Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методичка ДЕРКАЧА

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

973.11 Кб

Скачать

☆

1 / 161 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Содержание

1 Линейные неограниченные операторы		3
1.1	Общие понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	3
1.2	График линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	5
1.3	Замкнутые операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	6
1.4	Сопряженные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	10
1.5	Подчиненность операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	14
1.6	Поле регулярности и дефект замкнутого оператора . . . . . . . . . . . .	18
1.7	Спектр и резольвента замкнутого оператора. . . . . . . . . . . . . . . .	20
1.8	Дифференциальные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	22
2 Теория расширений симметрических операторов		25

2.1Симметрические и самосопряженные операторы . . . . . . . . . . . . . 25

2.2Изометрические операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3Преобразование Кэли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4Числовая область оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5Обобщенная формула Неймана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.5.1 Вещественные симметрические операторы . . . . . . . . . . . . . 44

2.6Применение формул Неймана к исследованию спектра расширений . . 46

2.7Оператор дифференцирования на конечном отрезке . . . . . . . . . . . 50

2.8Оператор дифференцирования на полупрямой . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.9Инвариантные и приводящие подпространства неограниченных операторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3 Блочные матрицы		59
3.1	Задача о достройке неполной неотрицательной матрицы . . . . . . . . .	59
3.2	Укороченные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	62
3.3	Свойства укороченных операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	64

3.4Самосопряженные сжимающие расширения неплотно заданного эрмитового сжатия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.6Некоторые свойства экстремальных расширений . . . . . . . . . . . . . 70

3.7Критерий совпадения экстремальных операторов Tm è TM . . . . . . . 72

3.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4 Граничные тройки и собственные расширения.		77
4.1	Линейные отношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	77
4.2	Параметрическая и проективная формы линейных отношений . . . . .	78
4.3	Некоторые классы линейных отношений . . . . . . . . . . . . . . . . . .	81
4.4	Критерий самосопряж¼нности линейного отношения . . . . . . . . . . .	85
4.5	Неванлинновские пары . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	88
4.6	Определение и свойства граничных троек. . . . . . . . . . . . . . . . . .	93
4.7	Параметризация собственных расширений. . . . . . . . . . . . . . . . . .	95
4.8	Формулы перехода от одной граничной тройки к другой . . . . . . . . .	99
4.9	Функция Вейля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	103
	4.9.1 Q-функция и γ-ïîëå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	103

4.9.2Функция Вейля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.9.3Функция Вейля и спектры собственных расширений. . . . . . . . 108

4.10Формула Крейна для резольвент. Связь с граничными тройками. . . . 110

4.11Связь с классическим подходом. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.12Функция Вейля и унитарная эквивалентность граничных троек . . . . 114

4.13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118


5	Квадратичные формы.		121
	5.1	Первая теорема о представлении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
	5.2	Секториальные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6	Оператор Штурма-Лиувилля		131

6.0.1Регулярный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.0.2Случай одного сингулярного конца . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.0.3Полуограниченный потенциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.2Резольвента самосопряженного расширения . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.2.1Регулярный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.2.2Случай предельной точки Вейля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Глава 1

Линейные неограниченные операторы

EXE:1.1

EXE:1.2

D:1.3

1.1Общие понятия

Пусть H1, H2 гильбертовы пространства над полем C, D линеал (линейное подмножество) в H1 è T : D → H2 линейное отображение из D â H2, ò.å.

T (λ1f1 + λ2f2) = λ1T f1 + λ2T f2 äëÿ âñåõ f1, f2 D, λ1, λ2 C.

Линеал D называют областью определения оператора T и обозначают dom (T ).

def

Область значений (образ) оператора T обозначают ran (T ) = T dom (T ).

Åñëè H1, H2 гильбертовы

пространства

со скалярными

произведениями

(·, ·)H1 , (·, ·)H2 , то линеал

HT = dom (T ) является предгильбертовым пространством

относительно скалярного произведения

(f, g)HT

= (f, g)H1 + (T f, T g)H2 ,

f, g dom (T ).

(1.1)

E:1.3

Соответствующую норму k · kHT ,

def

kfkHT

= kfkH1 + kT fkH2 ,

f dom (T )

(1.2)

E:1.2

называют T -нормой.

