Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Krivolinejnie_i_poverhnostnie_integrali

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

645.02 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Окончательно получим

x2dydz y2dxdz z2dxdy I1 .

Пример 8. s y z dydz z x dxdz x y dxdy I

S - верхняя сторона поверхности, вырезанной цилиндром x2 y2 2ax из сферы: x2 y2 z2 2Rx, R 0, z 0.

Решение. Зададим поверхность параметрически. Так как z 0 , то S:

z 2R x x2 y2x x

y y

x, y D Sxoy : x a 2 y2 a2

Нормаль к внешней стороне поверхности сферы образует с осью OZ

острый угол, т.е. cos 0 , следовательно, берём знак "+".

2Rx x

x B x y C

I y

dxdy ,

где

R x

2Rx x

2Rx x2 y2

R x

2Rx

R x

2Rx x2 y2

	x	y
C	x	x
C	x	y
	y	y

т.о.

R x

I y

2Rx x

		y

2Rx x2 y2	x					x y dxdy

			2		2
		2Rx x		y
		2Rx x		y

		x R				y
	y R				R x		x y dxdy
	y R		R		R x	R	x y dxdy
D			R			R
				y
R			1		dxdy Ra2.
R			1	R	dxdy Ra2.
				R
x a 2 y2 a2
Здесь		dxdy равен площади круга радиуса a .
x a 2 y2 a2

ydxdy 0,

x a 2 y2 a2

т.к. область D симметрична относительно оси ОХ, а подынтегральная функция, нечетная относительно y.

Пример 9. Вычислить

y z dydz z x dzdx x y dxdy ,

S - внешняя сторона конической поверхности

x2 y2

z2 0 z h . (без

„крышки”).

Решение.

Зададим S параметрически:

cos 0

D : x2 y2 h2

x x

y y

Найдём направляющие косинусы в случае,

если поверхность задана в явном виде. Т.к. 0 z ,

то из уравнения поверхности z

x2 y2

cos

dxdz

;

1 z1x2 z1y2

x2 y2

cos		y
				;


	2		x2 y2

cos 1 . 2

y z x z x y x y dS

s s

xy xz zy xy x y dS zy xz x y dS

s s

	y x z x, y 1		1 z1x2 z1y
ПрSxoy	y x		1
					dxdy
		x2 y2
				2

x2 y2 h2

2	h
d sin cos 1						d 0 .
d sin cos 1					2	d 0 .
0	0
Выкладки подробные можно проделать самостоятельно.
В упражнении №4 направляющие косинусы могут быть найдены из
общих формул при параметризации поверхности S:

x x
				D : x2 y2 h2
y y				D : x2 y2 h2
	x, y
			x2 y2
z z			x2 y2

Роль параметра u		играет x , параметра V - y .

Поэтому формула (2) примет вид

y2 z2 dxdy y2 z2 x,y C dxdy.

Так как нормаль к верхней стороне поверхности S образует острый угол с осью OZ , то очевидно, cos 0 . С другой стороны

cos			C				, где C	X x1		Yx1	1	0	1

								X	1y	Yy1	0	1
	A	2	B	2	C	2

C 0, поэтому перед радикалом, а значит и перед двойным интегралом

нужно взять знак "+".

Итак

		2		a	b	2

I y2	a2 x2		dxdy dx y2 x2 a2 dy				ab b2 2a2	.
						3
D				a	0

7. Элементы теории поля.

7.1. Основные теоретические сведения и образцы решения типовых задач по теме «Элементы теории поля».

7.1.1. Определение скалярного поля.

Пусть D - область в E3 (или в E2 ). Говорят, что в D задано скалярное поле, если M D поставлено в соответствие некоторое число u M .

Физические примеры скалярных полей: поле температуры какого-либо тела, поле плотности масс и тому подобное.

Если в пространстве введена прямоугольная система координат, то скалярное поле задается функцией u u x, y, z , x, y, z D .

7.1.2.Характеристики скалярного поля.

1)Поверхность (линия), на которой функция u M принимает

постоянные значения, называется поверхностью (линией) уровня: u M C .

2)Производная по направлению.

Пусть

u M

- скалярное

поле, заданное

в области D ,

e -

единичный вектор,

e cos ,cos ,cos

(1)

Пусть

M - любая точка из

D , отличная от

M , такая, что вектор

MM коллинеарен

e . MM

- величина направленного отрезка

( MM

, если векторы

MM и e сонаправлены и MM

если эти векторы противоположно направлены).

Определение.

Число

lim

u M u M

называется

M M

производной скалярного

поля u M в точке

M по направлению

вектора e .

Если скалярное поле u u x, y, z

дифференцируемо в точке M , то

cos

(2)

Производная

является

скоростью

изменения

скалярного

поля u x, y, z в точке M в направлении вектора e .

3)Градиент скалярного поля.

