

Знайти алгебраїчне доповнення елемента визначника .

Знайти алгебраїчне доповнення елемента визначника.

Розкласти визначник за елементами першого рядка.

Розкласти визначник за елементами третього рядка.

Вказати вираз, за яким обчислюється визначник за правилом трикутників.

Обчислити визначник .

Чому дорівнює визначник ?

При якому значенні визначник дорівнює нулю?

При якому значенні визначник дорівнює нулю?

Знайти , якщо .

Знайти , якщо .

Дана матриця . Чому дорівнює матриця ?

Нехай – квадратна матриця 3-го порядку та . Чому дорівнює визначник ?

Матриця , а – алгебраїчне доповнення її елемента . Вказати та .

Дано матрицю . Яка матриця є союзною (приєднаною) до неї?

Дано матрицю . Яка матриця є союзною (приєднаною) до неї?

Знайти обернену матрицю для матриці .

Знайти обернену матрицю для матриці .

Чому дорівнює ранг матриці ?

Чому дорівнює ранг матриці ?

Підібрати параметр так, щоб система

мала єдиний розв'язок.

Підібрати параметр так, щоб система

була несумісною.

Підібрати параметр так, щоб система

мала безмежну множину розв'язків.

Система лінійних рівнянь має вигляд

Які невідомі не можна вибрати за базисні?

Система лінійних рівнянь має вигляд

Які невідомі можна вибрати за базисні?

Прямий хід методу Гауса приводить деяку систему до еквівалентної їй системи рівнянь вигляду

Вказати невідомі, які не можна вибрати за базисні.

Загальний розв'язок системи лінійних рівнянь має вигляд

.

Які невідомі є базисними?

Загальний розв'язок системи лінійних рівнянь має вигляд

.

Які невідомі є вільними?

Дано систему . Відомо, що та – один з її базисних мінорів. Які невідомі є вільними?

Записати розв'язок системи лінійних рівнянь , використовуючи матричний метод розв'язку, де , , .

Записати розв'язок системи лінійних рівнянь , використовуючи матричний метод розв'язку, де , , .

Дослідити та розв'язати систему рівнянь .

Дослідити та розв'язати систему рівнянь .

Нехай множина розв'язків деякої однорідної системи лінійних рівнянь має вигляд .

Скільки розв'язків має фундаментальна система розв'язків?

Нехай множина розв'язків деякої однорідної системи лінійних рівнянь має вигляд .

Скільки розв'язків має фундаментальна система розв'язків?

Який вигляд має квадратична форма, якщо її матриця ?

Який вигляд має квадратична форма, якщо її матриця ?

Чому дорівнюють власні значення матриці ?

Чому дорівнюють власні значення матриці ?

Матриця переходу від базису до ортонормованого базису має вигляд . Чому дорівнюють власні вектори?

Якщо Чому дорівнює матриця переходу від базису змінних до базису змінних , ?