ВМ-1-4 / visshaya_matematika_chast_IV

§1. Індивідуальне завдання 6.1

221

вершини D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

JJJG

G JJJG

G

G

G

нює 67. Вважаючи, що AC

= a, BD

= b , виразити через вектори

a

і b век-

JJJG JJJG JJJG JJJG

тори AB, BC, CD, DA .

5. Заданочотиривектори aG = (−2, − 3, 0) , bG = (1, 3, − 4) , cG = (−2, 3, − 4)

JG

G

на площи-

та d = (36, 36, 72) . Знайти вектор rG

, що є проекцією вектора d

G

G

ну, визначену векторами a

і b , при напрямку проектування паралельному

вектору cG .

6. Три послідовні

вершини трапеції знаходяться

в

точках

них сторін, знаючи, що довжина основи AD дорівнює 12.

7. Задано три вектори

aG = (0, 3, − 4) ,

bG

= (0, − 3, 0)

і cG = (1, −1, −1) .

G

G

G

Знайти вектор d , перпендикулярний векторам

a

і b та напрямлений так,

G

G G

G

G G

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c і

a,b, d малиоднаковуорієнтацію.

G

Варіант №13

G

G

G

G

G

G

G

1. Задано три вектори: a

= − j

− 4k ,

b = −3i

+ 2 j ,

c

= 2 j . Знайти век-

G

G

G

G

G

G

G

= −48 .

тор x , який задовольняє умови: a x = 24, b

x

= −144, c x

2. Вектор yG перпендикулярний осі

Oz

і

вектору

aG = (12, −16, 7)

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

yG

= 10 ,

знайти координати

вектора yG .

ни D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

JJJG

G JJJG

G

G

G

век-

нює 68. Вважаючи, що AC

= a, BD = b , виразити через вектори a

і b

JJJG

JJJG JJJG

JJJG

тори AB,

BC, CD,

DA .

222

5. Задано чотири вектори aG = (−3, − 2, 2) , bG = (−4, 0, 1) , cG = (1, 0, 4)

наплощи-

G

G

ну, визначену векторами a

і b , при напрямку проектування паралельному

вектору cG .

7. Заданотривектори aG = (−3, − 2, − 2) ,

bG = (−1, − 2, 2) і cG = (2, − 4, − 3) .

G

G

і

G

Знайти вектор d , перпендикулярний векторам

a

b та напрямлений так,

G

G

G

G

G G

малиоднаковуорієнтацію.

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c і

a,b, d

Варіант №14

G

G

G

G

G

G

G

G

G

1. Задано три вектори: a = −i

, b = −i +

2k ,

c = i − 2 j

+ k . Знайти

G

G

G

G

G

G

G

= 0 .

вектор x , який задовольняє умови:

a

x =

12, b

x =

0, c

x

2. Вектор yG перпендикулярний осі

Oz і

вектору aG = (−14, − 48, 4)

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

yG

= 50 ,

знайти координати

вектора yG .

3. Об’єм тетраедра V = 2 ,

три його вершини знаходяться в точках

A(0, −1, 0) , B(1, − 2, − 2) , C(−1, − 4, 1) . Знайтикоординати четвертоїверши-

ни D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

JJJG

G

JJJG

G

G

G

нює 2. Вважаючи, що AC = a,

BD = b , виразити через вектори

a і

b век-

JJJG JJJG JJJG JJJG

тори AB, BC, CD, DA .

5. Заданочотиривектори aG = (3, − 2, 0) , bG = (3, 2, − 4) , cG = (−1, − 4, 2)

та dG = (−32, 32, 0) . Знайти вектор rG , що є проекцією вектора dG

на площи-

G

G

, при напрямку проектування паралельному

ну, визначену векторами a

і b

вектору cG .

223

7. Задано три вектори aG = (3, 1, −1) ,

bG = (−1, −1, 1) і

cG = (2, − 5, − 3) .

G

перпендикулярний векторам

G

G

Знайти вектор d ,

G

a

і b та напрямлений так,

G

G

G

G G

малиоднаковуорієнтацію.

