Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский национальный университет радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ВМ-1-4 / visshaya_matematika_chast_IV

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

10.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 5618 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

§1. Індивідуальне завдання 4.1	171

y′′ − y′ = x2 + x +1 .

y′′ + 4 y =

y′′′ + y′ = 0,

y(0) = 2,

y′(0) = 0,

y′′(0) = −1 .

sin 2

Варіант №4

(1+ y)dx − (1− x)dy = 0 .

(xy′ − y) arctg

= x .

xy′ + y = −xe−x2 .

y′′ + y′tg x = sin 2x .

y′′ + y′ = 2x −1 .

y′′ − 2 y′

+ y =

4 − x2

d 5 y

−

= 0, y(0) = 0, y′(0) = 1,

y′′(0) = 0,

y′′′(0) = 1, y(4) (0) = 2 .

dx5

Варіант №5

y′ =

x +1

(x2 + xy + y2 )dx − x2 dy = 0 .

y +1

y′ − y tg x = ctg x .

2xy′′ = y′ .

y′′ − y′ = x .

y′′ + y =

cos3 x

y′′′ + y′′ − 5 y′ + 3y = 0,

y(0) = 0,

y′(0) = 1,

y′′(0) = −2 .

Варіант №6

(x2 y − x2 )dy = (xy2 + y2 )dx .

( y2 − 2xy) dx + x2dy = 0 .

x2 y′ + xy = −1.

2( y′)2 = ( y −1) y′′ .

y′′ + 4y′ = e

′′

+ y =

+ 3sin 2x .

cos 2x .

y′′′ + 3y′′ + 3y′ + y = 0,

y(0) = −1,

y′(0) = 2,

y′′(0) = 3 .

Варіант №7

sin x dy − y ln y dx = 0 .

xdy − (

x2 + y2 + y)dx = 0 .

xy′ + (x +1) y = 3x2e−x .

yy′′ + ( y′)2 = 0 .

172	Глава 4. Диференціальні рівняння. Ряди

y′′ + 3y′ + 2 y = 2 cos 2x .

y′′ + 5 y′ + 6 y =

1 + e2 x

y′′′ + 2 y′′ + 5 y′ = 0,

y(0) = −1,

y′(0) = 2, y′′(0) = 0 .

Варіант №8

(1+ 2 y)x + (1+ x2 ) y′ = 0 .

( y − x)dx + ( y + x)dy = 0 .

y′ + 2xy = 2x2e− x2 .

yy′′ − ( y′)2 = 0 .

y′′ −12y′ + 36 y = 14e6 x .

y′′ − y′ =

+ ex

d 4 y

d 2 y

′

′′

= −9,

′′′

dx4

+10 dx2 + 9 y = 0, y(0) = 1, y (0) = 3,

y (0)

y (0) = −27 .

Варіант №9

( y2 −1)(x + 2)dx − x2 ydy = 0 .

xdy − ydx =

x2 + y2 dx .

2 y

y′ −

= (x +1)3 .

y′′tg y = 2 ( y′)2 .

x +1

y′′ − 2y = xe−x .

y′′ + 4 y′+ 4 y = e−2 x ln x .

y′′′ − 7 y′′ + 6 y′ = 0,

y(0) = 0,

y′(0) = 0, y′′(0) = 30 .

Варіант №10

x 1+ y2 dx + y 1+ x2 dy = 0 .

(x + y)dx + xdy = 0 .

(x +1) y′ + y = x3 + x2 .

2 yy′′ = ( y′)2 .

y′′ + y = x + 2ex .

y′′ − y′ = e2x cos (ex ) .

d 4 y

d 2 y

′

′′

′′′

dx4

+ 5 dx2 + 4 y = 0, y(0) =

y (0) = 4,

y (0)

= −1,

y (0)

= −16 .

Варіант №11

(xy2 + x)dx + ( y − x2 y)dy = 0 .

x2 + y2 − 2xyy′ = 0 .

xy′ + y = sin x .

xy′′ − y′ = 0 .

y′′ −

6y′ +10y = 51e

− x

′′

+ 4 y

= cos 2x .

