Krivolinejnie_i_poverhnostnie_integrali
.pdfМинистерство образования и науки Украины Донецкий национальный университет Р.В. Макушина, В.И. Пайков, Н.И. Селякова
Криволинейные и поверхностные интегралы
(учебно-методическое пособие для студентов II курса дневной формы обучения по специальностям «Прикладная математика», «Информатика»)
Донецк 2008
ББК 22.161.5 УДК 517.5
Криволинейные и поверхностные интегралы
(учебно-методическое пособие для студентов II курса дневного отделения специальностей «Прикладная математика», «Информатика»).
Составители: Р.В. Макушина, В.И. Пайков, Н.И. Селякова. – Донецк: ДонНУ, 2008 – с.
Пособие содержит краткие теоретические сведения, рекомендации к решению задач, образцы решений типовых задач по теме «Криволинейные и поверхностные интегралы».
Составители: Р.В. Макушина, доц. В.И. Пайков, доц. Н.И. Селякова, асс.
Рецензент Г.А. Попова, доц.
Содержание |
|
1. Введение................................................................................................................................ |
5 |
2. Литература............................................................................................................................. |
6 |
Основная литература ............................................................................................................ |
6 |
Дополнительная литература................................................................................................. |
6 |
3. Рабочая программа................................................................................................................ |
7 |
4. Варианты индивидуальных заданий .................................................................................... |
9 |
5. Основные теоретические сведения и образцы решения типовых задач по теме |
|
«Криволинейные интегралы»................................................................................................. |
24 |
5.1. Определение криволинейного интеграла первого рода.............................................. |
24 |
5.1.1. Определение криволинейного интеграла первого рода....................................... |
24 |
5.1.2. Теорема о существовании и вычислении криволинейного интеграла первого |
|
рода.................................................................................................................................. |
24 |
5.2. Криволинейные интегралы второго рода.................................................................... |
25 |
5.2.1. Определение криволинейного интеграла второго рода....................................... |
26 |
5.2.2. Теорема о существовании и вычислении криволинейного интеграла второго |
|
рода.................................................................................................................................. |
27 |
5.2.3. Связь между криволинейными интегралами второго и первого рода................. |
27 |
5.3. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от |
|
пути интегрирования........................................................................................................... |
28 |
5.3.1. Формула Грина для односвязной области............................................................ |
28 |
5.3.2. Формула Грина для многосвязной области.......................................................... |
28 |
5.3.3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования в |
|
R2...................................................................................................................................... |
29 |
5.3.4. Восстановление функции по полному дифференциалу....................................... |
29 |
5.4. Приложения криволинейных интегралов к решению физических и геометрических |
|
задач..................................................................................................................................... |
30 |
5.4.1. Приложения криволинейных интегралов первого рода....................................... |
30 |
5.4.2. Приложения криволинейных интегралов второго рода....................................... |
30 |
5.5. Контрольные вопросы и задания по теме «Криволинейные интегралы». ................. |
30 |
5.6. Образцы решения типовых задач по теме «Криволинейные интегралы». ................ |
32 |
6. Основные теоретические сведения и образцы решения типовых задач по теме |
|
«Поверхностные интегралы».................................................................................................. |
40 |
6.1. Основные сведения из теории поверхностей.............................................................. |
40 |
6.1.1. Определение поверхности. Способы задания поверхности................................. |
40 |
6.1.2. Гладкая поверхность. Касательная плоскость...................................................... |
41 |
6.1.3. Площадь поверхности........................................................................................... |
41 |
6.1.4. Ориентация поверхности....................................................................................... |
42 |
6.2. Поверхностные интегралы I рода................................................................................ |
45 |
6.2.1. Определение поверхностного интеграла первого рода........................................ |
45 |
6.2.2. Вычисление поверхностного интеграла первого рода с помощью двойного |
|
интеграла......................................................................................................................... |
45 |
6.2.3. Приложения поверхностных интегралов первого рода....................................... |
46 |
6.3. Поверхностные интегралы второго рода..................................................................... |
46 |
6.3.1. Определение поверхностного интеграла второго рода........................................ |
47 |
6.3.2. Вычисление поверхностного интеграла второго рода с помощью двойного |
|
интеграла......................................................................................................................... |
47 |
6.4. Формула Остроградского-Гаусса................................................................................. |
48 |
6.5. Формула Стокса. .......................................................................................................... |
48 |
6.6. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути |
|
интегрирования в пространстве E3..................................................................................... |
50 |
6.7. Контрольные вопросы и задания по теме «Поверхностные интегралы»................... |
51 |
6.8. Примеры решения задач по теме «Поверхностные интегралы»................................ |
52 |
6.8.1. Поверхностные интегралы первого рода и их приложения................................. |
52 |
7. Элементы теории поля........................................................................................................ |
64 |
7.1. Основные теоретические сведения и образцы решения типовых задач по теме |
|
«Элементы теории поля».................................................................................................... |
64 |
7.1.1. Определение скалярного поля. ............................................................................. |
64 |
7.1.2. Характеристики скалярного поля. ........................................................................ |
64 |
7.2. Векторные поля и их характеристики. ........................................................................ |
65 |
7.2.1. Определение векторного поля. ............................................................................. |
65 |
7.2.2. Характеристики векторного поля......................................................................... |
66 |
7.3. Формула Остроградского-Гаусса................................................................................. |
67 |
7.4. Формула Стокса в векторной форме. .......................................................................... |
68 |
7.5. Потенциальное поле..................................................................................................... |
69 |
7.6. Соленоидальное поле................................................................................................... |
70 |
7.7. Контрольные вопросы и задания по теме «Элементы теории поля». ........................ |
70 |
7.8. Образцы решения типовых задач по теме «Элементы теории поля». ....................... |
71 |
8. Образец контрольной работы по теме «Криволинейные и поверхностные интегралы». 73 |
|
1. Введение
На втором курсе студенты математического факультета специальностей «Прикладная математика» и «Информатика» изучают следующие разделы математического анализа: кратные, криволинейные, поверхностные интегралы и элементы теории поля.
