Хоча задач на використання цих властивостей лише дві (ще № 17), однак, беручи до уваги її важливість, її слід віднести до базових.

До базових слід віднести і задачу № 32.

Доведіть, що серед усіх паралелограмів з даними діагоналями найбільшу площу має ромб.

Вона (так саме, як і № 27) відображає такий прийом діяльності, як порівняння площ геометричних фігур.

Декілька задач у підручнику(№ 36, 33, 26, 39) передбачають доведення формул площ якихось геометричних фігур, або співвідношень, пов’язаних з площею. До базових можна віднести задачу № 36:

Виведіть такі формули для радіусівR описаного і r вписаного кіл

–його площа.

2)Відповідність системи базових задач вимогам до засвоєння учнями відповідної теми, до видів математичної діяльності, які мають бути сформованими в учнів у результаті вивчення теми(кількість – 5-7; складніші вміння повинні бути відображені у кількох задачах; задачі не повинні бути однотипними за методом розв’язання і за умовою, задачі мають враховувати попередню підготовку учнів і найближчу зону розвитку учнів).

Розглянемо сутність цього методу на прикладі теми“Площі многокутників”.

Врезультаті вивчення цієї теми учні повинні вміти: обчислювати, порівнювати, оцінювати площі многокутників та круга і його частин за допомогою: а) застосування формул; б) розбиття та добудови фігури; в) використання подібності фігур; г) використання властивостей площ; д) використання властивості адитивності площі. Оскільки не всі перелічені види діяльності відображені у системі задач підручника, що розглядається, до списку задач базового рівня доцільно додати ще такі задачі.

Нехай О – точка перетину медіан трикутникаABC. Довести, що площі трикутників АОВ, ВОС і АОС дорівнюють одна одній.

Нехай О – будь-яка точка, розташована усередині трикутника АВС,

А1 – точка перетину АО с ВС. Довести, що SAOC : SAOB = CA1: A1B.

Якщо ABCD – трапеція з основами АВ і DC, О – точка перетину діагоналей АС і BD, то площі трикутників AOD і ВОС дорівнюють одна одній.

2. Методика формування вмінь розв’язування базових задач.

Вона передбачає реалізацію таких складових.

1.Актуалізація опорних знань, необхідних для розв’язання задачі

2.Вивчення змісту задачі: виділення умови задачі і вимог, аналіз умови, аналіз вимог.

83

Приклад 2. Розглянемо методику формування вмінь розв’язування однієї з базових задач, а саме останньої з наведених.

а) Актуалізація знань учнів, необхідних для розв’язання цієї задачі.

Один із методів її розв’язання вимагає від учнів володіння:

-різними формулами площі трикутника;

-ознаками подібності трикутників;

-навичками знаходження спільних елементів геометричних фігур. Можна запропонувати такий невеликий тест.

5. Чому дорівнює відношення площ трикутників ОВА і ОВС?

б) Вивчення змісту задачі: виділення умови задачі і вимог, аналіз

умови, аналіз вимог.

У задачі йдеться про довільну трапецію, основи АВ і СD паралельні, точка О є точкою перетину діагоналей. Треба довести, що трикутники AOD і ВОС мають однакові площі. Обчислювати ці площі не треба, треба їх тільки порівняти і довести, що вони рівні. Дана задача є задачею на доведення.

84

Треба довести: SAOD = SBOC.

г) Пошук методу розв’язання задачі на основі підготовчої роботи,

розбиття задачі на підзадачі, застосування аналітико-синтетичного методу.

Пошук методу розв’язання задачі можно здійснити, наприклад, шляхом організації такого діалогу, природність якого випливає з підготовчого етапу роботи.

1.Що треба довести? (SAOD = SBOC).

2.Які рівні елементи мають трикутникиAOD і ВОС? (Вони мають

рівні кути AOD і ВОС). Це запитання є природним, бо, наприклад, при доведенні рівності трикутників починають з пошуку рівних елементів?

3.Чи зустрічаються кути в якійсь формулі площі трикутника? (Кути

входять у наступну формулу площі трикутника: SABC = 0,5×AB×BC×sinB).