Определение. Градиентом скалярного поля u x, y, z называется

вектор-функция

(3)

grad u

(1),

(2)

(3),

Учитывая

равенства

легко видеть

что

M grad u M ,e . Откуда следует, что

grad u M

cos ,

где

угол между векторами

e и

grad u M .

Очевидно, что

принимает

наибольшее значение,

если 0 .

grad u M

То есть

указывает направление наибольшей скорости

изменения поля в этой точке, а grad u M есть максимальная скорость

изменеия функции в точке M .

7.2. Векторные поля и их характеристики.

7.2.1. Определение векторного поля.

Говорят, что в области D (пространственной или плоской) задано векторное поле, если M D поставлен в соответствие некоторый вектор

A M .

Физические примеры векторных полей: поле скоростей потока жидкости, описываемое в каждой точке вектором скорости v M , магнитное

поле, создаваемое электрическим током и задаваемое в каждой точке вектором магнитной индукции b M и тому подобное.

7.2.2.Характеристики векторного поля.

1)Удобной геометрической характеристикой векторного поля A M

служат векторные линии – кривые, в каждой точке M которых вектор A M направлен по касательной к кривой.

Если

векторное

поле

A x, y, z P i Q j R k ,

то

векторные

линии этого поля описываются системой

(4),

Конкретная

векторная

линия,

проходящая

через заданную

точку

M0 x0 , y0 , z0 ,

должна

удовлетворять

дополнительному

условию

x t0 x0 , y t0 y0 , z t0 z0 .

Дивергенция.

Дивергенцией

Определение.

векторного

поля

A P x, y, z i Q x, y, z j R x, y, z k

называется

скалярная

функция

(5).

divA

Слово «дивергенция» означает «расходимость». Дивергенция

характеризует

плотность

источников

тока

векторного поля

рассматриваемой точке.

Ротор.

Определение.

Ротором

(или

вихрем)

векторного

поля

A P i Q j R k называется векторная функция

dydz

dzdx

dxdy

rotA

(6).

Ротор характеризует завихренность поля A в точке M .

Поток векторного поля.

Рассмотрим

векторное

поле

A P i Q j R k ,

определенное

области

некоторую

кусочно-гладкую

ориентированную

поверхность	S D .	Пусть
n M cos M i cos M j cos M k		- поле единичных

нормалей на выбранной стороне поверхности. Поверхностный второго рода интеграл

P cos Q cos R cos dS A,n dS			(7)
S	S	A M через
Называется	потоком векторного поля	A M через		выбранную
сторону поверхности S .
Если A v	- скорость движущейся	жидкости,	то	v, n dS

представляет собой количество жидкости, протекающей через выбранную сторону поверхности S за единицу времени.

Поэтому и в случае произвольного векторного поля A M интеграл

(1) называется потоком векторного поля через сторону поверхности

5)Циркуляция векторного поля.

Пусть	задано	векторное поле A M P,Q, R	в некоторой
пространственной области D и задана кусочно-гладкая кривая L , на
которой	задано	направление обхода (ориентация	кривой). Пусть

M i dx j dy k dz - единичный касательный вектор к кривой

L в точке M .
Криволинейный интеграл
		ds	(8)
Pdx Qdy Rdz A		ds	(8)
L	L
называется	циркуляцией	векторного	поля A вдоль кривой L в
заданном направлении.

Если взять другое направление обхода кривой (изменить ориентацию), то вектор изменит свое направление на противоположное, а значит, и циркуляция изменит знак.

Если A F - силовое поле, то A ds представляет собой работу

силового поля F вдоль кривой L в выбранном направлении.

7.3. Формула Остроградского-Гаусса.

Пусть в	области D	определено векторное		поле A P,Q, R ,	S -
замкнутая	кусочно-гладкая		поверхность,	ограничивающая	D ,
n M cos ,cos ,cos		-	единичный вектор	внешней нормали	к

поверхности S в точке M , функции P,Q, R - непрерывно-дифференцируемы в замкнутой области D . Тогда справедлива формула Остроградского-Гаусса


	P		Q	R
					dxdydz P cos Q cos R cos dS .

D		x	y	z		S

Учитывая, что

divA, а P cos Q cos R cos dS

A,n dS -

поток

векторного

поля

через

внешнюю

сторону

поверхности S , формулу Остроградского-Гаусса

можно

записать

векторной форме так:

divAdxdydz A, n dS

(9)

Поток непрерывно-дифференцируемого

поля

в сторону

внешней

нормали кусочно-гладкой поверхности

S равен

тройному

интегралу

по

области

D , ограниченной этой поверхностью от дивергенции векторного

поля A.

