Методичка по электричеству / Электричество лекции / 10

7

4. Как зависит , если принять за основу формулу Друде?

В формуле зависит от температуры лишь одна характеристика – длина свободного пробега. Экспериментально для меди получены следующие значения при температурах 300 К и 4 К:

.

Видно, что с уменьшением температуры длина свободного пробега увеличивается. Физический смысл такой зависимости предельно прозрачен – уменьшение вероятности столкновения электрона с колеблющимися атомами решетки. Функционально зависимость электропроводности от температуры такова:

при низких температурах: ;

при высоких температурах: .

На рис.5.15 приведена зависимость относительного сопротивления меди, алюминия и золота от относительной температуры (

- сопротивление при температуре Дебая, - температура Дебая).

§ 5.4 Металлы и полупроводники.

Из выше рассмотренного ясно, что в зависимости от того, где расположится уровень Ферми (внутри разрешенной зоны энергий или в запрещенной зоне), заполнение зон будет различным.

Различие между металлами и диэлектриками (полупроводниками) связано с заполнением зон. Если энергия Ферми находится внутри нижней (валентной) зоны на рис.5.16, то эта зона заполнена не полностью а верхняя зона полностью свободна. Если зона заполнена не полностью, то в ней есть свободные уровни, на которые под действием электрического поля могут перейти электроны, значит такое вещество является проводником (металлом). Проводимость осуществляется электронами в валентной зоне по схеме, описанной выше (см.рис.5.12).

Если энергия Ферми

находится внутри запрещенной зоны (рис.5.17), то валентная зона заполнена полностью, а верхняя так же, как и в предыдущем случае, полностью свободна. При наложении электрического поля движение электрона невозможно, так как невозможен его переход с уровня на уровень – все уровни энергии заняты. Значит, невозможно возникновение электрического тока в цепи с веществом, имеющим такое электрическое строение.

Таким образом, если нижняя зона заполнена полностью, а верхняя полностью пуста, то кристалл является диэлектриком: движение электронов невозможно из-за отсутствия свободных уровней. Нижняя полностью занятая зона называется валентной, верхняя, полностью свободная, - зоной проводимости.

Чтобы в таких веществах появилось движение электронов, необходима активация электронов – переброс их в свободную (пустую) зону через запрещенный интервал - это возможно сделать с помощью тепловой энергии. В зависимости от ширины запрещенной зоны зонной структуры, представленной рис.5.17, вещества делятся на диэлектрики и полупроводники. Для диэлектриков  эВ и поэтому переброс электронов в пустую верхнюю зону с помощью тепловой энергии не возможен, так как при К. Для полупроводников эВ.

При число электронов в зоне проводимости (верхней зоне) увеличивается экспоненциально:

. (5.28)

Из формулы Друде в виде (5.8) следует, что электропроводность:

. (5.29)

Тогда электрическое сопротивление:

. (5.30)

Из (5.29) видно, что увеличивается с ростом температуры экспоненциально за счет роста концентрации электронов в зоне проводимости. Следует отметить, что в валентной зоне при этом также появляются вакантные места (дырки), которые движутся (переходят с уровня на уровень). Рассмотренный механизм характерен для собственной проводимости полупроводников, таких как германий, селен, кремний.

Рассмотрим теперь механизм электропроводности примесных полупроводников. Так, добавление к чистому кремнию всего 0.001 атомного процента фосфора увеличивает электропроводность в 10⁵ раз. Объяснить это можно рассматривая расположение уровней примеси относительно энергетических зон полупроводника. Для примесных полупроводников уровни примесей могут быть расположены у дна зоны проводимости (донорная примесь n) или у вершины валентной зоны (акцепторная примесь p). Ширина запрещенной зоны значительно превышает интервал (рис.5.18), отделяющий примесный уровень от дна зоны проводимости или верхушки валентной зоны: , Поэтому вследствие:

(5.29’)

активация электронов происходит при меньших температурах, чем для собственного полупроводника. Носителями электрического тока являются электроны в зоне проводимости для проводника n–типа и дырки в валентной зоне для проводника p–типа.

Величина

для собственного полупроводника, - для примесного. На рис.5.19 представлены зависимости электропроводности (в логарифмическом масштабе) от обратной температуры для оксида меди с различным недостатком кислорода (примесный полупроводник) , где . Видно, что зависимость является линейной, как и должно быть по формуле (5.29’). Излом на этой зависимости отделяет области собственной и примесной проводимости. Примесная проводимость имеет меньшую энергию активации (угол между прямой и осью абсцисс уменьшается) и активируется при меньших температурах (больших ), чем собственная проводимость.

§ 5.5 Термоэлектрические явления.

Испарение электронов с поверхности металлов называется термоэлектронной эмиссией.

Рассмотрим причины и условия этого явления. Электроны в металле и снаружи рассмотрим как два состояния электронного газа, находящегося в равновесии при определенных условиях. Потенциальная энергия электронов в металле меньше, чем снаружи. Зависимость потенциальной энергии электронов в металле от координаты , начало которой отсчитывается от поверхности металла, представлена в виде графика на рис.5.20. Известно, что все уровни энергии до (энергии Ферми) заняты. Следовательно, чтобы удалить из металла электроны, имеющие энергию, близкую , необходимо затратить какую-то энергию , где - работа выхода электрона из металла. ; , т.е. .

Вне металла имеет место функция распределения:

, (5.31)

где - кинетическая энергия электрона. Это следует из (5.23) при :

. (5.32)

Так как и , то . Из (5.31) видно, что вне металла осуществляется распределение электронов по энергиям не по статистике Ферми-Дирака, а по Больцману. Этого следовало ожидать, т.к. из металла могут вылетать лишь электроны в “хвосте” , где зависимость такая же, как в статистике Больцмана (см.рис.5.9).

Нужно подсчитать число электронов , вылетающих из единицы объема металла при данной температуре в вакуум. Для этого необходимо знать число электронов по статистике Больцмана в интервале импульсов от от и проинтегрировать от 0 до это значение. При этом изменяется непрерывно. В фазовом пространстве электроны, имеющие импульс, величина которого лежит в промежутке от от , должны занимать объем в шаровом слое радиуса шириной : . Объем одной элементарной ячейки для электрона в  - пространстве: (следствие принципа неопределенностей). Тогда число электронов в интервале с учетом функции распределения (5.31):

. (5.33)

Тогда:

. (5.34)

Как и ранее (§ 5.3), множитель “2” появляется вследствие учета того факта, что в каждой элементарной ячейке могут находиться два электрона с противоположной ориентацией спина. Из (5.34) следует, что:

. (5.35)

Сведем интеграл к интегралу Пуассона введением следующей замены: . Тогда . Принимая во внимание, что , получаем:

(5.36)

или

,

т.е. концентрация электронов, испарившихся с поверхности металла, растет с увеличением температуры.

Вычислим ток эмиссии: . Нужно учесть, что скорость также зависит от температуры:

; .

Тогда ток эмиссии:

- (5.37)

Это формула Ричардсона (1903 г.) – Дешмана (1923 г.). Оба отмечены Нобелевской премией в 1928 г. Влияние экспоненциальной зависимости от температуры иллюстрируют следующие величины тока для W:

для W: при 1000 К ;

при 2000 К ;

при 3000 К .

При малых температурах играет роль степенная зависимость, а при больших явно видна роль экспоненты. Нужно обратить влияние, что приведенные величины - это ток насыщения вакуумного диода, катод которого, сделанный из вольфрама, нагрет до соответствующей температуры.