§ 3.2. Магнитное поле движущихся зарядов. Закон Био-Савара-Лапласа.

Результаты экспериментального исследования действия тока на магнитную стрелку были доложены на заседании Парижской Академии Био и Саваром 30 сентября 1820 г. В математическую форму элементарного взаимодействия между элементом тока и напряженностью поля в точке облек этот закон Лаплас.

Постановка вопроса такова. Есть заряд , движущийся со скоростью. Он создает магнитное поле(рис.3.3). Необходимо найти его величину в точкеА. Экспериментально было установлено, что:

, (3.12)

где постоянная зависит от системы единиц. Если, то:

- (3.13)

закон Био-Савара-Лапласа. В законе - элемент длины проводника с током;- радиус-вектор точки, в которой измеряется магнитное поле.

По принципу суперпозиции:

. (3.14)

Заметим, что этот закон является своеобразным двойником закона Кулона в электростатике: напряженность поля обратно пропорциональна квадрату расстояния до точки наблюдения.

Примеры.

1. Определить магнитное поле проводника, по которому течет ток величины (прямого тока) в точке, удаленной на расстояние от него(рис.3.4). Воспользуемся (3.13), где угол:

.

Вектор направлен“от нас” в точке измерения.

. (3.15)

Так как ; ;, то:

. (3.16)

Силовые линии представляют собой окружности (направление определяется по правилу буравчика).

2. Определить величину магнитной индукции на оси витка с током в форме окружности радиуса . По витку течет ток(рис.3.5).

По (3.13) векторы

направлены в точке оси z вдоль образующих конуса. Нормальные компоненты вектора ‑ его проекции на направление, перпендикулярное осиz ‑ при суммировании взаимно скомпесируются, останутся лишь тангенциальные компоненты (проекции на осьz):

;

. (3.17)

В центре витка:

. (3.18)

Зависимость показана на рис.3.6.

При

, (3.19)

где - магнитный момент витка. В СИ:[М]=Ам².

Виток, имеющий магнитный момент, создает на оси витка поле

, перпендикулярное плоскости витка и совпадающее по направлению с моментом . В отличие от электрического поля кольца, по другую сторону витка векторне изменяет направление (см. для сравнения рис.1.4); направлениезависит лишь от направления тока (рис.3.6). Поэтому - полярный вектор, а – аксиальный.

Общая формула для в любой точке пространства с радиусом - вектором :

. (3.20)

Здесь

- единичный вектор вдоль . На рис.3.7 и 3.8. показаны силовые линии электрического диполя и витка с током. Видно, что поле витка с током во многом выглядит похожим на поле электрического диполя.

Поэтому Ампером было введено понятие “магнитного диполя”, который представлял собой виток с током, имеющий магнитный момент: .

3. Найти величину индукции магнитного поля соленоида длиной с числом витков, по которому течет ток(рис.3.9).

В основу расчета положим формулу (3.17) для витка с током. Плотность намотки

. На длине течет ток. Начало отсчета - в центре соленоида.

, (3.21)

где - координата точки, в которой измеряется индукция.

При . (3.22)

В центре соленоида , где .

§ 3.3. Основные законы магнитного поля.

Для электрического поля в вакууме были выведены две важнейшие теоремы:

-теорема Гаусса ,

-теорема о циркуляции .

Найдем аналогичные соотношения для .

Рассмотрим магнитный поток через произвольную замкнутую поверхность. Пусть ток

направлен к нам, перпендикулярно плоскости рисунка. Силовые линии – окружности, части которых приведены на рис.3.10. Нарисуем произвольную замкнутую поверхность. Выберем на ней элементарную трубку . Потоки через сеченияиравны и противоположны по знаку. Общий поток через трубку равен нулю. Всю поверхность можно разбить на такие трубки, то есть:

. (3.23)

Это теорема Гаусса для вектора . Из соотношения(3.23) следует, что магнитные заряды отсутствуют. Линии не имеют начала и конца, они либо замкнуты, либо уходят на бесконечность.

Сравнение с теоремой Гаусса для электрического поля приводит к возникновению вопроса о магнитных зарядах. В качестве магнитного заряда можно рассматривать иполюса магнитного диполя. Квантуются ли магнитные заряды, неизвестно. Это незнание следует из невозможности выделения изолированных полюсов: магнитные полюса существуют в природе лишь в виде диполей.

В 1931 г. Дирак выдвинул теоретическое предположение в пользу возможности существования квантованного магнитного заряда (монополя), величина которого связана с зарядом электрона как: . Предполагалось, что существует элементарная частица, подобная электрону, несущая магнитный заряд. При этом должно выполняться следующее соотношение масс:

.

Экспериментального доказательства существованию монополя до сих пор нет.

Теперь рассмотрим теорему о циркуляции для

. Будем исходить из выражения (3.16), полученного для индукции магнитного поля тока, текущего по бесконечному прямолинейному проводнику (рис.3.11). Силовые линии – концентрические окружности с центром на линии токов. Величина :

Вычислим по произвольному контуру, лежащему в плоскости, содержащей силовые линии.

; ;

, (3.24)

так как . Если не охватывает ток, то, как видно из рис.3.12:

.

Итак:

При большом числе токов в контуре, охватывающем часть из них, в силу принципа суперпозиции в каждой точке.

. (3.25)

В общем случае, теорема о циркуляции вектора , илизакон полного тока, записывается:

, (3.26)

где - полный ток (или сумма токов), охватываемый контуром. Выведем его в дифференциальной форме. Учтем, что:

;

;

, (3.27)

или

. (3.28)

Это - дифференциальная форма закона полного тока. В такой форме он имеет локальный характер и справедлив в любой точке.

Из закона о циркуляции следует, что магнитное поле не потенциально. Так как силовые линии поля замкнуты, то оно является вихревым.

Следующие четыре уравнения для совместно носят название уравнений Максвелла для вакуума:

; (3.29)

. (3.30)

Физический смысл этих уравнений таков.

• Уравнения (3.29) описывают тот факт, что силовые линии электрического поля начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных; силовые линии магнитного поля замкнуты (поле вихревое).

• Уравнения (3.30) показывают, что электростатическое поле потенциально; магнитное поле, создаваемое токами (движущимися зарядами), не потенциальное, вихревое.

Сравним еще раз также формулы для электрического и магнитного диполей и полей на их оси:

(3.31)

Видно, что магнитные и электрические диполи ведут себя одинаково. Почему? Потому что при и , то есть вдали от зарядов и токов, уравнения Максвелла одинаковы (правые частииобоих векторов равны нулю). Но физически источники этих полейразличны: циркулирующий ток, пара зарядов.

Примеры.

1. По проводу круглого сечения радиуса течет ток плотности. Найти.

Используем теорему о циркуляции вектора (3.26):

Выберем контур так, чтобы он проходил по силовой линии магнитного поля (в данной задаче – это окружность). Рассмотрим два случая.

1. Радиус контура . Ток внутри контура. Тогда:

. (3.32 а)

В векторной форме:

.

2. Радиус контура

3. . Так как ток течет лишь по сечению провода, то .

В векторной форме:

. (3.32 б)

График зависимости приведен на рис.3.13.

2. Найти индукцию магнитного поля тороида (и - радиусы).

Силовые линии – окружности, центр которых в центре тора. Ясно, что там, где нет витков, то есть при , . При

. (3.33)

При : ,так как ток пересекает площадь контура дважды в различных направлениях.