ВМ-1-4 / visshaya_matematika_chast_IV

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский национальный университет радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

+ 4 sin x + 3cos x

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

10.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 5615 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

sin2 x

1− x2

§1. Індивідуальне завдання 3.1	141

7.	∫ cos16x dx .										8.		∫	arcctg11xdx								.
7.	∫ cos16x dx .										8.		∫		1 + x			2				.
															1 + x
10.	∫	arcsin9 x dx								.	11.		∫ x2		e5−6 x				3	dx .
10.	∫				1 − x2					.	11.		∫ x2		e5−6 x					dx .
													Варіант № 22
1.	∫			dx		.					2.		∫ x11 3 xdx .
1.	∫		37			.					2.		∫ x11 3 xdx .
				x
4.	∫			dx							5.		∫		dx
									.											.
				5 6 −11x					.					x 5 ln8 x						.
7.	∫ sin				4x			dx .			8.		∫			dx									.
7.	∫ sin							dx .			8.		∫	(1	+ x	2							21	x	.
		9												(1	+ x		) arctg							x
10.	∫							dx				.		11. ∫			e		5 tgx				dx .
								dx									e
																	cos				2	x
				7 arcsin6 x 1− x2													cos					x
													Варіант №23
1.	∫			7dx			.				2.		∫ x13 4 xdx .
1.	∫			15			.				2.		∫ x13 4 xdx .
				x
4.	∫ x2 4 − 7 x3 dx .										5.		∫	e3arcsin x dx							.
4.	∫ x2 4 − 7 x3 dx .										5.		∫		1− x2						.

ex dx

9. ∫ 16 − 9e2 x .

3.	∫		dx	.
		9	− 25x

6.	∫	ctg19 x dx			.
			sin2 x
9.	∫		e3xdx		.
			4 − e6 x

2dx

3. ∫ 9x − 2 .

6. ∫ tg 29x dx .

cos 7 xdx 7. ∫ sin9 7x .

10. ∫ 9 arcsin29 xdx .

1. ∫ 4xdx33

4. ∫	(1 + 8x) dx	.

	4x2 + x − 9

8.∫ sin 8x 7 − 4 cos 8xdx

11.∫ x3 e9−7 x4 dx .

Варіант №24

2. ∫ x3 8 x5 .

5. ∫ 92ctgx dx .

.9. ∫		dx		.
	x	ln17
			x

3. ∫ 17x +11 .

6. ∫ ctg 79x dx .

142 Глава 3. Інтегральне числення функцій однієї та багатьох змінних

7.	∫	cos x dx						.	8.		∫		arctg9 (5x) dx					.
7.	∫	7 sin12 x						.	8.		∫		1 +	25x		2		.
		7 sin12 x											1 +	25x
10.	∫	arccos19 (3x) dx							.				11.	∫ x4 e8−12x						5	dx .
10.	∫			1 − 9x2					.				11.	∫ x4 e8−12x							dx .
												Варіант №25
1.	∫		dx		.				2.		∫		dx		.
1.	∫		3		.				2.		∫	x8 11 x2			.
		34x										x8 11 x2
4.	∫		x7 dx					.	5.		∫		sin 9x dx				.
4.	∫	9	5	−	4x		8	.	5.		∫	5	+ 7 cos 9x				.
		9					8					5	+ 7 cos 9x

7.	∫	cos6 x				dx .			8.		∫ e−9 x+19 dx .
7.	∫	sin		8	x	dx .			8.		∫ e−9 x+19 dx .
		sin			x
10.	∫					dx				.			11.	∫ x5 94−3x					6		dx .
10.	∫	(1+ x2 ) arcctg37 x								.			11.	∫ x5 94−3x							dx .

9. ∫ x 13 ln9 x .

3. ∫ 53x − 4 .

6. ∫ arccos53 x dx .

1 − x2

e3x dx

9. ∫ e6 x − 25 .