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c і

a,b, d

Варіант №15

G

G

G

G

G

G

1. Задано

три

вектори:

G

G

a =

2i −

2 j

− k ,

b

= −3i − 3 j

− 5k ,

cG

= −6iG+ 4 Gj + 2kG .

Знайти вектор

xG ,

який задовольняє умови:

aG xG = 14 ,

G

G

G

G

= 14 .

b

x = −14

, c

x

вектору aG = (−27, − 36, 4)

2. Вектор

yG

перпендикулярний осі

Oz і

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

yG

= 45 ,

знайти координати

вектора yG .

A(−1, 0, 1) , B(0, −1, − 5) ,

C(0, 1, − 6) . Знайти координати четвертоївершини

D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.JJJG

до основи

JJJG

дорів-

4. У трапеції ABCD відношення основи

AD

BC

JJJG

G

JJJG

G

G

G

, виразити через вектори

век-

нює 1. Вважаючи, що AC = a,

BD = b

a

і b

JJJG

JJJG

JJJG

JJJG

тори AB,

BC, CD, DA .

5. Заданочотиривектори aG = (3, − 3, −1) , bG = (0, 1,

3) ,

cG = (−5, − 3, − 5)

та dG = (−156, 0, 52) . Знайтивектор rG , щоєпроекцієювектора dG

наплощи-

ну, визначену векторами

G

G

, при напрямку проектування паралельному

a

і b

вектору cG .

B(−6, − 3, 2) ,

C(−4, 1, 6) . Знайти четверту вершину D цієї трапеції, точку

перетину M її діагоналей та точку N перетину бічних сторін, знаючи, що

довжина основи AD дорівнює 12.

G

перпендикулярний векторам

G

G

Знайти вектор d ,

G

a

і b та напрямлений так,

G

G

G

G G

малиоднаковуорієнтацію.

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c і

a,b, d

224

2. Вектор yG перпендикулярний осі Oz і

вектору aG = (−135, −180, 0)

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

yG

= 75 , знайти координати

вектора

yG .

3. Об’єм тетраедра V = 5 ,

три його вершини знаходяться в точках

A(0, − 3, − 2) , B(1, − 2, 2) ,

C(−4, 4, −19) . Знайти координати четвертої вер-

шини D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

JJJG

G

JJJG

G

G

G

нює5. Вважаючи, що AC = a, BD = b , виразити черезвектори a

і b векто-

JJJG

JJJG JJJG JJJG

ри AB, BC, CD, DA .

5. Заданочотири вектори aG = (−2, 2, − 2) , bG = (0, −1, 2) , cG = (−4, 0, − 2)

JG

G

та d = (−12, 24, 24) . Знайти вектор rG , що є проекцією вектора

d на пло-

G

G

, принапрямкупроектуванняпаралельно-

щину, визначенувекторами a

і b

му вектору cG .

7. Задано три вектори aG = (− 6,

0, 0) , bG = (0, 0, − 4)

і cG = (−4, 3, 1) .

G

G

G

Знайти вектор d , перпендикулярний векторам

a

і b та напрямлений так,

G G G

G G

G

малиоднаковуорієнтацію.

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c

і a,b, d

G

Варіант №17

G

G

G

G

G

,

G

G

G

1. Заданотривектори: a

= −4i ,

b

= −4i −

2 j −

2k

c = −i

− 4 j . Знай-

G

G

G

= 0

,

G

G

= 0 ,

G

G

ти вектор x , який задовольняє умови:

a

x

b

x

c

x = −128 .

2. Вектор yG перпендикулярний осі

Oz і вектору aG = (−20, − 48, 7)

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

yG

= 13 ,

знайти координати

вектора yG .

225

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

JJJG

G JJJG

G

G

G

нює 92. Вважаючи, що AC = a, BD

= b , виразити через вектори

a і

b век-

JJJG JJJG JJJG JJJG

тори AB, BC, CD, DA .

5. Заданочотири вектори aG = (0, − 2, − 4) , bG = (3, − 2, − 4), cG = (−4, 4, 0)

JG

rG , що є проекцією вектора

G

та d = (192, 96, 96) . Знайти вектор

d на пло-

G

G

щину, визначенувекторами a

і b , принапрямкупроектуванняпаралельно-

му вектору cG .