E:1.2

E:1.1

Óïð. 1.1.1. Доказать, что норма (

1.2) эквивалентна норме (

1.3)

def

+ kT fkH2 ,

f dom (T ).

(1.3)

E:1.1

kfkT = kfkH1

Èç

(1.3) вытекает, что оператор T непрерывен из dom (T ) â H2.

Óïð. 1.1.2. Линейный оператор T непрерывен из H1 â H2 тогда и только тогда, когда

T -норма эквивалентна на dom (T ) норме в H1.

Определение 1.1.3. Говорят, что оператор T2 является расширением оператора

T1 (T1 сужение T2) и пишут T1 T2, åñëè

dom (T1) dom (T2) è T1f = T2f, f dom (T1),

(1.4)

E:1.6

Åñëè ïðè ýòîì dom (T1) = dom (T2), òî T1 = T2.

ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Óïð. 1.1.4. T1 = T2 тогда и только тогда, когда T1 T2 è T2 T1.

EXE:1.7

Определение 1.1.5. Åñëè L линеал в гильбертовом пространстве

H è L

D:1.4

dom (T ), òî T L сужение оператора T íà L.

L2[0, 1]. Какова

EXA:1.1

Пример 1.1.6. Пусть

dt оператор дифференцирования в

область определения оператора T ? Можно положить, например,

dom (T ) = {f AC[0, 1] : f0

L2(0, 1)} =: W 1,2(0, 1).

èëè

T0f = T f äëÿ f dom (T0) = C0∞[0, 1].

ßñíî, ÷òî T0 T . Ïðè ýòîì

kfkH2 T = kfkW2 1,2(0,1) = Z

|f(t)|2 + |f0

(t)|2

dt.

1,2

(0, 1)

с нормой

kfkW

EXE:1.3

Óïð. 1.1.7

. Доказать,

÷òî

пространство

1,2

(0,1) èç

EXA:1.1

примера

1.1.6

гильбертово.

Пусть ker T := {f dom (T ) : T f = 0} ядро оператора T .

EXE:1.4

Óïð. 1.1.8. Показать, что ker T линеал.

Определение 1.1.9. Оператор T обратим, если ker T = {0}.

D:1.2

Óïð. 1.1.10. Пусть ker T = {0}. Доказать, что T −1 линейный оператор и выполнены

EXE:1.6

равенства dom (T −1) = ran (T ), ran (T −1) = dom (T ).

Теорема 1.1.11. Пусть T [H]. Для того, чтобы оператор T имел ограниченный

T:1.1

обратный, необходимо и достаточно, чтобы для некоторого c > 0 выполнялось

неравенство

kT fk > ckfk,

f dom (T ).

(1.5)

E:1.4

При этом наибольшая возможная константа c â

(1.5) åñòü c =

kT −1k

E:1.4

ker T

= 0. Следовательно, существует

Доказательство. Èç

(1.5) следует, что

оператор T −1. Полагая в (1E:1.5).4g = T f получим

ckT −1gk 6 kgk для любого g dom (T −1) = ran (T ).

(1.6)

E:1.5

Отсюда kT −1k 6 1c .

оператор T −1

и он ограничен, то выполнено (

1E:1.6)..5

Обратно, если существует

Полагая f = T −1g, приходим к

E:1.4

(1.5). 2

1.2. ГРАФИК ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА

D:1.5 Определение 1.1.12. Пусть T1 è T2 операторы в H. Тогда:

dom (T1 + T2) = dom (T1) ∩ dom (T2),

dom (T1T2) = {f dom (T2) : T2f dom (T1)}.

На этих множествах определяются естественным образом операторы:

(T1 + T2)f = T1f + T2f, (T1T2)f = T1(T2f).

	D:1.6	Определение 1.1.13. Пусть T2	линейный оператор в H, T1 [H]. Говорят, что
		T1 è T2 перестановочны (T1 ^ T2), åñëè T1T2 T2T1.
		Пример 1.1.14. Пусть операторы T1 è T2 â L2(0, 1) определены равенствами
EXA:1.2
		x
		T1 : f → Z0	f(t) dt, dom (T1) = L2(0, 1).