§2. Індивідуальне завдання 3.2

Невизначений інтеграл

[Ч.2, гл.1, §1, приклади 4 – 29]

Завдання: знайти невизначені інтеграли.

					Варіанти завдань
						Варіант №1
1.	∫ x2arctg x dx .			2.	∫	5x + 3	dx .		3.	∫	dx	.
1.	∫ x2arctg x dx .			2.	∫	−x2 + 4x + 5	dx .		3.	∫		.
						−x2 + 4x + 5					x 1− x3
4.	∫	xdx		5.	∫	dx			6.	∫ sin5 x dx .
			.					.
		1+ 4 x	.			2 sin x + 3cos x − 5		.
7.	∫	2x − 1 dx .

§2. Індивідуальне завдання 3.2	143

1. ∫ x ln x dx .

xdx

4.∫ x + 2 .

7.	∫ (x + 2) cos (x2 +
1.	∫ 1+ x2 dx .

Варіант №2

(x +1) dx 2. ∫ 5x2 + 2x +1 .

5. ∫ 3cos x + 2 .

4x +1) dx .

	Варіант №3
2. ∫	3x + 2	dx .
	x2 + x + 2

∫

x +

cos x

+ 2 sin x + 3

∫

1− sin x dx .

Варіант №4

∫ (x2 + 2x

+ 3) cos x dx . 2. ∫

5x + 3

dx .

+10x

+ 29

∫

(1 +

3sin x + 4 cos x +

∫

+ x

Варіант №5

∫ arctg x dx .

∫

−x2

− 2x + 8

∫

xdx

∫

− 2 sin x + cos x

∫

x3 −1

3. ∫ x x2 +1 .

6. ∫ sin3 x dx .

5 cos3 x


3. ∫	dx		.

	x +	x

6. ∫ cos4 x dx .

3. ∫		dx	.
	x	4 − x2

6. ∫ 2 + 3cos2 x .

(x + 2) dx

3. ∫ x +1 +1 .

sin2 x

6. ∫ cos6 x dx .

Варіант №6

1. ∫ arcsin 2x dx .	2. ∫	(2x − 8) dx		3. ∫	dx
			.			.
		1 − x + x2			(2 + x) 1 + x

144 Глава 3. Інтегральне числення функцій однієї та багатьох змінних

4.	∫ x2		4 − x2 dx .
7.	∫	x3dx		.
		(1	− x2 )3

1.	∫ x2 cos x dx .

4. ∫ x x2 + x − 2 .

x2dx

7. ∫ (x +1)4 .

1.	∫ xe2 x dx .
4.	∫	x2		+ 2x	dx .
		x		3

7.	∫	x5dx				.
		3 (x	2 −1)2

1. ∫ x2 ln x dx .

4.∫ (x +1) dx .

xx −1

7. ∫ x3 3 2 − x3 .

1. ∫ x ln2 x dx .

5. ∫ 2 − 3cos x + sin x .

Варіант №7

2. ∫		xdx
			.
	x2
		+ 4x + 5

5. ∫ 1+ cos2 x dx .

1+ cos 2x

Варіант №8

2. ∫	xdx		.
	x2	+ x −1

sin 2x

5. ∫ 1 + cos2 x dx .

Варіант №9

2. ∫	xdx	.

	x2 − x

cos3 x

5. ∫ sin5 x dx .

Варіант №10

(2x +11) dx 2. ∫ x2 + 6x +13 .

1 + tg x

6. ∫ sin 2x dx .

3. ∫		dx		.
	(9	+ x2 )	9 + x2

6. ∫ 5 + sin x + 3cos x .

3. ∫ (1− x2 ) 1− x2 .

6. ∫ 8 − 4 sin x + 7 cos x .