§1. Індивідуальне завдання 4.1

173

d 5 y

− 9

d 3 y

= 0, y(0) = 1, y′(0) = −1,

y′′(0) = y′′′(0) = y(4) (0) = 0 .

dx5

dx3

Варіант №12

(1+ x2 ) y3dx − (1+ y2 )x3dy = 0 .

x2 y′ = y2 + xy .

(1− x2 ) y′+ xy = 1.

xy′′ − y′ = x2 .

y′′ − 3 y′ + 2 y = 3 cos x +19 sin x .

y′′ + 4 y = ctg 2x .

y′′′ − y′′ − y′+ y = 0, y(0) = −1, y′(0) = 0,

y′′(0) = 13 .

Варіант №13

(x +1) y − x2 +1 ( y3 −1) y′ = 0 .

y′ =

−

xy′ − 2y =

′′

′

+1 .

y tg x = y

y′′ +16 y = 8 cos 4x .

y′′ + y = tg x .

y′′′ − y′′ = 0, y(0) = y′(0) = 0, y′′(0) = −1 .

Варіант №14

xy′ − y ln y = 0 .

xyy′ = y2 + 2x2 .

y′ − y =

x( y′′ +1) + y′ = 0 .

y′′ − 7 y′ +12y = 3e4 x .

y′′ + y = ctg x .

y′′′ + 2 y′′ + y′ = 0, y(0) = 0, y′(0) = 2,

y′′(0) = −3 .

Варіант №15

xy3dx + (x2 −1)( y2 +1)dy = 0 .

(x − y) ydx = x2 dy .

xy′ − 2y = −x2 .

y′′(ex +1) + y′ = 0 .

y′′ − 2y′ =

′′

′

6 +12x − 24x

− 2 y

+ y = x .

y′′′ + y′ = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1, y′′(0) = 1 .

Варіант №16

ctg y dx − x ln x dy = 0 .

2x3 y′ = 2x2 y − y3 .

174	Глава 4. Диференціальні рівняння. Ряди

y′ + 2xy = xe−x2 .

xy′′ + y′ = x2 +1 .

y′′ + 3y′ = 10 − 6x .

y′′ + 2 y′ + y =

e−x

y′′′ + y′′ − 4 y′ − 4 y = 0,

y(0) = y′(0) = 0,

y′′(0) = 12 .

Варіант №17

xy − (x2 +1) y′ = 0 .

(x + 2 y)dx − xdy = 0 .

y′ − 3x2 y = x2ex3 .

(1+ x2 ) y′′ − 2xy′ = 0 .

y′′ + 6y′ + 9y = 72e

′′

+ y = sin x .

y′′′ + y′′ = 0, y(0) = 0,

y′(0) = 1,

y′′(0) = −1 .

Варіант №18

ey ( y′ +1) = 1 .

y2 = (xy − x2 ) y′ .

y′ − 2xy = 3 .

′′

′

= 2 .

y ctg x + y

y′′ −14 y′ + 49 y = 144 sin 7x .

y′′ − y = th x .

d 4 y

′

′′

′′′

dx4 − y = 0, y(0)

= −4 .

= y (0)

= y (0) = 0,

(0)

Варіант №19

y′ + y = 0 .

xy′ −

y =

x tg

y′cos x + y sin x = 1 .

x2 y′′ = ( y′)2 .

y′′ + 9 y = 10e3x .

y′′ − 3y′ + 2 y = 2x .

y′′′ + 3y′′ + 2 y′ = 0,

y(0) = y′(0) = 0, y′′(0) = 2 .

Варіант №20

yy′ + x = 0 .

(x2 + y2 )dx − xydy = 0 .

y′ + y = e−x .

xy′′ − y′− x2ex = 0 .

y′′ +16y = 80e2 x .

y′′ − y = sh x .