6. Три послідовні вершини трапеції знаходяться в точках

A(6, 12, 0) ,

7. Заданотривектори aG = (2,

0, 4) ,

bG = (−2, − 2, 0) і

cG = (−4, − 3, −1) .

Знайти вектор

G

G

G

d , перпендикулярний векторам

a і

b та напрямлений так,

G

G G

G

G

G

малиоднаковуорієнтацію.

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c і

a,b, d

G

Варіант №18

G

G

G

G

G

G

G

1. Заданотри вектори:

G

G

G G

a = −2i

−3 j − k ,

b

= −4i

−3 j

− k

, c = i +

2 j

−3k .

Знайти вектор

G

, який задовольняє умови:

G

G

G

G

G

G

x

a

x

= −44, b x = −22, c

x = 22 .

2. Вектор

yG

перпендикулярний осі

Oz і вектору aG = (−55, − 300, 7)

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

yG

= 61 ,

знайти координати

вектора yG .

3. Об’єм тетраедра V = 7 , три його вершини знаходяться в точках

A(−2, − 3, − 2) ,

B(−1, 1, −1) ,

C(3, 0, 2) . Знайти координати четвертої вер-

шини D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

JJJG

G

JJJG

G

G

G

век-

нює 68. Вважаючи, що AC = a, BD

= b , виразити через вектори

a і b

JJJG

JJJG

JJJG

JJJG

тори AB,

BC,

CD,

DA .

bG

5. Заданочотири вектори aG = (2, − 3, − 3) ,

= (1, 0, − 2) , cG = (−6, − 3, −1)

JG

G

наплощи-

та d = (−42, 84, 42) . Знайтивектор rG , щоєпроекцієювектора d

G

G

, при напрямку проектування паралельному

ну, визначену векторами a і

b

вектору cG .

довжина основи AD дорівнює 12.

7. Заданотривектори aG = (0, −1, −1) , bG = (−2, 1, − 3) і

cG = (−1, −1, −1) .

G

G

G

та напрямлений так,

Знайти вектор d , перпендикулярний векторам

G

a

і b

G G G

і

G G

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c

a,b, d малиоднаковуорієнтацію.

G

Варіант №19

G

G

G

G

G

G

G

G G

G G

1. Заданотри вектори: a

= −i − j − 3k , b

= −i

−5 j

− 4k ,

c = −i −

2 j

+ 2k .

G

G

G

=

G

G

G

G

= −126 .

Знайтивектор x , якийзадовольняєумови:

a

x

105, b

x = −63, c

x

2. Вектор yG перпендикулярний осі

Oz

і

вектору aG = (144, − 60, 5)

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

yG

= 26 , знайти координати

вектора yG .

ни D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

JJJG

G JJJG

G

G

G

нює 11. Вважаючи, що AC

= a, BD = b , виразити через вектори

a

і b век-

JJJG JJJG JJJG JJJG

тори AB, BC, CD, DA .

5. Заданочотиривектори aG = (3, −1, − 4) , bG = (1, 0, − 4) , cG = (5, −1, − 6)

JG

G

наплощи-

та d = (−12, −12, 0) . Знайтивектор rG

, щоєпроекцієювектора d

G

G

ну, визначену векторами a

і b , при напрямку проектування паралельному

вектору cG .

6. Трипослідовні вершинитрапеціїзнаходятьсявточках A(20, − 6, − 28),

B(6, − 7, −14) , C(8, − 3, −10) . ЗнайтичетвертувершинуD цієїтрапеції, точ-

ку перетину M її діагоналей та точку N перетину бічних сторін, знаючи, що

довжина основи AD дорівнює 12.

7. Заданотривектори aG = (−3, −1, 0) , bG = (3, −1, − 4) і cG = (−3, − 2, − 3) .

G

G

G

Знайти вектор d , перпендикулярний векторам

a

і b та напрямлений так,

G G G

G G G

малиоднаковуорієнтацію.

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c

і a,b, d

227

Варіант №20

G

G

G

G

G

G

1.