3. ∫		dx	.
	x2	25 + x2

§2. Індивідуальне завдання 3.2	145

4.	∫		dx				.									5.	∫ sin3 x cos3 x dx .
4.	∫	e	x				.									5.	∫ sin3 x cos3 x dx .
		e		+1
7.	∫ 3 x 3 + 5x 3 x dx .
																		Варіант №11
1.	∫ ln(1− x) dx .															2.	∫		2x + 5							dx .
1.	∫ ln(1− x) dx .															2.	∫	9x2 + 6x + 2								dx .
4.	∫			dx							.					5.	∫	sin3 x			dx .
4.	∫		x (x −1)								.					5.	∫				dx .
			x (x −1)															cos x
7.	∫			x3dx									.
7.	∫		(1+ 2x2 )3										.
			(1+ 2x2 )3
																		Варіант №12
1.	∫		x2 − 64							dx			.			2.	∫			dx					.
1.	∫									dx			.			2.	∫	9x2 − 6x +					2		.
				x														9x2 − 6x +					2
4.	∫			dx					.							5.	∫	dx				.
4.	∫	x		x −				2	.							5.	∫	cos	4	x		.
		x		x −				2										cos		x
7.	∫				dx									.
7.	∫	x	2	(2	+ x				3		)	5 3		.
		x		(2	+ x						)
																		Варіант №13
1.	∫ arctg							x dx .								2.	∫	(8x −11) dx						.
1.	∫ arctg							x dx .								2.	∫							.
																		5 + 2x − x2
4.	∫		xdx					.								5.	∫ cos5 x dx .
4.	∫		x + 3					.								5.	∫ cos5 x dx .
			x + 3
7.	∫						dx								.
7.	∫	x	2			(1+ x2 )3									.
		x	2			(1+ x2 )3
																		Варіант №14
1.	∫			(x + 3) dx											.	2.	∫ xe− x dx .
1.	∫		4x2 + 4x + 3												.	2.	∫ xe− x dx .
			4x2 + 4x + 3

6. ∫ 7 cos2 x + 2 sin2 x .

3.	∫	dx		.
		(49 + x2 )3
6.	∫	dx			.
		3cos x −	4 sin x

3. ∫ x tg2 x dx .

6. ∫ 4 − 4 sin x + 3cos x .

1− x2

3. ∫ x2 dx .

6. ∫ 3 + cos x .

3. ∫ x 1+ x2 .

146 Глава 3. Інтегральне числення функцій однієї та багатьох змінних

∫

x + 2

dx .

∫ cos4 x sin3 x dx .

x − 3

∫

xdx

x −

−1

Варіант №15

∫ x cos2 x dx .

∫

(3x − 2) dx

x − 4x + 5

∫

(sin x − cos x)2

dx .

(x +1)

x + 4

sin 2x

∫

(1+ 6

x) dx

(3 x

− 4

x) 4 x3

Варіант №16


1.	∫					dx						.
1.	∫			5	− 7 x −			3x2				.
				5	− 7 x −			3x2
4.	∫		x2 dx				.
4.	∫						.
				x − 2
7.	∫					dx				.
7.	∫		x4			1+ x2				.
			x4			1+ x2
1.	∫					dx					.
1.	∫			2	− 3x − x2						.
				2	− 3x − x2
4.	∫					dx			.
4.	∫	3		+		x − 6			.
		3		+		x − 6
7.	∫					dx		.
7.	∫		x	3		1 + x5		.
			x	3		1 + x5
1.	∫				(x − 3) dx
1.	∫			3	+ 66x −11x2
				3	+ 66x −11x2

2.	∫ arcsin	x	dx .
		x +1

5.	∫ sin3 x cos8 x dx .

	Варіант №17
2.	∫ x arctg x2 −1 dx .
5.	∫ sin2 x cos4 x dx .

Варіант №18

.	2. ∫	arcsin x dx		.
		x	2

6. ∫		sin x	dx .
	1	+ sin x

3. ∫ x2 x2 −16 .

6. ∫ sin2 x cos2 x .

9 − x2

3. ∫ x4 dx .

6. ∫ 3 + 5sin x + 3cos x .

16 − x2

3. ∫ x2 dx .