§1. Індивідуальне завдання 4.1	175

7.	y′′′ + 9 y′ = 0, y(0) = 0, y′(0) = 9,	y′′(0) = −18 .
	Варіант №21
1.	3 + y2 + 1− x2 yy′ = 0 .	2.	xy′ =			3y3 + 8x2 y				.
1.	3 + y2 + 1− x2 yy′ = 0 .	2.	xy′ =							.
						2 y2 + 4x2
3.	y′ + y = xy3 .	4.	x5 y′′′ + x4 y′′ = 1 .
5.	y′′ + y′ = 5x + 3 .	6.	y′′	+ 4 y′ + 4 y =					e−2 x
														.
								cos2						.
								cos2				x
7.	y′′′ − 6 y′′ +12 y′ − 8 y = 0, y(0) = 1,	y′(0) = 0,		y′′(0) = 4 .
	Варіант №22
1.	(ex + 8) dy − yex dx = 0 .	2.	y′ =		x2 + 2xy − y2						.
1.	(ex + 8) dy − yex dx = 0 .	2.	y′ =								.
						2x2 − 2xy
3.	y′ + xy = x3 y3 .	4.	xy′′ + y′ = ln x .
5.	y′′ − 2 y′ − 3y = (x + 2) e3x .	6.	y′′ + 5 y′ + 6 y =									1			.
5.	y′′ − 2 y′ − 3y = (x + 2) e3x .	6.	y′′ + 5 y′ + 6 y =				(e2x +1)3 2								.
							(e2x +1)3 2
7.	y′′′ − y′′ − 2 y′ = 0, y(0) = 4, y′(0) = −4, y′′(0) = −2 .
	Варіант №23
1.	xy′ = y + y2 .	2.	xy′ = 2 3x2 + y2 + y .
3.	y′ + y = x y .	4.	2 yy′′ = ( y′)2 +1 .
5.	y′′ + 4 y′ + 5 y = 2 cos x − sin x .	6.	y′′	− 3y′ + 2 y =					e2x				.
5.	y′′ + 4 y′ + 5 y = 2 cos x − sin x .	6.	y′′	− 3y′ + 2 y =									.
							ex +1
7.	y′′′ + 3y′′ + 3y′ + y = 0, y(0) = −1,	y′(0) = 2,		y′′(0) = 3 .
	Варіант №24
1.	x 4 + y2 dx + y 1+ x2 dy = 0 .	2.	2x2 y′ = x2 + y2 .
3.	y′ − 2xy = x3ex2 .	4.	y′′ = 1− ( y′)2 .
5.	y′′ + 4 y = 5sin 2x .	6.	y′′ + 2 y′ + y = 3e− x									x +1 .
7.	y′′′ − 6 y′′ +11y′ − 6 y = 0, y(0) = 2,	y′(0) = 6,		y′′(0) = 20 .

176	Глава 4. Диференціальні рівняння. Ряди

Варіант №25

1. ln cos y dx + x tg y dy = 0 .

3. y′ =	1	.
	2x − y

2. y′ = 2x + 3y . 3x + 2 y

4. xy′′′ − y′′ + 1x = 0 .

5.	y′′ − 2 y′+ y = 3ex + x +1 .	6. y′′ + 2 y′ + y = x e− x .
7.	y′′′ − 6 y′′ +13y′ = 0, y(0) = 6,	y′(0) = −1, y′′(0) = −19 .

§2. Індивідуальне завдання 4.2

Числові, функціональні та степеневі ряди

[Ч.3, гл.2, §1, приклади 1 – 12, §2, приклади 1 – 14]

Завдання: для знакододатних числових рядів з’ясувати питання збіжності, для знакозмінних – питання абсолютної або умовної збіжності. Для функціональних та степеневих рядів знайти область збіжності.