D:1.7

EXE:1.8

EXE:1.9

D:1.8

T2 : f → dfdt , dom (T2) = {f W 1,2(0, 1) : f(0) = 0}.

Тогда T2T1f = f äëÿ âñåõ f L2(0, 1). T1T2f = f äëÿ âñåõ f dom (T2)( W 1,2(0, 1)), ò.å. T1T2 T2T1.

1.2График линейного оператора

Определение 1.2.1. Пусть H1, H2 гильбертовы пространства, T линейный оператор, действующий из H1 â H2. Графиком оператора T называют множество

G(T ) := {{f, T f} : f dom (T )} H1 × H2.

Óïð. 1.2.2. T1 T2 тогда и только тогда, когда G(T1) G(T2).

Â H1 × H2 индуцируется гильбертова структура, которая в свою очередь индуцирует предгильбертову структуру в G(T ). Именно, скалярное произведение и норма в G(T ) задаются равенствами

({f, T f}, {g, T g}) = (f, g)H1 + (T f, T g)H2 , f, g dom (T ), k{f, T f}k2 = kfk2H1 + kT fk2H2 .

Óïð. 1.2.3. Оператор U : f → {f, T f}, f dom (T ) есть изометрия из предгильбертового пространства HT в предгильбертово пространство G(T ).

E:1.2

Определение 1.2.4. T -норму (1.2) называют нормой графика в dom (T ).

Пусть π1 è π2 проекторы в H1 × H2 íà H1 × {0} è {0} × H2, соответственно,

π1{f, g} = f, π2{f, g} = g.

P:1.2

EXE:1.10

EXE:1.11

6	ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Предложение 1.2.5. График M := G(T ) ( H1 ×H2) линейного оператора T : H1 →
H2 есть линеал, удовлетворяющий условию
	ker(π1 M ) = {0, 0}.
		(2.1)		E:1.7a
Обратно, любой линеал M H1 × H2, удовлетворяющий			E:1.7a

			(2.1), является графиком

линейного отображения, определяемого равенствами
	dom (T ) = π1M, T = π2(π1 M )−1.
		(2.2)		E:1.7b

P:1.2

Óïð. 1.2.6. Доказать предложение 1.2.5.

Рассмотрим оператор W , действующий из H1 × H2 â H2 × H1 по формуле

W {f, g} = {g, −f}, f H1, g H2.

Óïð. 1.2.7. Доказать, что W изометричен и является антиинволюцией, т.е.

W 2 = −I.

(2.3)

E:1.10

EXE:1.11a

Óïð. 1.2.8. Доказать, что W унитарный оператор.

Лемма 1.2.9. Пусть G(T ) это график линейного оператора T : H1 → H2. Линеал

L:1.3

(W G(T )) ( H1 × H2)

есть график линейного оператора тогда и только тогда, когда dom (T ) = H1.

Доказательство. Линеал W G(T ) имеет вид

W G(T ) = {{T f, −f} : f dom T }

поэтому {0, h} W G(T )

тогдаE:1.7aи только тогда, когда (h, f) = 0 äëÿ âñåõ f dom (T ).

Таким образом, условие (

2.1) äëÿ M = (W G(T )) эквивалентно условию dom (T ) =

H1. 2

1.3 Замкнутые операторы

оператор T

H1 â

D:1.9

Определение 1.3.1. (i) Линейный

èç

называется

замкнутым, если его график замкнут в H1 H2.

(ii) Говорят, что оператор T :

dom (T ) → H2

допускает

замыкание, если

существует замкнутое расширение T оператора

T . Åñëè T

замыкаем,

то наименьшее замкнутое расширение T оператора T называется его

замыканием.

	1.3. ЗАМКНУТЫЕ ОПЕРАТОРЫ			7
	Óïð. 1.3.2. Доказать, что T замкнут, если для каждой последовательности {fn}
EXE:1.13
	dom (T ), такой, что s − nlim fn = f è s − nlim T fn = g вытекает соотношение f
	dom (T ) è T f = g.		→∞	→∞
	dom (T ) è T f = g.

EXE:1.14	Óïð. 1.3.3. Оператор	T	замыкаем, если	G(T ) является графиком некоторого
	линейного оператора.	T	замыкаем тогда и	только тогда, когда для всех {fn}
	линейного оператора.

