Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский национальный университет радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ВМ-1-4 / visshaya_matematika_chast_IV

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

10.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 562 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Основні позначення	11

∫∫ f (x, y, z) dσ	— поверхневийінтегралпершогородувідфунк-
σ	по поверхні σ .
ції f (x, y, z)	по поверхні σ .

∫∫ P(x, y, z) dydz + Q(x, y, z) dzdx + R(x, y, z) dxdy — поверхневий

інтегралдругогородувідвектор-функції P (x, y, z)i + Q(x, y, z) j + + R(x, y, z) k по вибраній стороні поверхні σ .

grad u =	u — градієнт скалярного поля u .
div a =	a — дивергенція векторного поля a .
rot a =	× a — ротор векторного поля a .

∆ u — лапласіан функції u . z — комплексне число.

z— комплексне число, спряжене комплексному числу z . i — уявна одиниця.

Re z — дійсна частина комплексного числа z . Im z — уявна частина комплексного числа z . Arg z — аргумент комплексного числа z .

arg z — головне значення аргументу комплексного числа z . z — модуль комплексного числа z .

Ln z — логарифмічна функція. ln z — головне значення Ln z .

Re f (z) — дійсна частина функції комплексної змінної. Im f (z) — уявна частина функції комплексної змінної. f ′(z) — похідна функції f (z) .

∫ f (z) dz — інтеграл від функції f (z) вздовж контуру C .

12Основні позначення

∫f (z) dz — інтеграл від функції f (z) вздовж замкненого кон-

туру C .

res f (z0 ) , res [ f (z); z0 ], res f (z) — лишок функції	f (z) в
z = z0
особливій точці z0 .
f (t) NF( p) — функція F( p) є зображенням функції	f (t) .
η (t) — одинична функція Хевісайда.
f1 (t) f2 (t) — згортка функцій f1 (t) та f2 (t) .

ГЛАВА 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА ТА АНАЛІТИЧНА

ГЕОМЕТРІЯ

§1. Індивідуальне завдання 1.1

Визначники

[Ч.1, гл.3, §1, приклади 1 – 6]

Завдання: обчислити визначники третього та четвертого порядків. У прикладі 1 обчислити визначник трьома способами: a) за допомогою правила трикутників; б) безпосереднім розкладанням за елементами рядка або стовпця; в) розкладанням за елементами рядка (стовпця), попередньо обернувши в нуль всі, крім одного, елементи цього рядка (стовпця).

	−1	2	−3
	−1	2	−3
1.	4	5	6	.
	7	8	9

	1	5	25
1.	1	7	49	.
	1	8	64

	1	1	1
1.	4	5	9	.
	16	25	81

Варіанти завдань Варіант №1

		5	0	4	2				2 4			−1	2
		5	0	4	2				2 4			−1	2
2.		1	−1	2	1	.		3.	−1 2			3	1		.
2.		4	1	2	0	.		3.	2 5			1 4			.
		1	1	1	1				1 2			0	3
	Варіант №2
		3	1	2	3				2	1	5		1
		3	1	2	3				2	1	5		1
2.		4	−1	2	4	.		3.	3	2	1		2	.
2.		1 −1 1 1				.		3.	1	2 3 −4				.
		4	−1 2		5				1	1	5		1
	Варіант №3
		1	1	1		1			2	1		1	8
		1	1	1		1			2	1		1	8
2.		1	−1	1		1	.	3.	1	−3 −6 9						.
2.		1	1	−1		1	.	3.	0	2 2 −5						.
		1	1	1	−1				1	4		6	0

14	Глава 1. Лінійна алгебра та аналітична геометрія

	4	2	−1
	4	2	−1
1.	5	3	−2	.
	3	2	−1

1.	3	2	−4	.
	3	2	−4
	4	1	−2
	5	2	−3

	3	4	−5
	3	4	−5
1.	8	7	−2	.
	2	−1	8

	4	−3	5
	4	−3	5
1.	3	−2	8	.
	1	−7	−5

	3	2	1
1.	2	5	3	.
	3	4	2

	2	1	3
1.	5	3	2	.
	1	4	3

Варіант №4

	1	1	1	1			1	−2	5	9
	1	1	1	1			1	−2	5	9
2.	1	2	3	4	.	3.	1	−1	7	4	.
2.	1	4	9	16	.	3.	1	3	3	4	.
	1	8	27	64			1	2	3	4