Варіанти завдань Варіант №1

	∞	1					∞				1
1.	∑	1		.		2.	∑	(−1)n			1		.
1.	∑			.		2.	∑	(−1)n		6n −1			.
	n=2 n2 − n						n=1			6n −1
	∞						∞	(x −1)2n
3.	∑	n!(x − 5)n .				4.	∑				.
3.	∑	n!(x − 5)n .				4.	∑	n 9	n		.
	n=1						n=1	n 9
5.	Задано			ряд		1 + x + x2 + x3 + ... + xn + ... . Знайти суму ряду
1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ... + nxn−1 + ... .
							Варіант №2
	∞	1 + n5 2					∞	(−1)n+1
1.	∑		6			2.	∑
1.				.		2.				.
	n=1 1 + n						n=1	5n −1
3.	∑∞	8n sin		x	.	4.	∑∞	(x − 2)n				.
3.	∑∞	8n sin			.	4.	∑∞					.
	n=1		9n				n=1 (2n −1)2n

§2. Індивідуальне завдання 4.2	177

5. Довести рівномірну збіжність ряду ∑∞

cos 4nx

n=1 (2n)!

Варіант №3

∞

2n +1

∞

∑

2. ∑

2n +1

n=1 n2 (n +1)2

n=1

∞

(−1)n−1

∞

(x2 − 5)n

∑

4. ∑

∑

n n!

n=1

Варіант №4

∞	1
1. ∑			.

n=2 n 3 ln2 n
3. ∑∞	(−1)n+1	.

n=1 (2n −1)3

5. Задопомогоюряду

1 − 13 + 15 − 17 + ... .

2.	∑∞	sin	1	tg		1	.
			n			n
	n=1
	∞	n			x −1				n
4.	∑
								.
					2
	n=1 n +1

1− x2 + x4 − x6 + ... знайтисуму числовогоряду

Варіант №5

1.	∑∞	5n	.					2.	∑∞	3n n!		.

	n=1 n5								n=1 nn
3.	∑∞	sin n		.				4.	∑∞	x2n					.	5.	∑∞	(x − 2)n	.

	n=1 n6								n=1 1+ x2n+1								n=1	n2
								Варіант №6
1.	∑∞	1					.	2.	∑∞	(n!)2			.

	n=1 3n + n								n=1 (2n)!
3.	∑∞	cos n			.			4.	∑∞	n	.					5.	∑∞	2n−1 xn−1		.

	n=1 n4								n=1 xn								n=1 (2n −1)2 3n−1
								Варіант №7
1.	∑∞		n			.		2.	∑∞	ln(n +1)				.
										2
	n=1 25n +1								n=1 (n +1)

178	Глава 4. Диференціальні рівняння. Ряди

3.	∑∞	(−1)n−1					.			4.	∑∞			1							.		5. ∑∞	(x − 3)n		.
3.	∑∞						.			4.	∑∞										.		5. ∑∞			.
	n=1		n!								n=1 n!(x + 3)n												n=1 n 5n
											Варіант №8
	∞	7n		+1 n							∞			n5
1.	∑								.	2.	∑							.
1.	∑								.	2.	∑	2	n	+ 3			n	.
	n=1	8n		−1							n=1	2		+ 3
3.	∑∞	(−1)n			.					4.	∑∞	(x + 8)3n								.
3.	∑∞				.					4.	∑∞									.
	n=1 n		n								n=1			n2
5.	Довести рівномірну збіжність ряду ∑∞																						cos 2nx		.
5.	Довести рівномірну збіжність ряду ∑∞																								.
																						n=1	17n
											Варіант №9
1.	∑∞	n	.							2.	∑∞	(−1)n				.
1.	∑∞		.							2.	∑∞					.
	n=1 7n										n=1 4 n5
	∞			n							∞
3. ∑				n				.		4.	∑ 102n (2x2 − 3)2n−1 .
3. ∑		(x − 2)n						.		4.	∑ 102n (2x2 − 3)2n−1 .
	n=1	(x − 2)n									n=1
5.	Розкласти функцію										f (x) =				1			в ряд Тейлора в околі точки x = −6
5.	Розкласти функцію										f (x) =							в ряд Тейлора в околі точки x = −6
															x												0
															x
та знайти область збіжності отриманого ряду.
											Варіант №10
	∞	n		n					n2		∞	2 5 8 11 14 ... (6n − 7)(6n − 4)
1.	∑	3							.	2.	∑																.
1.	∑	3		n +					.	2.	∑	1 5 9 13 17 ... (8n −11)(8n − 7)															.
	n=1			n +			1				n=1	1 5 9 13 17 ... (8n −11)(8n − 7)
3.	∑∞	(−1)n				.				4.	∑∞			xn					.				5. ∑∞	(3 − 2x2 )n2				.
3.	∑∞					.				4.	∑∞								.				5. ∑∞					.
	n=1 n n9										n=1 5n + 6n												n=1		nn
											Варіант №11
1.	∑∞		1					.		2.	∑∞	(−1)n							1			.
1.	∑∞							.		2.	∑∞	(−1)n						9n −1				.
	n=1 n (n + 5)										n=1							9n −1
	∞										∞			xn
3.	∑	(0, 5)nx .								4.	∑								.
3.	∑	(0, 5)nx .								4.	∑								.
	n=1										n=1 n (n +1)