(9)

Из

формулы

можно получить

другое определение

дивергенции

A,n dS

векторного поля A: M D	div A M lim	S		, где V -	объем

	V M		V
области D , который стягивается в точку M .
Таким образом, div A M	характеризует источники (или стоки)				поля –

это поток векторного поля, проходящий через точку M . Чтобы поток через S был отличен от нуля, внутри области D должны быть источники (или стоки) поля. Само векторное поле как бы расходится от источников. Отсюда и происходит название «расходимость» или «дивергенция».

7.4. Формула Стокса в векторной форме.

Пусть в области D задано непрерывно-дифференцируемое векторное поле A P,Q, R , L - замкнутый кусочно-гладкий контур, лежащий в D .

S	- произвольная гладкая		поверхность,	границей которой			является
контур	L (поверхность	S	натянута	на	L ),	причем,	S D ,
n M cos ,cos ,cos -		единичная нормаль			на	выбранной	стороне
поверхности S .

Тогда справедлива формула Стокса

Pdx Qdy Rdz

cos

cos dS ,

где

ориентация контура L согласована с ориентацией поверхности S .

Первая часть формулы Стокса есть циркуляция векторного поля A вдоль

кривой

L ,

правая

равна

потоку

rotA

k через поверхность S .

Поэтому формулу Стокса можно записать в векторной форме

(10)

A dl rotA,n dS

Поток ротора непрерывно-дифференцируемого поля A через выбранную сторону гладкой поверхности S численно равен циркуляции поля A вдоль края поверхности, причем ориентация края поверхности согласована с выбранной стороной поверхности S .

7.5. Потенциальное поле.
Определение.		Непрерывно	дифференцируемое	векторное				поле A
называется потенциальным в области D , если его можно представить в
этой области как градиент некоторого скалярного поля u x, y, z ,						A grad u .
Функция	u x, y, z называется скалярным потенциалом					векторного
поля A.					u				u
Очевидно,	если	A P,Q, R	потенциально в D ,	то P			,	Q		,

x y

R u то есть выражение Pdx Qdy Rdz du .

Учитывая определение потенциального поля, теорему о независимости

криволинейного		интеграла	от	пути	интегрирования,		модно
переформулировать следующим образом:					A P,Q, R
Теорема. Пусть векторное поле						непрерывно
дифференцируемо в поверхностно односвязной области D , тогда следующие
утверждения эквивалентны:
1)	поле A потенциально в D ;
2)	в D	u x, y, z -	потенциальная		функция,	такая,	что

Pdx Qdy Rdz du ;

3)циркуляция поля A вдоль любого замкнутого кусочно-гладкого контура D равна нулю

A d Pdx Qdy Rdz 0 ;

4) для A D	и B D циркуляция поля A вдоль кривой AB не
зависит от	выбора кривой AB и равна разности значений

потенциала u в точках A и B :

A d u B u A ;

5) поле A является безвихревым, то есть

rot A rot grad u 0 ;

Замечания.

1.Утверждение 4 означает, что работа силового потенциального поля вдоль кривой AB не зависит от выбора кривой, а зависит

только от конечной и начальной точек B и A .

2.Из утверждений 1 и 5 следует, что условие rot A 0 является

необходимым и достаточным условием потенциальности поля A в поверхностно односвязной области.

7.6.Соленоидальное поле.

Определение. Непрерывно дифференцируемое векторное поле A

называется соленоидальным в области D , если поток этого поля через

любую замкнутую кусочно-гладкую замкнутую поверхность S D равен нулю: A n dS 0.

Определение. Область D называется объемно-односвязной, если S - замкнутой, кусочно-гладкой S D , часть пространства, ограниченного S , также лежит в D .

Спомощью формулы Остроградского-Гаусса доказывается необходимое

идостаточное условие соленоидальности поля.

Теорема. Для того, чтобы непрерывно-дифференцируемое векторное поле A было соленоидальным в объемно-односвязной области, необходимо

и достаточно, чтобы div A 0.

7.7. Контрольные вопросы и задания по теме «Элементы теории поля».

1. Дайте определение скалярного поля. Приведите примеры.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.08.2019493.06 Кб6konstituts_pravo_shpory.doc
#
23.12.20181.05 Mб21Kont_rab_finpidpr.doc
#
13.04.20152.13 Mб17Kopia_FireFlies_Presentation_NEW.pdf
#
16.09.2019220.23 Кб2kpu.docx
#
17.09.2019969.22 Кб20Kripograf_15.doc
#
13.04.2015645.02 Кб42Krivolinejnie_i_poverhnostnie_integrali.pdf
#
16.03.2016655.98 Кб15KR_6_KLASS_25_11_15_t (2).pdf
#
20.07.2019172.54 Кб13kulqtura.doc
#
18.09.20191.43 Mб22Kursach_2_SA.docx
#
13.04.20151.57 Mб138Kursach_ver_1_00.docx
#
13.04.201562.35 Кб23Kursovaya_po_FU_novaya.docx