Варіант №5

			1	2	3	4						1		2	3	4
2.		−2		1	−4	3				. 3.		0		2	5	9					.
2.			3 −4 −1 2							. 3.		0 0			3 7						.
			4	3 −2 −1							−2 −4 −6 0
	Варіант №6
		0	1	1	1						2		−1	1		0
		0	1	1	1						2		−1	1		0
2.		1	0	1	1	.				3.	0		1	2	−1		.
2.		1 1 0 1				.				3.	3 −1 2 3						.
		1	1	1	0						3		1	6		1
	Варіант №7
		1	1	1		1					2		3	−3		4
		1	1	1		1					2		3	−3		4
2.		1	2	3	4			.		3.	2		1	−1		2		.
2.		1 3 6 10						.		3.	6	2		1 0				.
		1	4	10	20						2		3	0	−5
	Варіант №8
		1	2	3	4							8	7	2		10
		1	2	3	4							8	7	2		10
2.		2	3	4	1		.			3.	−8		2	7		10				.
2.		3	4 1 2				.			3.		4 4 4 5								.
		4	1	2	3							0	4	−3		2
	Варіант №9
		7	5		3	2					1		1	1		1
		7	5		3	2					1		1	1		1
2.		3	2		1	4			.	3.	1		−1	2		2			.
2.		3	−3 −2			2			.	3.	1 1 −1 3								.
		5	3		1	4					1		1	1		−1

§1. Індивідуальне завдання 1.1	15

	2	3	4
1.	5	−2	1	.
	1	2	3
	1	2	5
	1	2	5
1.	4	−4	7					.
	−3 12 −15
	12	6 −4
	12	6 −4
1.	6	4	4		.
	3	2	8
	2	−3	1
	2	−3	1
1.	6	−6	2	.
	2	−1	2
	10	−5	10
	10	−5	10
1.	11	−2	10				.
	2	−14		−5
	−1	2	2
	−1	2	2
1.	2	−1	2			.
	2	2	−1

Варіант №10

		3	1		1	1					3	−1	4	2
		3	1		1	1					3	−1	4	2
2.		1	3		1	1	.			3.	5	2	0	1				.
2.		1	1 3 1				.			3.	0	2 1 −3						.
		1	1		1	3					6	−2	9	8
	Варіант №11
		1	2		2	2					2	3	4	0
		1	2		2	2					2	3	4	0
2.		2	1		2	2		.		3.	3	5	2	−2	.
2.		2	2	1 2				.		3.	4	1 0 −2			.
		2	2		2	1					2	1	1	1
Варіант №12
		−3 −3 −3 4									2 1 3 5
		−3 −3 −3 4									2 1 3 5
2.		−3 −3 4 −3								. 3.	−1 1 0 −3							.
2.		−3 4 −3 −3								. 3.	3 3 2			1				.
		4 −3 −3 −3									4 0 3 −4
Варіант №13
		5	1		3	2					2	1	−1	0
		5	1		3	2					2	1	−1	0
2.		3	−1		2	3			.	3.	3	2	1	−1			.
2.		1	−1 1 −1						.	3.	4	3 2 1					.
		3	−1		2	4					5	4	3	2
Варіант №14
		5	1		1	1					−2		1	−3				4
		5	1		1	1					−2		1	−3				4
2.		4	0		1	1		.		3.	3	−2		−5				1	.
2.		3	1 0 1					.		3.	2 2 −4 −6								.
		2	1		1	0					−1	−8		6				2
Варіант №15
		5	2		2	2					5	1	2	−1
		5	2		2	2					5	1	2	−1
2.		2	5		2	2		.		3.	4	1	4	−3		.
2.		2	2	5		2		.		3.	2	1 3 −2				.
		2	2		2	5					4	2	5	−4