Ця відповідь є очікуваною, бо ця формула повторювалась і застосовувалась при виконанні підготовчого тесту.

4.Що треба довести, якщо застосувати останню формулу для пдлщі трикутника? (Якщо застосувати цю формулу до площ трикутників, про які йдеться в задачі, то дана задача зведеться до доведення рівності:

AO×DO = BO×CO).

5.Де зустрічаються подібні рівності? (Подібні рівності з’являються при розгляді пропорцій типу: AO:CO = BO:DO).

6.Звідки може випливати пропорційність сторін трикутників? (Про-

порційність сторін випливає з подібності трикутників).

7.Що залишається довести? (Отже, треба довести подібність трикутників АОВ і СОD).

ґ) Складання плану розв’язання задачі, формування орієнтовної

основи.

На основі пошукової діяльності розробляється такий алгоритм розв’язання цієї задачі:

1) Зробити спробу виділити спільні або рівні елементи трикутників. 2) Вибрати з відомих формул площі трикутника ті, до яких входять

рівні або спільні елементи.

3) Отримати рівність, до доведення якої зводиться розв’язання зада-

чі.

4) Довести цю рівність.

д) Реалізація плану розв’язання задачі. Трикутники AOD і СОВ ма-

ють рівні кути AOD і СОВ (вони вертикальні), тому звертаємось до такої формули площі трикутника:

S AOD = 0,5 × AO × DO × sina, SBOC = 0,5 × BO × CO × sina, де a = Ð АОD.

85

Необхідно довести, що справджується рівність

0,5 × AO × DO × sin a = 0,5 × BO × CO × sin a, або AO × DO = BO × CO .

Довести цю рівність можна скориставшись подібністю трикутників АОВ і СОD. Вони подібні за першою ознакою. З подібності цих трикутників випливає, що

BO = AO . Звідси AO × DO = BO × CO , що і треба було довести.

DO CO

Цей спосіб ґрунтується на безпосередньому обчисленні площ трикутників.

е) Перевірка розв’язання задачі.

У даному випадку перевірка зводиться до того, щоб впевнитись у тому, що всі міркування обґрунтовані, що не припущено помилок ні в запису формули для обчислення площі трикутника, ні в запису пропорційності сторін подібних трикутників, ні на інших етапах розв’язування задачі.

є) Пошук різних способів розв’язання задачі.

Ще один спосіб дістанемо, якщо до кожного з трикутниківAOD і СОВ додамо трикутник АОВ. Дістанемо два нових трикутники АВD і АВС. У цих трикутників АВ – спільна сторона, а висоти, проведені до неї, рівні, тому S ABC = S ABD . Тепер до трикутників АВD і АВС застосуємо властивість

адитивності: S AOB + SBOC = S AOB + SAOD або SBOC = S AOD .

ж) Узагальнення задачі.

Методи узагальнення: заміна об’єкту, зміна числа, узагальнення за методом розв’язання. Звертання до останнього методу приводить до такого твердження:

Якщо АВСD – трапеція, О – точка перетину діагоналей, MN парале-

льна основам, О Î MN, M Î AD, N Î BC, M1 Î OM, N1 Î ON, OM1 = ON1, то

1)площі трикутників ADM1 і ВСN1 рівні;

2)площі чотирикутників АОDМ1 і ВОСN1 рівні.

з) Застосування задачі.

Бажано розглянути застосування базових , задачметодів їх розв’язання. Наприклад, до застосувань розглянутої задачі можна віднести розв’язання такої задачі.

Довести, що якщо кожна діагональ опуклого чотирикутника поділяє його площу навпіл, то цей чотирикутник є паралелограмом.

Доцільно, працюючи над базовими задачами, розглянути обернені твердження і з’ясувати їх істинність.

У даному випадку учні можуть запропонувати такий варіант оберненого твердження:

Якщо О – точка перетину діагоналей чотирикутникаАВСD і SBOC = S AOD , то АВСD – трапеція.

Але якщо розглянути паралелограм, то можна переконатись, що сформульоване твердження неправильне. У таких випадках можна або відмовитись від спроб сформулювати і довести обернене твердження, або

86