§2. Індивідуальне завдання 4.2	179

5. Розкластифункцію y = cos	x	−	π	воколіточки	x	=	π	врядТей-

	2		4			2

лора та знайти область збіжності отриманого ряду.

Варіант №12

∑∞

+ 9)

n=1 n5 (n3

n=1 n!

∑∞

(−1)n

∑∞

2n sinn x

∑∞

(x +1)n

n=1

n n

n=1

n=1 n 2n

Варіант №13

∞

n+1

+ 4

∑

(−1)

n=1

n(n + 9)

n=1

3n +1

∞

∑

(−1)n

∑

9n −1

(2n −1)x

n=1

Варіант №14

∑∞

n2 +1

∑∞

(−1)n−1

1 4 7 ... (3n − 2)

n=1 n3 + 3n −1

x2n−1

n=1 5n

n=1

7 9 11 ... (2n + 5)

∞

4. ∑

(−1)n+1

∑

nn (x + 7)n .

(2n −1)(2n −1)!

n=1

Варіант №15

∞

1 4 9

...

∑

1 3 5 7 9

... (4n − 3)

n=1

3n + n

n=1

∑∞

(−1)n tg

∑∞

(−1)n+1

∑∞

(nx)n .

nln x

n=1

9n n

n=1

Варіант №16

∞

n+1

n + 4

∑

(−1)

n=1

n (n3 + 5)

n=1

(2n)!

n=1

∑∞

(−1)n−1

∑∞

(−1)n+1

n=1

n 3n (x − 5)n

n=1

180	Глава 4. Диференціальні рівняння. Ряди

Варіант №17

∞3n−1

1.∑n=1 100(n −1) +1 .

3.	∑∞	(−1)n+1		n3			.

	n=1			2n
	∞	1
1.	∑							.
		2n (3n −			1)
	n=1
3.	∑∞	(−1)n	lg n			.

	n=1		n

	∞	n		n			n2
2.	∑
		3				.

	n=1		n +1
4.	∑∞	(15 − x2 )n .
	n=1
Варіант №18
2.	∑∞	4n − 3			.

	n=1	n 3n
4.	∑∞	lgn x		.

	n=1	n

Варіант №19

∑∞ (x +1)3n 5. n=1 n(2n +1) .

5. ∑∞ xn .

n=1 n2

1. ∑∞

n=1

3. ∑∞

n=1

1. ∑∞

n=1

3. ∑∞

n=1

2n (3n + 7)

(−1)n 3n + 100 n+

8n 1

n (7n + 5)

(−1)n tg 1n .

∑∞

(n!)2

n=1 2n2

. 4.

∑∞

. 5. ∑∞

(x + 2)n

n=1 (n + 2)(3x −1)n

n=1 n (5n +1)

Варіант №20

∑∞

2n n!

n=1

∞

n!(x + 3)n

∑

3 sin

5. ∑

n=1

Варіант №21

1.	∑∞	5n 3 n2	.		2.	∑∞	(−1)n+1	5n	.
	n=1	(n +1)!				n=1		9n2 +1
	∞	n2 +1				∞
3.	∑			.	4.	∑	42n (3x + 2)2n−1 .
3.	∑	5n (x + 4)n		.	4.	∑	42n (3x + 2)2n−1 .
	n=1	5n (x + 4)n				n=1

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 5618 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>