Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский национальный университет радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ВМ-1-4 / visshaya_matematika_chast_IV

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

10.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 5613 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§4. Індивідуальне завдання 2.4	121

2.Знайти повний диференціал функції z = arctg ( y − 4x) .

3.Обчислити значення частинних похідних функції z(x, y) , заданої

неявно, у даній точці

K0 (x0 ; y0 ; z0 ) :

x2 + y2 + z2 − 2xy − 2xz − 2yz = 17;

K0 (−2; −1;

2) .

4. Заданафункція

z =

. Показати, щовоназадовольняєрів-

(x2 − y2 )5

няння

1 ∂ z

; перевірити справедливість рівності

∂ 2 z

x ∂ x

y∂ y

∂ x∂ y

∂ ∂y x

5. Дослідити на екстремум функцію z = y x − 2 y2 − x +14 y .

6. Знайти найбільше і найменше значення функції z = 3x + y − xy

області D, обмеженій заданими лініями ( D :

y = x, y = 4, x = 0 ).

Варіант №2

1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на

площині (x, y) :

а) z = arcsin

y −1

;

б) z =

y −

2.Знайти повний диференціал функції z = e3 y−4 x .

3.Обчислити значення частинних похідних функції z(x, y) , заданої

неявно, у даній точці

(x ; y

; z

) :

x3 + 3xyz − z3 = 27; K

(3; 1; 3) .

4. Задана функція

z =

−

. Показати, що вона задоволь-

2 y

няє рівняння x2

∂ z

+ y2 ∂

;

перевірити справедливість рівності

∂ x

∂

=∂ 2 z .

∂x∂ y ∂ ∂y x

5.Дослідити на екстремум функцію z = x3 + 8y3 − 6xy + 5 .

6.Знайти найбільше і найменше значення функції z = xy − x − 2 y в області D, обмеженій заданими лініями ( D : x = 3, y = x, y = 0 ).

Варіант №3

1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на площині ( x, y) :

122 Глава 2. Диференціальне числення функцій однієї та багатьох змінних

а) z = x − y ;

б) z = y sin x .

2.Знайти повний диференціал функції z = ln ( y2 − y + 4x) .

3.Обчислити значення частинних похідних функції z(x, y) , заданої

неявно, у даній точці K0 (x0 ; y0 ; z0 ) : ln z = x + 2 y − z + ln 3; K0

(1; 1;

3) .

4. Задана функція z = x arctg( y x) . Показати, що вона задовольняє

рівняння x

∂ z

+ y

∂

= z ; перевірити справедливість рівності

∂ 2 z

∂

2 z

∂ x

∂

∂ x∂ y ∂ ∂y x

5.Дослідити на екстремум функцію z = 1+15x − 2x2 − xy − 2y2 .

6.Знайти найбільше і найменше значення функції

z= x2 + 2xy − 4x + 8y

вобласті D, обмеженій заданими лініями ( D : x = 0, x = 1, y = 0, y = 2 ).

Варіант №4

1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на площині (x, y) :

а) z = ln (xy) ;

б) z = sin (x2 + y2 ) .

2.Знайти повний диференціал функції z = 3 x3 + y3 .

3.Обчислитизначеннячастиннихпохіднихфункції z(x, y) , заданоїне-

явно, уданійточці K0 (x0 ; y0 ; z0 ) : 2x2 + 2 y2 + z2 −8xz − z + 6 = 0; K0						(2; 1; 1) .
4. Задана функція z = ln (x2 + y2 ) . Показати, що вона задовольняє
рівняння	∂ 2 z	+	∂ 2 z	= 0 ; перевірити справедливість рівності	∂ 2 z	=	∂	2 z	.

	∂ x2		∂ y2		∂ x∂ y ∂ ∂y x
5. Дослідити на екстремум функцію z = 1+ 6x − x2 − xy − y2 .
6. Знайти найбільше і найменше значення функції z = 5x2 − 3xy + y2
в області D, обмеженій заданими лініями ( D : x = 0, x = 1, y = 0,						y = 1 ).