6. ∫ sin x + cos x + 3 .

3. ∫ x 1− x2 .

§2. Індивідуальне завдання 3.2	147

4. ∫	x3dx	.

	x + 2

7. ∫ 4 1+ x4 .

1.			2x +1	dx .
1.	∫ 1		+ x − 3x2	dx .
	∫ 1		+ x − 3x2
4.	∫ x3		1− x2 dx .
7.	∫		dx		.
7.	∫				.
		x3 3 1+ 4 x3


5. ∫	cos3 2x dx				.	6. ∫	dx	.
							5 + 3 cos x − 5 sin x
3		sin	2	2x

Варіант №19

2.	∫ x arcsin x dx .							3.	∫		x +1		dx .
										x	x +	2

5.	∫		sin 2xdx				.	6.	∫			dx		.
		sin	4	x + cos	4	x				5	− 4 sin x + 2 cos x

Варіант №20

∫

4x +1

dx .

+ x − x2

∫

x2 −

∫

ex +1 dx .

∫

2x −1

dx .

− 7x − x2

∫ sin6 x cos3 x dx .

∫

1 +

4 x

dx .

∫

x + 5

dx .

− 6x − x2

∫

arcsin

dx .

∫

x + 3

∫

3tg x −1

dx .

6. ∫

sin

+ 4 cos

2 cos x − sin x + 3

Варіант №21

Варіант №22
2. ∫	arccos x dx	.	3. ∫	x2	− 9 dx		.
	x +1				x	2

148 Глава 3. Інтегральне числення функцій однієї та багатьох змінних

4.	∫ sin4 x cos5 x dx .
7.	∫		1+ x	dx .
		x	2
			x

1. ∫ x 2 ln 2 x dx .

4. ∫	x2dx	.
	1 − 9x2

7.∫ 5 (1+ 5 x4 )4 dx .

x2 25 x11

1. ∫ arcsin 2 x dx .

4. ∫ x8 + x6 .

7.∫ 3 1+ 5 x dx .

x15 x4

5. ∫		dx	. 6.	∫		dx			.
	2	− 3cos x + sin x			x	4x − 3x	2
								−1

Варіант №23


2.	∫	(x + 3) dx			.
		4	+ 9x − 2x2

5.	∫	cos x dx		.

		cos 3x

Варіант №24

2.	∫	(5 − 2x) dx	.

		x2 + 2x − 8
5.	∫ sin7 x dx .

3.	∫		x + 5 −1	dx .
3.	∫			dx .
			x + 5 +1
6.	∫		dx	.
6.	∫	1	− 2 sin x	.
		1	− 2 sin x

3.	∫			dx			.
			x (	3	x +	9)

6.	∫		dx			.
		7	+ 5sin x

Варіант №25

∫ ln ( x + 1+ x2 )dx . 2. ∫

(2 − x) dx

∫

8x − x2 − 7

x(1 + 5 x)

∫

+ 9x

dx .

5. ∫

∫

cos4

x dx

sin x − 2 cos x

sin

31 + 4 x3

7.∫ x2 dx .

§3. Індивідуальне завдання 3.3	149

§3. Індивідуальне завдання 3.3

Визначений і невласні інтеграли та їх застосування

[Ч.2, гл.1, §2, приклади 1 – 18, §3, приклади 1 – 23]

Завдання: у приклдах 1, 2 обчислити задані визначені інтеграли; уприкладах3, 4 обчислитиневласніінтегралиабовстановитиїхрозбіжність.