16	Глава 1. Лінійна алгебра та аналітична геометрія

Варіант №16

	1	1	1							1		2	3	4						2		3	4	5
										1		2	3	4						2		3	4	5
										−1		3	−1	7						1		3	2	3
1.	1 2 3				.				2.	−1		3	−1	7		.		3.		1		3	2	3				.
1.	1 2 3				.				2.	4 −2 2 6						.		3.		2		7 5 4						.
	1	3	6							5		5	1	3					−3		−10		2	11
										5		5	1	3					−3		−10		2	11
										Варіант №17
	5		8	−1						3		1	2	−1					2		−3	4	1


										2		1 0 −2							4		−2 3 2
1.	1 2 3					.			2.	2		1 0 −2					.	3.	4		−2 3 2				.
	2	−3		2						1		2	1	2					1		1	1	2
	2	−3		2						−2	−3 1 10								3		−1 4 3
										−2	−3 1 10								3		−1 4 3
										Варіант №18
	5		8	−1						1	2	3	0						5		−3		6	−1


										0	1	2	3						3		2		2	2
1.	1 2 9					.			2.	0	1	2	3	.				3.	3		2		2	2			.
1.	1 2 9					.			2.	3	0 1 2			.				3.	2		1 −2 −6						.
	2	−3		13						2	3	0	1						3		−2	13		4
										2	3	0	1						3		−2	13		4
										Варіант №19
	−1		8		−1					4	3	2	1						1		−2	3	−4


										2	1	1	3						3		2	1	−1
1.	9 2 3								2.	2	1	1	3					3.	3		2	1	−1
1.	9 2 3							.	2.	1 3 4 1				.				3.	4	5 3 2						.
	13		−3	2						3	2	3	2						5		1	2	3
										3	2	3	2						5		1	2	3
										Варіант №20
	1	17			−7					1	−1 3 −2								2		1 −4 5


										1	3 2			1					3		2 −4 3
1.	−1 13			1				.	2.	1	3 2			1	.			3.	3		2 −4 3				.
	1		7	1						3 −2 1 −5									4		2 −3 1
	1		7	1						1	4	3		0					5		3	−6	2
										1	4	3		0					5		3	−6	2
										Варіант №21
	3	−2		1						5	1 2 4								3 −1 −15 −18


										3	4	3	1						−1		2		5	6
1.	2		1 3				.		2.	3	4	3	1	.				3.	−1		2		5	6					.
1.	2		1 3				.		2.	2	2 3 1			.				3.	2 1				0	7					.
	5		3		−2					1	3	1	2						3		1		1	5
										1	3	1	2						3		1		1	5

§2. Індивідуальне завдання 1.2	17

	5	−1	−1
	5	−1	−1
1.	1	9	3	.
	2	13	2

	3	−2	2
	3	−2	2
1.	2	5	1	.
	4	3	2

	2	3	1
1.	−1	3	4	.
	2	5	−1

	5	4	3
1.	2	1	−1	.
	1	2	3

Варіант №22

	1	6	2	1			4	1	1	1
2.	5	0	−3	2	.	3.	1	4	1	1	.
2.	4	0	1 5		.	3.	1	1	4	1	.
	−2	3	2	0			1	1	1	4

Варіант №23

	3	1	1	2			1	3	−1		2
	3	1	1	2			1	3	−1		2
2.	1 3 2 1				.	3.	−1 2 7 5					.
	1	2	3	1			2	1	2		3
	2	1	1	3			−5	2	−1		3
Варіант №24
	1	2	3	4			−1 12 −2 −3
	1	2	3	4			−1 12 −2 −3
2.	2	2	3	4	.	3.	8 −9 4 9							.
	3	3	3	4			1	7		3	−6
	4	4	4	4			5	−3		3	4
Варіант №25
	4	0	0	5			2	2	2		1
	4	0	0	5			2	2	2		1
2.	0	4	5	0	.	3.	7	10	12		13		.
2.	0	5	4	0	.	3.	1 1 3			1			.
	5	0	0	4			4	4	5		6