EXE:1.15	Óïð. 1.3.4. Оператор

	dom (T ) таких, что s − nlim fn = 0, s − nlim T fn = g выполняется g = 0.
	→∞	→∞
EXA:2.2	Пример 1.3.5. Оператор Tminf = f0	â L2(0, 1) с областью определения

dom (Tmin) = W 1,2[0, 1] = {f AC[0, 1] : f0 L2(0, 1), f(0) = f(1) = 0}

EXA:2.2A

EXA:2.2

EXA:2.2A

является замкнутым.

Действительно, пусть fn → f, fn0 → g â L2(0, 1). Тогда из равенства

Z x

fn(x) =

fn(t)dt

(3.1)

eq:1.3.5

получим, что

fn(x) f0(x) ãäå f0(x) = Z0 x g(t)dt

ïðè n

→ ∞

. Таким образом, f

AC[0, 1], f0 = g è f совпадает с f почти всюду.

Ïðè ýòîì f0(0) = f0(1) = 0, ò.å. f0 dom Tmin è Tminf0 = g.

EXA:1.1

Аналогично показывается, что

операторeq:1.3.5 T из Примера

1.1.6 является

замкнутым. Для доказательства вместо (

3.1) нужно воспользоваться равенством

fn(x) − fn(0) = Z0 x fn(t)dt

(3.2)

eq:1.3.6

и неравенством

|f(0)| ≤ C(kf0kL2 2 + kfkL2 2 )

справедливым для некоторого C > 0 è âñåõ f W 1,2(0, 1).

Óïð. 1.3.6. Показать, что оператор T0

EXA:1.1

из Примера

1.1.6 является не замкнутым.

Однако, оператор T0 замыкаем, так как он содержится в замкнутом операторе Tmin.

Óïð. 1.3.7. Показать, что оператор T :

2f → f(0) с областью определения dom (T ) =

C[0, 1] не допускает замыкания в H = L (0, 1).

Óïð. 1.3.8. Показать, что оператор T1

с областью определения dom (T1) =

W 2,2(0, 1) является замкнутым в H = L2(0, 1).

T:1.4 Теорема 1.3.9 (Банаха о замкнутом графике). Пусть H1 è H2 гильбертовы

пространства. Каждый замкнутый линейный оператор T èç H1 â H2, для которого dom(T ) = H1, непрерывен.

3 {f, T1f} → T2f X2,

8				ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
	ДоказательствоE:1.7b			. График G(T ) образует	B-пространство в X Y .	Ïî
формуле		(2.2)	справедливо равенство:		B-пространство в X Y .	Ïî
формуле		(2.2)	справедливо равенство:
				T = π2(π1 G(T ))−1.
				T = π2(π1 G(T ))−1.		(3.3)		E:1.11
	Осталось применить теорему Банаха об обратном операторе, в силу которой оператор
	(π1 G(T ))−1 ограничен (и учесть, что dom (T ) = X). Далее из формулы						E:1.11
							(3.3)
							(3.3)
	следует, что и T ограничен. 2

T:1.5	Теорема 1.3.10. Пусть H0, H1, H2 гильбертовы пространства, Ti линейные
	операторы, Ti : H0 → Hi (i = 1, 2). Тогда, если T1 замкнут, а T2 допускает замыкание
	è dom (T1) dom (T2), то существует константа c > 0 такая, что:
				kT2fk2 6 c(kT1fk12 + kfk02)21 ,	f dom (T1).
				kT2fk2 6 c(kT1fk12 + kfk02)21 ,	f dom (T1).	(3.4)		E:1.12

Доказательство. Òàê êàê T1 замкнут, то G(T1) замкнутое подпространство в X X1. Значит, отображение

G(T1)

определяет линейный оператор S, отображающий B-пространство G(T1) â B-пространство X2.