Варіант №5

1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на площині (x, y) :

§4. Індивідуальне завдання 2.4		123

а) z = x + x2 − y2 ;	б) z = arcsin (x	y2 ) + arcsin (1− y) .

2.Знайти повний диференціал функції z = arcsin ( y − x) .

3.Обчислити значення частинних похідних функції z(x, y) , заданої

неявно, у даній точці K

(x ; y

; z

) :

z2 = xy − z + x2 − 4; K

(2; 1; 1) .

4. Задана функція

z = arctg ( y

x) . Показати, що вона задовольняє

рівняння

∂ 2 z

∂

2 z

= 0 ; перевірити справедливість рівності

∂ 2 z

∂

2 z

∂ x2

∂

∂ x∂ y

∂ ∂y x

5.Дослідити на екстремум функцію

z= x3 + y2 − 6xy − 39x +18y + 20 .

6.Знайти найбільше і найменше значення функції

z= x2 + 2xy − y2 − 4x

вобласті D, обмеженій заданими лініями ( D : x − y +1 = 0, x = 3, y = 0 ).

Варіант №6

1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на

площині (x, y) :
а) z =	4	;	б) z = x sin y .
	x + y

2.Знайти повний диференціал функції z = arccos ( y + x) .

3.Обчислити значення частинних похідних функції z(x, y) , заданої

неявно, у даній точці K

(x ; y

; z

) : x3 + y3 + z3 − 3xyz = 4; K

(2; 1; 1) .

4. Заданафункція z = ln (x2 + xy + y2 ) . Показати, щовоназадовольняє

рівняння x

∂ z

+ y

∂

= 2

; перевірити справедливість рівності

∂ 2 z

∂

2 z

∂ x

∂

∂ x∂ y ∂ ∂y x

5.Дослідити на екстремум функцію z = 2x3 + 2 y3 − 6xy + 5 .

6.Знайти найбільше і найменше значення функції

z= x2 + y2 − 2x − 2 y + 8

вобласті D, обмеженій заданими лініями ( D : x = 0, y = 0, x + y −1 = 0 ).

Варіант №7

1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на площині (x, y) :

124 Глава 2. Диференціальне числення функцій однієї та багатьох змінних

а) z = 1− x2 − y2 ;

б) z = cos (x2 + y2 ) .

2.Знайти повний диференціал функції z = arcsin (xy) + x2 y3 .

3.Обчислити значення частинних похідних функції z(x, y) , заданої неявно, у даній точці K0 (x0 ; y0 ; z0 ) : x2 + y2 + z2 − xy = 2; K0 (−1; 0; 1) .

4.Задана функція z = xy + xeyx . Показати, що вона задовольняє рів-

няння

∂ z

+ y

∂

= xy + z ; перевіритисправедливістьрівності

∂ 2 z

∂

2 z

∂ x

∂ x∂

∂

y ∂ ∂y x

5.Дослідити на екстремум функцію z = 3x3 + 3y3 − 9xy +10 .

6.Знайти найбільше і найменше значення функції z = 2x3 − xy2 + y2

вобласті D, обмеженій заданими лініями ( D : x = 0, x = 1, y = 0, y = 6 ).

Варіант №8

1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на площині (x, y) :

а)

z = arcsin ( y

x) ;

б) z = ctg (π (x+ y)) .

2. Знайти повний диференціал функції z = xy − arctg (xy4 ) .

Обчислити значення частинних похідних функції z(x, y) , заданої

неявно, у даній точці K0 (x0 ; y0 ; z0 ) :

3x − 2 y + z = xz + 5; K0 (2; 1; −1) .

Задана функція z = ln (

x +

y ) . Показати, що вона задовольняє

рівняння

∂ z

+ y

∂ z

; перевірити справедливість рівності

∂ 2 z

∂

2 z

∂ x

∂ y

∂ x∂ y

∂ ∂y x

5.Дослідити на екстремум функцію z = x2 + xy + y2 + x − y +1 .