§2. Індивідуальне завдання 1.2

Матриці. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

[Ч.1, гл.3, §2, приклади 6 – 10; гл.3, §3, приклади 2 – 5]

Завдання: 1. a) Розв’язати матричне рівняння. Виконати перевірку правильності розв’язку; б) знайти ранг матриці A . 2. Знайти обернену мат-

рицюдляматриці A . Виконатипервірку: A A−1 = E . 3. Розв’язатисистеми рівнянь, використовуючи метод Гаусса. Виконати перевірку.

18	Глава 1. Лінійна алгебра та аналітична геометрія

Варіанти завдань Варіант №1

									3	−1	3	2	5
		1		0	7		4	;	5 −3		2	3	4
1. a) X					=			;	б) A =			0	.
			4 2			13 8			1 −3 −5			0	−7
										−5	1	4
									7	−5	1	4	1
		2		2	3
		2		2	3
2.	A =		1	−1	0 .
		−1		2
		−1		2	1

	2x1 + 3x2										+ 8x4 = 0;					x1 − x2 + 2x3 + 2x4 = 2;
						x			− x		+	3x		= 0;			3x	− 2x			2	−	x	−	x		= −1;
3. а)							2			3		4			б)		1				2		3		4
3. а)										x	+	2x = 1;			б)		5x		− 3x			− 4x		−	2x	4	= −4;
										3			4				1			2			3			4
			x								+	x		= −24,			7x		− 4x		2	− 7x		− 5x			= −7.
			1									4					1				2		3			4
													Варіант №2												1
																			0			4	10		1
1. a)	2				1				4			7		;	б) A =				4			8 18			7
1. a)		3			X =					16				;	б) A =						18		40			.
		3			4					16		13						10			18		40		17

																			1			7	17
																			1			7	17		3
		3			2			2
		3			2			2
2. A =			1		3			1 .
			5		3
			5		3			4
																2x1 + x2 − x3 − x4 + x5 = 1;
	x1 + x2 − x3 + x4 = 4;															2x1 + x2 − x3 − x4 + x5 = 1;
		2x			− x	2		+	3x		− 2x			= 1;			x		− x			+ x		+	x		− 2x = 0;
3. а)			1			2				3		4			б)		1			2			3			4	5
3. а)			x					−	x		+	2x	4	= 6 ;	б)		3x	+ 3x				− 3x		−	3x		+ 4x = 2;
			1							3			4				1			2			3		4		5
		3x			− x	2	+		x		−	x		= 0 ,			4x		+ 5x			− 5x		−	5x		+ 7x = 3.
			1			2				3		4					1				2		3		4		5
													Варіант №3					1		2			3	14
																		1		2			3	14
																			3	2			1
			4			6			25			30							3	2			1	10
			4			6			25			30		;	б) A =				1 1				1 6 .
1. а) X								=						;	б) A =				1 1				1 6 .
				7						34
				7		8				34		46						2		3			−1		5
																			1	1			0
																			1	1			0		3

§2. Індивідуальне завдання 1.2	19

			1			2			−3

2.	A = 3					2			−4 .
				2	−1				0

		2x1 + 3x2							+11x3 + 5x4 = 2;									3x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + x5 = 1;
		2x1 + 3x2							+11x3 + 5x4 = 2;										2x		+	2x + x				+		x		= 1;
				x1 + x2					+ 5x3 + 2x4 = 1;										1			2		3				4
3. а)				x1 + x2					+ 5x3 + 2x4 = 1;								б)		x				+ x			+ 2x +				x = 0;
			2x		+		x		+ 3x			+ 2x				= −3;			1		+	2x		3				4		5
				1	+		2				3		4			= −3,			x		+	2x	+ x					−		x = 1;
				x	+		x		+ 3x			+ 4x				= −3,			1			2		3						5
				1			2				3		4									2x + x − x − 2x = 1.
																						2			3			4		5
													Варіант №4
																				1		1		−1				1
		4			1				13			23									1	−1				1 −1
1. a)					X =									;			б) A =
1. a)			3		X =					11				;			б) A =				3	1		−1				.
																						−1				1
																				3		−1				1		−1