G

G

G

G

Задано три вектори: a

= −3i − j

− k ,

b

= −i + j

, c = 4i

− 3k . Знай-

G

, який задовольняє умови:

G

G

G

G

G

G

= 32 .

ти вектор x

a

x = 16, b

x

= −48, c

x

2.

Вектор yG перпендикулярний осі Oz і

вектору aG = (−180, − 240, 4)

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

yG

= 60 ,

знайти координати

вектора

yG .

A(−4, 2, − 3) , B(−3, −1, 2) ,

C(−1, − 6, 11) . Знайти координати четвертої вер-

шини D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

JJJG

G JJJG

G

G

G

нює 54. Вважаючи, що AC

= a, BD = b

, виразити через вектори a

і b век-

JJJG JJJG JJJG

JJJG

тори AB, BC, CD, DA .

aG = (−3, − 3, 2) ,

bG = (−5, − 2, − 2) ,

5. Задано

чотири

вектори

7. Задано три вектори

aG = (−5, 1, − 4) ,

bG = (1,

3,

2)

і cG = (1, 0, − 2) .

G

G

G

та напрямлений так,

Знайти вектор d , перпендикулярний векторам

a і

b

G G

G

G G

G

малиоднаковуорієнтацію.

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c

і a, b, d

Варіант №21

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

1. Задано тривектори: a

= −2i − j

, b

= i − j + 2k

, c

= −4 j − k . Знай-

G

G

G

G

G

G

G

= 0 .

ти вектор x , який задовольняє умови:

a

x

= −19, b

x = −57, c

x

2. Вектор yG перпендикулярний осі Oz і вектору aG = (−72, − 210, 9)

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

yG

= 74 , знайти координати

вектора yG .

ни D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

AD

JJJG

G

JJJG

G

, виразити через вектори

G

G

век-

нює 67. Вважаючи, що AC

= a, BD

= b

a

і b

JJJG

JJJG

JJJG

JJJG

тори AB, BC, CD, DA .

5. Заданочотири вектори aG = (−1, −1, 0) , bG = (−4, 0, −1) , cG = (−3, − 3,− 2)

та dG = (−32, 0, − 32) . Знайти вектор rG ,

що є проекцією вектора dG

на пло-

G

G

щину, визначенувекторами a і b , принапрямкупроектуванняпаралельно-

му вектору cG .

6.

Три

послідовні

вершини

трапеції

знаходяться

в

точках

A(0, −10, − 20),

B(−8, − 5, −18) , C(−6, −1, − 14) . Знайти четверту вершину

D цієї трапеції, точку перетину M її діагоналей та точку N перетину бічних

сторін, знаючи, що довжина основи AD дорівнює 12.

7. Заданотривектори aG = (−5, −1, − 2) ,

bG

= (1, 3, − 2)

і cG = (2, − 3, − 2) .

Знайти вектор

G

, перпендикулярний векторам

G

і

G

та напрямлений так,

d

G

a

b

G

G G

G

G

малиоднаковуорієнтацію.

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c

і a, b, d

G

Варіант №22

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

1. Заданотривектори: a

= −2i

+ j + 2k ,

b

= i

+ 2 j

+ k

, c = −3i + 3 j

− 6k .

Знайти вектор

G

, який задовольняє умови:

G

G

G

G

= −204 ,

x

a

x

= −255, b

x

cG xG = 153 .

yG

вектору aG = (−36, − 48, 0)

2. Вектор

перпендикулярний осі Oz і

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

yG

= 10 , знайти координати

вектора yG .

3. Об’єм тетраедра V = 9 , три його вершини знаходяться в точках

A(−1, −1, − 2) ,

B(0, 0, −1) ,

C(0, 1, − 2) . Знайти координати четвертої вер-

шини D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

AD

JJJG

G

JJJG

G

, виразити через вектори

G

G

век-

нює 45. Вважаючи, що AC

= a, BD

= b

a

і b

JJJG

JJJG

JJJG

JJJG

тори AB,

BC,

CD,

DA .