6.Знайти найбільше і найменше значення функції

z= 3x + 6y − x2 − xy − y2

вобласті D, обмеженій заданими лініями ( D : x = 0, x = 1, y = 0, y = 1 ).

Варіант №9

1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на площині (x, y) :

а) z = ln(x2 + y) ;

б) z = arcsin x2 + y2 .

§4. Індивідуальне завдання 2.4

125

2. Знайти повний диференціал функції z =

3x2 − y5 − 4 y .

3. Обчислити значення частинних похідних функції z(x, y) , заданої

неявно, у даній точці

(x ; y

; z

)

ex + x + 2 y + z = 14; K

(1; 1; 0) .

4. Задана функція z =

x sin

. Показати, що вона задовольняє рів-

няння

∂ z

+ y

∂ z

z ; перевірити справедливість рівності

∂ 2 z

∂

2 z

∂ x

∂ x∂ y

∂ y

∂ ∂y x

5.Дослідити на екстремум функцію z = 4(x − y) − x2 − y2 .

6.Знайти найбільше і найменше значення функції

z= x2 − 2y2 + 4xy − 6x −1

вобласті D, обмеженій заданими лініями ( D : x = 0, y = 0, x + y − 3 = 0 ).

Варіант №10

1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на площині (x, y) :

а)

z = x + arccos y ;

б) z = tg(π (x+ y)) .

2. Знайти повний диференціал функції z = x5 y7 − 2

xy + 5 .

Обчислити значення частинних похідних функції z(x, y) , заданої

неявно, у даній точці K

(x ; y

; z

) : x2 + y2 + z2 − z − 4 = 0;

(1; 1; −1) .

4. Задана функція z = ex

y2 . Показати, щовоназадовольняє рівняння

∂ z

+ y

∂

= 0 ; перевірити справедливість рівності

∂ 2 z

∂

2 z

∂ x

∂ x∂ y

∂

∂ ∂y x

5.Дослідити на екстремум функцію z = 6(x − y) − 3x2 − 3y2 .

6.Знайти найбільшеінайменшезначенняфункції z = x2 + 2xy −10 в

області D, обмеженій заданими лініями ( D : y = 0, y = x2 − 4 ).

Варіант №11

1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на площині (x, y) :

а) z = 1 (x −1) +1 y ;

б) z = ln (x2 y) y − x .

126Глава 2. Диференціальне числення функцій однієї та багатьох змінних

2.Знайти повний диференціал функції z = ex 2 − y3 +9 .

3.Обчислити значення частинних похідних функції z(x, y) , заданої

неявно, у даній точці K

(x ; y ; z

) : z3 + 3xyz + 3y = 7;

(1; 1; 1) .

4. Задана функція

z = x y . Показати, що вона задовольняє рівняння

x ∂ z

1 ∂ z

= 2z ; перевірити справедливість рівності

∂

2 z

∂ 2 z

y ∂ x

ln x∂ y

∂ x∂ y ∂ ∂y x

5.Дослідити на екстремум функцію z = x2 + xy + y2 − 6x − 9 y .

6.Знайти найбільше і найменше значення функції z = xy − 2x − y в області D, обмеженій заданими лініями ( D : x = 0, x = 3, y = 0, y = 4 ).

Варіант №12

1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на площині (x, y) :

а) z = ln(x + y) ;

б) z = xy .

2.Знайти повний диференціал функції z = ln ( y6 − 4x3 ) +13 .

3.Обчислитизначеннячастиннихпохіднихфункції z(x, y), заданоїнеяв-

но, у даній точці	K		(x ; y		; z		) : cos2	x + cos2	y + cos2 z =	3	;	K		π	;	3π	;π		.
		0		0		0							0
			0						2					4		4
																		4

4. Задана функція z = ex y ln y . Показати, що вона задовольняє рів-

няння

∂ z

+ y

∂

; перевірити справедливість рівності

∂ 2 z

∂

2 z

∂ x

ln y

∂ x∂

∂

y ∂ ∂y x

5.Дослідити на екстремум функцію z = (x − 2)2 + 2y2 −10 .