				2			−1		4
2.	A =			3			−1		1 .
				−2			1
				−2			1		1

		x1 + 3x2 + 5x3 + 7x4 = 12;																x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 7;
			3x +			5x + 7 x + x							4		= 0;				3x +			2x + x + x − 3x = −2;
3. а)				1			2				3		4				б)		1			2				3		4		5
3. а)			5x		+	7x		2	+ x			+ 3x	4		= 4;		б)					x	+ 2x				+ 2x		+ 6x		= 23;
				1				2			3		4									2				3		4		5
			7x		+		x	2	+ 3x			+ 5x	4		= 16,				5x		+	4x	+ 3x				+	3x	−	x	= 12.
				1				2			3		4						1			2				3		4		5
													Варіант №5
																							2			2		−1		1
1. а)		2			−3				2			1				15	−5		; б)					4 3				−1 2
1. а)							X							=					; б)			A =								.
			0								3					3							8 5					−3 4
			0		−1						3	−1				3	−1						8 5					−3 4
																										3		−2
																							3			3		−2		2

				1			3		4

2.	A =			2			0		3 .
				−2			1		−3

20	Глава 1. Лінійна алгебра та аналітична геометрія

		2x1 +					x2 + 4x3 + 8x4 = −1;													2x1 + 7 x2 + 3x3 +										x4 =			5;
			x +			3x −				6x +				2x	4		= 3;				x +		3x	2	+ 5x −					2x =			3;
3. а)				1			2				3				4			8; б)			1			2			3				4
3. а)			3x −			2x +				2x −				2x =				8; б)			x +		5x	2	− 9x +					8x	4	=	1;
				1			2				3				4						1			2			3				4
			2x − x +							2x							= 4 ,				5x +18x + 4x +									5x =			12.
				1			2				3										1			2			3				4
															Варіант №6
																					0		0			1	−1
1. a)		1			0					8 0							4 0		;б)		0 3					1		4
1. a)						X								=					;б)	A =									.
																					2 7					6 −1
			0 2							4 2							2 1				2 7					6 −1
																							2			2
																					1		2			2	−1

				5			3				1

2. A =				1			−3			−2 .
				−5			2				1

	2x1 − x2 + 3x3 + 2x4 = 4;																			2x1 − 2x2 + x3 − x4 + x5 = 1;
		3x + 3x + 3x + 2x = 6;																			x +		2x − x + x −										2x =	1;
3. а)				1			2				3			4					б)		1		2			3				4			5
3. а)		3x − x − x + 2x = 6;																	б)		4x −	10x + 5x −							5x +				7x =	1;
				1			2				3			4							1		2			3				4			5
		3x −				x		+ 3x				−		x		= 6 ,					2x −	14x			+ 7x			−	7x +11x =					−1.
				1			2				3			4							1		2			3				4			5
															Варіант №7
																										2		1			11		2
1. а)		2			0					3				0				2	−4		; б)		A =			1		0				4 −1
1. а)								X								=					; б)		A =										.
			1								1							−4
			1		−1						1		−2					−4	−4							11 4 56 5
																										2	−1					5
																										2	−1					5	−6

			1		2			−3

2. A = 0						1			2 .
				0	0				1

		x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5;																		5x1 − 3x2 + 2x3 + 4x4 = 3;
			2x		+		x		+		2x		+ 3x				= 1;				4x + x + x + 3x = −2;
3. а)				1			2				3				4				б)		1		2			3					4
3. а)			3x		+	2x			+		x		+ 2x				= 1;		б)		3x + 2x + 2x + 6x										4	= −4;
				1			2				3				4						1		2			3					4
			4x		+	3x			+	2x			+	x			= −5 ,				2x − 3x + 7x + 17x = 0.
				1			2				3				4						1		2			3					4

<<< < Предыдущая 12 / 562 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>