Варіант №1

	2							π		+∞	dx			0	dx
	2			2	1			2		+∞				0
	∫			2	1			2		3. ∫				∫
1.		x		+			dx . 2.	∫ sin x cos2 x dx .					. 4.					.
1.		x		+	x	4	dx . 2.	∫ sin x cos2 x dx .			x (ln x)	3	. 4.			4		.
	1				x			0		e	x (ln x)			−1 x
5. Обчислити площу фігури, що обмежена лініями y = 4 − x2 , y = 0 .
6.	Обчислити довжину дуги кривої ρ									= a sin ϕ .
7. Знайтиплощуповерхні, утвореноїобертаннямнавколоосі Ох дуги
y = x3 від x1 = 0 до x2 = 1 2 .
									Варіант №2
	3		x						a	+∞				5	x		2		dx
1.	∫ e			dx .			2. ∫ x2 a − x2 dx .			3. ∫ x3e− x2 dx . 4.				∫						.
			3
			3
	0							0		0				1		x3 −1
5.	Обчислити площу,							обмежену лемніскатою ρ 2 = a2 cos 2ϕ .
6.	Визначити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої

лініями y2 = 2 px , x = h , навколо осі Ох.
	x	= e	t
7. Знайти довжину дуги кривої	x	= e
7. Знайти довжину дуги кривої	y	= et
	y	= et

Варіант №3

cos t ; від	t	= 0 до t	2	= ln π .
sin t	1		2
sin t

+∞

1. ∫

2. ∫

3. ∫

4. ∫

4 − x2

x (ln x)

ln x

x2 +1

5.Обчислитиплощуфігури, щообмеженалініями y = x2 , y = 2 − x2 .

6.Визначити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої лініями xy = 4 , x = 1, x = 4, y = 0 , навколо осі Ох.

150 Глава 3. Інтегральне числення функцій однієї та багатьох змінних

7.		Обчислити довжину дуги кривої y = ln(sin x)																				від			x1 = π 3	до
x2 = π 2 .
											Варіант №4
		π						1						+∞						1
	6			dx				1	xdx					+∞		xdx				1		dx
1.		∫					.	2. ∫				.	3.	∫					.	4. ∫					.
1.		∫	cos		2	2x	.	2. ∫	1+ x		4	.	3.	∫	(1+ x)		3		.	4. ∫	3		x		.
		π	cos			2x		0	1+ x					0	(1+ x)					0			x
		8
5.		Обчислити площу фігури,												що обмежена лініями y = −x2 ,
x + y + 2 = 0 .
6.	Обчислити довжину дуги кривої ρ = ϕ 2 від ϕ 1 = 0 до ϕ 2 = π .
7.		Знайти площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі																								Ох
дуги кривої y = 2ch(x 2) від x1 = 0 до x2 = 2 .
											Варіант №5
	3		dx					3						+∞		xdx				2		dx
1.		∫	dx	.			2.	∫ x3	x2 −1 dx .				3.	∫		xdx		.		4. ∫		dx		.
1.		∫	2	.			2.	∫ x3	x2 −1 dx .				3.	∫		4		.		4. ∫		3		.
	2		x					1						0		x +1				0		x
5.	Обчислити площу фігури, що обмежена лінією ρ																					= a sin 3ϕ .
6.	Знайти довжину дуги кривої y = arcsin (e−x )																			від x1 = 0 до x2 = 1 .
7.	Знайти об’єм тіла, що утворюється від обертання навколо осі Ох
площі, обмеженою віссю Ох і параболою y = ax − x2																				(a > 0) .
											Варіант №6
	8								e2		dx			+∞						1
1.		∫ ( 2x + 3 x) dx . 2. ∫									dx		. 3.	∫ e−9x dx .						4. ∫ ln x dx .
1.		∫ ( 2x + 3 x) dx . 2. ∫								x ln x			. 3.	∫ e−9x dx .						4. ∫ ln x dx .
	0								e	x ln x				0						0
5. Знайтиплощуфігури, обмеженоїпараболами y2 = 2 px і x2 = 2 py .
6.	Обчислити довжину дуги кривої x = 8sin t + 6 cos t ;																								від t1 = 0	до
															y = 6 sin t − 8 cos t

t2 = π 2 .

7. Знайти площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі Ох дуги y = x3 3 від x1 = 0 до x2 = 2 .

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 5615 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>