Покажем, что оператор S замкнут. Действительно, пусть {fn, T1fn} сходятся в G(T1), а последовательность T2fn сходится в X2. Положим

f := s − lim fn, g := s − lim T1fn, z := s − lim T2fn.

n→∞ n→∞ n→∞

EXA:1.3

D:2.1

P:2.1

Поскольку оператор T1 замкнут, то f dom (T1), T1f = g. Но оператор T2 допускает

замыкание. Поэтому z = s − nlim T2fn = T2f. Следовательно, оператор S замкнут, и

→∞

E:1.12

значит, по теореме Банаха ограничен. Поэтому верна оценка ( 3.4). 2

T:1.5

операторам T1 =

è T2 =

Пример 1.3.11. Применим Теорему

1.3.10 ê

dx2

dx ,

ãäå dom (T1)

E:1= .12W 2,2(0, 1),

dom (T2) =

W 1,2(0, 1). Тогда

dom (T1)

dom (T2)

неравенство

(3.4) имеет вид:

dt2

+ |f(t)|2

dt.

dt 6 c Z

d2f

Определение 1.3.12. Пусть H1, H2 гильбертовы пространства. Множество

всех замкнутых линейных операторов из H1

â H2 обозначим C(H1, H2).

Предложение 1.3.13. Пусть оператор

T непрерывен, T : H1

→ H2. Тогда

оператор T замкнут точно тогда, когда линеал dom (T ) замкнут.

G(T ), òî åñòü

	1.3. ЗАМКНУТЫЕ ОПЕРАТОРЫ					9
	Доказательство. Åñëè T	непрерывен, то на		dom (T )	норма	k · kT эквивалентна
	Доказательство. Åñëè T		EXE:1.2	dom (T )		k · kT эквивалентна
	обычной норме k · k (упражнение		1.1.2). Поэтому полнота dom (T ) ïî T -норме
	эквивалентна замкнутости dom (T ) â H. 2
	Óïð. 1.3.14. Каждый оператор T B(H1, H2) замкнут.
EXE:2.1	Óïð. 1.3.14. Каждый оператор T B(H1, H2) замкнут.
	Óïð. 1.3.15. Åñëè T C(H1, H2), à S B(H1, H2), òî T + S C(H1, H2).
EXE:2.2
	Óïð. 1.3.16. (i) Привести пример операторов T, S C(H1, H2), таких что T + S /
EXE:2.3
	C(H1, H2).

EXE:2.4

EXE:2.5

P:2.2

EXE:2.6

P:2.3

D:2.2

EXA:2.1

(ii)Привести пример операторов T, S C(H1, H2), таких что оператор T + S незамыкаем.

(iii)Пусть дополнительно к условию dom (S) = dom (T ). Верно ли, что T + S

замыкаем?

Óïð. 1.3.17. Доказать, что если ker T = {0}, òî T è T −1 замкнуты одновременно.

Óïð. 1.3.18. Åñëè T C(H1, H2), то ядро оператора T замкнутое подпространство в H1.

Предложение 1.3.19. Пусть T0, T1, T линейные операторы из H1 â H2. Пусть также T0 T1 T , причем T0 è T замкнуты. Если dim (dom (T ) dom (T0)) < ∞, то оператор T1 замкнут.

Доказательство. Òàê êàê T0 è T замкнуты и T0 T , òî G(T0) G(T ) è G(T0) замкнутое подпространство B-пространства G(T ). По условию G(T0) имеет конечную коразмерность в

dim (G(T ) G(T0)) < ∞.

Íî G(T1) промежуточный линеал в G(T ):

G(T0) G(T1) G(T ).

Поэтому G(T1) подпространство в G(T ) и, следовательно T1 замкнут. 2

Óïð. 1.3.20. Пусть L0 L1 L линеалы в B-пространстве X, причем L0 = L0 è L = L. Åñëè dim (L L0) < ∞, òî L1 замкнут.

Предложение 1.3.21. Пусть T C(H1, H2) и для некоторого c > 0 выполнено неравенство

kT fk ≥ ckfk, f dom (T ).

Тогда ran T подпространство в Y .

	T:1.1
	T:1.1
Доказательство. По теореме	1.1.11 оператор T имеет ограниченный обратный.
Доказательство. По теореме
Оператор T −1 замкнут (упражнение					и (упражнение		ran T =
			1EXE:2.3.17).4		и (упражнение	1EXE:1.1.10).6	ran T =
				P:2.1
dom (T −1) подпространство (Предложение				P:2.1
dom (T −1) подпространство (Предложение				1.3.13). 2
Определение 1.3.22. Оператор P		â B-пространстве				X называют
идемпотентным (или проектором), если P 2 = P , dom(P ) X.