6.Знайти найбільше і найменше значення функції z = 0,5x2 − xy в

області D, обмеженій заданими лініями ( D : y = 8, y = 2x2 ).

Варіант №13

1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на площині (x, y) :

а) z = 1− x2 + 1− y2 ; б) z = ln ( y − x2 + 2x) .

§4. Індивідуальне завдання 2.4										127

2. Знайти повний диференціал функції z =						x
							.
						y2 − x2	.
3. Обчислити значення частинних похідних функції z(x, y) , заданої
неявно, у даній точці K0 (x0 ; y0 ; z0 ) : e				z−1	= cos x cos y +1; K0				π
								0;		; 1 .
								0;	2	; 1 .
									2
	x	1
	x	π
4. Заданафункція z =			. Показати, щовоназадовольняєрівняння
4. Заданафункція z =			. Показати, щовоназадовольняєрівняння
	y

∂ z

+ y

∂

= 0

; перевірити справедливість рівності

∂ 2 z

∂

2 z

∂ x

∂ x∂

∂

y ∂ ∂y x

5.Дослідити на екстремум функцію z = (x − 5)2 + y2 +1.

6.Знайти найбільше і найменше значення функції

z= 3x2 + 3y2 − 2x − 2y + 2

вобласті D, обмеженій заданими лініями ( D : x = 0, y = 0, x + y −1 = 0 ).

Варіант №14

1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на площині (x, y) :

а) z = x + y + x − y ; б) z = ln x + ln cos y .

2.Знайти повний диференціал функції z = tg xy .

3.Обчислити значення частинних похідних функції z(x, y) , заданої

неявно, у даній точці K

(x ; y

; z

) :

x2 + y2 + z2 − 6x = 0; K

(1; 2; 1) .

4. Задана функція z =

x2 + y2

. Показати, що вона задовольняє рів-

∂ z 2

∂

∂ 2 z

∂

2 z

няння

= 1 ; перевірити справедливість рівності

∂

∂ x∂ y

∂ x

∂ ∂y x

5.Дослідити на екстремум функцію z = x3 + y3 − 3xy .

6.Знайти найбільшеінайменшезначенняфункції z = 2x2 + 3y2 +1 в

області D, обмеженій заданими лініями ( D : y =	9 −	9	x	2	, y = 0 ).
		4

128 Глава 2. Диференціальне числення функцій однієї та багатьох змінних

Варіант №15

1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на площині (x, y) :

а) z =	1	+	1	; б) z = ln x + ln y .
	x + y		x − y

2.Знайти повний диференціал функції z = tg2 xy .

3.Обчислити значення частинних похідних функції z(x, y) , заданої

неявно, у даній точці K

(x ; y ; z

) :

xy = z2 −1; K

(0; 1; −1) .

4. Задана функція z = e

x 2

−

sin

. Показати, що вона задоволь-

∂ z

∂ z 2

2 y

няє рівняння

sin

;

перевірити справедливість рівності

∂ x

∂

=∂ 2 z .

∂x∂ y ∂ ∂y x

5.Дослідити на екстремум функцію z = 2xy − 2x2 − 4 y2 .

6.Знайти найбільше і найменше значення функції

z= x2 − 2xy − y2 + 4x +1

вобласті D, обмеженій заданими лініями ( D : x = −3, y = 0, x + y +1 = 0 ).

Варіант №16

1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на площині (x, y) :

а) z = 1−	x2	−	y2	;	б) z = ln(x2 + y2 − 2x − 4y + 4) .
	a2		b2

2.Знайти повний диференціал функції z = sin xy cos xy .

3.Обчислитизначеннячастиннихпохіднихфункції z(x, y) , заданоїне-

			π				π
явно, уданійточці K0	(x0 ; y0	; z0 ): x cos y + y cos z + z cos x =		;	K0	0;		; π	.
явно, уданійточці K0	(x0 ; y0	; z0 ): x cos y + y cos z + z cos x =	2	;	K0	0;	2	; π	.
			2				2

§4. Індивідуальне завдання 2.4

129

4. Заданафункція z =

. Показати, щовоназадовольняєрівняння

x − y

∂ 2 z

∂ 2 z ∂

2 z

∂ 2 z

+ 2 ∂ x∂ y +∂

; перевіритисправедливістьрівності

=∂

∂y x .

