Krivolinejnie_i_poverhnostnie_integrali

10.

Запишите формулу Стокса в прямоугольных координатах и в

векторной форме. Когда она справедлива?

11.

Какое векторное поле называется потенциальным?

12.

Векторное поле

A M в

поверхностно-односвязной

области D

удовлетворяет

условию

rot A 0 . Является ли

это поле

потенциальным?

13.

Что такое потенциал векторного поля? Запишите формулу для

нахождения потенциала векторного поля A P,Q, R в области D .

14.

Какое векторное поле называется соленоидальным?

15.

В объемно-односвязной области D выполнено условие div A 0.

Следует ли отсюда, что A - соленоидально?

Пример

1.

Найти

производную

по

направлению

u

функции

u ln x2 y2

z2

e

в точке M 1;1; 1 в направлении вектора a 2i 2 j k .

Решение. В соответствии с формулой (1)

e

a

cos ,cos ,cos

a

2

2

2

1

2

2

1

cos

; cos

; cos

;

e

,

,

.

3

3

4 4 1 3

3

3 3

Тогда

по

формуле

(2)

u

u

cos

u

cos

u

cos

e

M

x

M

y

M

z

M

получим

u

2x

2

;

u

2y

2

x

x2 y2 z2

y

x

2 y2 z2

M

M

3

M

M

3

u

2z

2

2

2

2

;

grad u M

;

;

.

z

x

2

y

2

z

2

M

M

3

3 3 3

Таким образом,

u

2

2

2

2

2

1

2

.

e

M

3

3

3

3

3

3

9

(3)

Или

с

использованием

формулы

u

2

2

2

2

2

1

2

M

grad u M ,e

;

;

,

,

,

.

9

e

2

3 3 3

3 3 3

Ответ:

.

9

Пример 2. Найти поток векторного поля

A через ограниченную

часть внешней поверхности параболоида z x2

y2 ,

отсеченную плоскостью

z 2 .

Решение. Согласно формуле (7),

P cos Q cos R cos dS A, n dS

Рис

S

S

Нормаль n к внешней стороне S образует тупой угол с осью OZ , то

есть cos 0.

Таким образом, согласно формулам (5) с учетом того, что поверхность

задана явно уравнением z x2

y2 , получим:

cos

2x

; cos

2y

; cos

1

4x2 4y2 1

4x2 4y2 1

4x2 4y2 1

2x

2y3

z

0

dS

4x

2

4y

2

1

4x

2

4y

2

1

4x

2

4y

2

S

1

z 2y3

x2 y2 2y3

dS

4x

2

4y

2

1dxdy 2 .