Пример 1.3.23. Пусть P B(X) проектор, тогда справедливо прямое разложение

H= H1 u H2

âкотором H1 = P H, H2 = (I − P )H замкнутые подпространства.


	10	ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
	Замечание 1.3.24. Проектор P не обязательно замкнут. Пусть X = X1 u X2, ãäå
R:2.1
	X1 всюду плотный линеал в B-пространстве X, dimX2		= 1.Согласно условию x =
	x1 + λx2, x1 X1, x2 единичный вектор в X2. P1x = x1, P2x = x2. Отсюда видно, что
	проектор P1 не замкнут.
	Предложение 1.3.25. Пусть X1, X2 замкнутые
P:2.4	Предложение 1.3.25. Пусть X1, X2 замкнутые		подпространства B-

пространства X, X1 ∩ X2 = {0}. Пусть

Y := X1 u X2

(3.5)

E:2.1

Y X, тогда проектор Pj : Y → Xj, j {1, 2} замкнут. При этом Pj ограничен

в точности тогда, когда Y = X.

Доказательство. Пусть fn

Y, fn

f è P1fn

g1. Нужно показать, что f

E:2.1

→

(1)→

(2)

(j)

dom

= Y

è P

f = g

. Согласно

(3.5) f

, ãäå f

X , j

1, 2

}

(

(1)

→

X , ò.ê. X

n =

n +

{(2)

= f

, значит g

замкнуто. Аналогично

(1)

fn − fn

= (I − P1)fn

→ f − g1 = g2

X2. Следовательно f = g1 + g2

P1f = g1, значит P1 замкнут. Если Y = X, то по теореме Банаха P1 ограничен, т.к. он замкнут. 2

EXE:2.7 Óïð. 1.3.26. Верно ли, что прямая сумма двух замкнутых подпространств замкнута.

EXE:2.8 Óïð. 1.3.27. Пусть {en}∞n=0 - ортонормированный базис в гильбертовом пространстве H, H1 := span{e2n+1}∞n=0, H2 := span{e2n + n1 e2n+1}∞n=0. Верно ли, что

b) H1 ∩ H2 = {0};

c) H1 u H2

плотна в H?

a) H1 u H2 = H, H1 u H2

= H;

:= H1

. Зададим проектор P f = f1, ãäå f = f1 + f2, f1

d) Пусть H3

H1,

f2 H2. Тогда P

= P . Будет ли P ограниченным (замкнутым)?

∞

EXE:2.12

Óïð. 1.3.28. Выяснить,

замкнут ли

функционал l(f)

akfk,

{ak} /

l2 â

пространстве l2? Привести пример замкнутых и незамкнутых функционалов.

1.4Сопряженные операторы

Пусть T линейный оператор в H. Для каждого g H рассмотрим на dom (T ) линейный функционал

lg(f) = (T f, g).

При некотором g этот функционал может оказаться непрерывным в H (например, при g = 0). По теореме Рисса этот функционал допускает представление

lg(f) = (f, g)

с некоторым h H. Это представление единственно точно тогда, когда dom (T ) = H.

1 / 161 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.11.2019523.78 Кб3Методичка Аграрное.doc
#
13.04.2015424.96 Кб28Методичка Админ. судопр-во.doc
#
17.08.2019198.14 Кб2Методичка ВФ.doc
#
13.04.20151.78 Mб16методичка вышка.pdf
#
16.03.20168.21 Mб924Методичка грам последн 2013.doc
#
13.04.2015973.11 Кб26Методичка ДЕРКАЧА.pdf
#
16.03.201678.87 Кб24методичка до курсових робіт.docx
#
14.11.2019183 Кб1Методичка Екологічне 2011-3.docx
#
13.04.2015533.5 Кб30Методичка Екологічне право 2013.doc
#
29.04.2019863.23 Кб4Методичка з Цивільного права (Особлива частина)....doc
#
13.04.2015209.3 Кб59Методичка ИГПЗС.docx