229

5. Заданочотири вектори aG = (1, − 2, −1) , bG = (0, 1, − 2) , cG = (1, − 2, − 7)

та dG = (6, −12, 12) . Знайти вектор rG , що є проекцією вектора dG

на площи-

G

G

ну, визначену векторами a

і b , при напрямку проектування паралельному

вектору cG .

7. Задано три вектори aG = (1, − 2, 1) , bG = (1, − 2, −1)

і

cG = (1, − 5, −1) .

G

G

G

та напрямлений так,

Знайти вектор d , перпендикулярний векторам

G

a

і b

G G G

і

G

G

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c

a, b, d малиоднаковуорієнтацію.

Варіант №23

G

G

G

G

G

G G

G

G

G

G

,

,

1. Задано три вектори: a

= − j −

2k

b = i

− 2 j − k

c = 2i − j

− 2k .

G

G

G

G

G

=

G

G

Знайти вектор x , який задовольняє умови:

a

x

= −6, b

x

24, c

x = 30 .

2. Вектор yG перпендикулярний осі Oz і вектору aG = (−120, − 225, 10)

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

yG

= 51, знайти координати

вектора yG .

шини D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

JJJG

G JJJG

G

G

G

нює 51. Вважаючи, що AC

= a, BD = b , виразити через вектори

a і

b век-

JJJG JJJG JJJG JJJG

тори AB, BC, CD, DA .

5. Задано чотири вектори aG = (1, − 4, 1) , bG = (1, 0, − 4) , cG = (−3, − 4, 1)

та dG = (64, 256, 64) . Знайтивектор rG , щоєпроекцієювектора dG

наплощи-

G

G

ну, визначену векторами a

і b , при напрямку проектування паралельному

вектору cG .

230

7. Задано три вектори aG = (1, − 2, − 7) ,

bG = (−3, 0, 1)

і

cG = (−4, − 2, 1) .

G

G

G

та напрямлений так,

Знайти вектор d , перпендикулярний векторам

G

a

і b

G G

G

G

G

малиоднаковуорієнтацію.

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c і a,b, d

G

Варіант №24

G

G

G

G

G

G

G

G G

G

G

1. Заданотривектори: a

= −3i − j

− k ,

b

= −i

− 2 j − k

, c

= −2i − 2 j

− 2k .

G

, який задовольняє умови:

G

G

G

G

G

G

= 20 .

Знайти вектор x

a

x

= 12, b

x

= 16, c

x

2. Вектор

yG перпендикулярний осі

Oz

і

вектору

aG = (48, −14, 9)

утворює гострий кут з віссю Ox. Знаючи, що

yG

= 25 , знайти координати

вектора

yG .

ни D, якщо відомо, що вона знаходиться на осі Oy.

4. У трапеції ABCD відношення основи

JJJG

до основи

JJJG

дорів-

JJJG

G JJJG

G

G

G

нює 60. Вважаючи, що AC

= a, BD = b , виразити через вектори

a

і b век-

JJJG JJJG JJJG JJJG

тори AB, BC, CD, DA .

5. Заданочотири вектори aG = (−1, − 2, 3) , bG = (−1,−1,−1) ,

cG = (−3, − 6, 5)

та dG = (−8, − 4, 8) . Знайти вектор rG , щоєпроекцієювектора dG

наплощину,

G

G

визначену векторами a і

b , при напрямку проектування паралельному

вектору cG .

довжина основи AD дорівнює 12.

bG = (−3, − 2, 1)

7. Задано три вектори aG = (3, 2, − 3) ,

і

cG = (4, 2, − 6) .

Знайти вектор

G

G

G

та напрямлений так,

d , перпендикулярний векторам

G

a

і b

G G G

G

G

малиоднаковуорієнтацію.

щобупорядкованітрійкивекторів a, b, c

і a, b, d

G

Варіант №25

G G

G

G

G

G

G

G G

G G

1. Задано три вектори: a

= −2i + j

+ k

,

b =

3i

− j + 3k ,

c

= 4i

−3 j −

2k .

Знайти вектор

G

G

G

G

G

G

G

= −9 .

x , який задовольняє умови:

a

x

= 27, b

x =

9, c

x