∂ x2

x− y

∂ x∂ y

Дослідити на екстремум функцію z = x y − x2 − y + 6x + 3 .

Знайти найбільше і найменше значення функції

z= 3x2 + 3y2 − x − y +1

вобласті D, обмеженій заданими лініями ( D : x = 5, y = 0, x − y −1 = 0 ).

Варіант №17

1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на

площині (x, y) :
а) z = 1 (x2 − y2 ) ;	б) z = ln(x2 + y2 ) .

2.Знайти повний диференціал функції z = ( y2 − x2 )( y2 + x2 ) .

3.Обчислити значення частинних похідних функції z(x, y) , заданої

неявно, у даній точці K

(x ; y

; z

) : x2 − 2y2 + 3z2 − yz + y = 2; K

(1; 1; 1) .

4. Задана функція

z = ln(ex + ey ) . Показати, що вона задовольняє

рівняння

∂ z

∂

= 1 ; перевірити справедливість рівності

∂ 2 z

∂

2 z

∂ x

∂

∂ x∂ y ∂ ∂y x

5.Дослідити на екстремум функцію z = 2xy − 5x2 − 3y2 + 2 .

6.Знайти найбільше і найменше значення функції

z= 2x2 + 2xy − 12 y2 − 4x

вобласті D, обмеженій заданими лініями ( D : y = 2x, y = 2, x = 0 ).

Варіант №18

1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на площині (x, y) :

а) z = 2 − x2 − 2y2 ; б) z = arcsin (1 xy ) .

2. Знайти повний диференціал функції z = arccos ( y x) .

130 Глава 2. Диференціальне числення функцій однієї та багатьох змінних

3. Обчислити значення частинних похідних функції z(x, y) ,

заданої

неявно, у даній точці K

(x ; y ; z

) : x2 + y2 + z2 + 2xz = 5;

(0; 2; 1) .

4. Задана функція z = xy yx . Показати, щовоназадовольняє рівняння

∂ z

∂

∂ 2 z

∂

2 z

+ y

= (x + y + ln z)z ; перевірити справедливість рівності

∂ x

∂

∂ x∂ y ∂ ∂y x

5.Дослідити на екстремум функцію z = 2xy − 5x2 − 3y2 + 2 .

6.Знайти найбільше і найменше значення функції

z= x2 − 2xy + 52 y2 − 2x

вобласті D, обмеженій заданими лініями ( D : x = 0, x = 2, y = 0, y = 2 ).

Варіант №19

1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на

площині (x, y) :

а)

z = arccos (x2 + y2 ) ;

б) z = y cos 2x .

2. Знайти повний диференціал функції z = x sin (x

y) .

3. Обчислитизначеннячастиннихпохіднихфункції z(x, y) , заданоїнеяв-

но, у даній точці K0 (x0 ; y0 ; z0 ): 3x2 y2 + 2xyz2 − 2x3 z + 4y3 z = 4;

K0 (2; 1; 2).

Задана функція z = ex cos y . Показати, що вона задовольняє рів-

няння

∂

2 z

∂

2 z

= 0 ; перевірити справедливість рівності

∂ 2 z

∂

2 z

∂ x2

∂

∂ x∂ y

∂ ∂y x

5.Дослідити на екстремум функцію z = xy − x2 − y2 + 9 .

6.Знайти найбільше і найменше значення функції z = xy − 3x − 2 y в області D, обмеженій заданими лініями ( D : x = 0, x = 4, y = 0, y = 4 ).

Варіант №20

1. Знайти область визначення функції z = f (x, y) та побудувати її на площині (x, y) :

а) z = x2 − y2 ;

б) z = 1 xy .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 5613 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>