Эти разделы очень важны, так как они находят применение при решении различных прикладных задач и являются необходимыми при изучении фундаментальных курсов: дифференциальные уравнения и уравнения математической физики, теория вероятностей, физика, механика, численные методы и др.
Цель данного пособия – способствовать активному усвоению студентами теоретического материала и выработке у них необходимых навыков в решении задач.
Студенты должны уметь:
–вычислять криволинейные интегралы I и II рода, сводя их к интегралу по отрезку;
–вычислять поверхностные интегралы I и II рода, сводя их к двойному интегралу;
–применять кратные, криволинейные и поверхностные интегралы, основные теоремы интегрального исчисления (Формулы Грина, Остроградского, Стокса) и теорию поля для вычисления физических и геометрических величин.
2. Литература
Основная литература
1.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т. 1-2, М.: Высш.
шк., 1973
2.Ильин В.А., Садовничий В.А. Курс математического анализа, т.1-2,
М.: Наука, 1979.
3.Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д. Сборник задач по математическому анализу, т.2-3, М.: Наука, 1984.
4.Демидович Б.П. Сборник задач по математическому анализу. Учебное пособие, М.: Наука, 1979.
Дополнительная литература
5.Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч. и др. Математический анализ в
вопросах и задачах.
Функции нескольких переменных . Учебное пособие для вузов. М.:
Высш.шк., 1988.
3.Рабочая программа
3.1Криволинейные интегралы
3.1.1.Задача о вычислении массы материальной кривой. Криволинейные интегралы первого рода. ([1], т.2, §47, п.1.)
3.1.2.Теорема о существовании и вычислении криволинейного интеграла первого рода.
3.1.3.Задача о вычислении работы переменной силы. Криволинейные интегралы второго рода. ([1], т.2, §47, п.2)
3.1.4.Существование и вычисление криволинейного интеграла второго рода ([1], т.2, §47, п.34)
3.1.5.Формула Грина (о связи между криволинейным интегралом и двойным) для односвязной и многосвязной области ([1], т.2, §47,
п.5)
3.1.6.Условия независимости криволинейных интегралов от пути интегрирования в R2. Восстановление функции по полному дифференциалу. ([1], т.2, §47, п.8)
3.1.7.Приложения криволинейных интегралов к решению физических и геометрических задач.
3.2.Поверхностные интегралы
3.2.1.Поверхность. Гладкая и кусочно-гладкая поверхность. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. ([1], т.2, §50, п.1,2)
3.2.2.Площадь поверхности. Выражение площади поверхности двойным интегралом ([1], т.2, §50, п.2,5)
3.2.3.Задача о нахождении массы материальной поверхности. Поверхностные интегралы первого типа. Условия существования и сведения поверхностного интеграла к двойному ([1], т.2, §51, п.1)
3.2.4.Ориентация гладкой и кусочно-гладкой поверхности. Двусторонние поверхности. ([1], т.2, §50, п.6)
3.2.5.Задача о вычислении потока через сторону гладкой поверхности. Поверхностные интегралы второго типа, их существование и вычисление. ([1], т.2, §51, п.1,2)
3.2.6.Формула Остроградского-Гаусса (связь между тройным интегралом и поверхностным) ([1], т.2, §52, п.3)
3.2.7.Формула Стокса (связь между криволинейным интегралом и поверхностным) ([1], т.2, §52, п.3)
3.2.8.Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования в R3.
3.3.Элементы теории поля
3.3.1.Скалярное поле и его характеристики (поверхности и линии уровня, производная по направлению, градиент поля) ([1], т.2, §52,
п.1)
3.3.2. Векторное поле и его характеристики (поток, дивергенция, циркуляция, ротор). Векторные формулировки формул Остроградского и стокса. ([1], т.2, § ,52 п. 3)
3.3.3.Потенциальные векторные поля. Критерий потенциальности поля. ([1], т.2, § 52, п. 5)
3.3.4.Соленоидальные векторные поля. Критерий соленоидальности поля. ([1], т. 2, § 52, п. 4)
4. Варианты индивидуальных заданий
Вариант 1.
1.Вычислить криволинейные интегралы.
а) |
yds , |
где L – дуга параболы |
|||
|
L |
|
|
|
|
|
y2 = 2x |
от точки (0, 0) |
до точки (1, |
|
) |
|
2 |
||||
б) |
xdy ydx , где L – ломаная линия, состоящая из отрезка OB |
||||
|
L |
|
|
|
|
|
оси ох и отрезка BA, |
параллельного оси ОY О (0, 0) А (1, 2) |
|||
2.Применяя формулу Грина вычислить
|
х2 уdx (x2 |
y2 )dy, |
где L – пробегаемый в положительном |
|
|
L |
|
|
|
|
направлении контур, ограничивающий область –1≤ х ≤ 1 , х2≤ у ≤ 1. |
|||
|
|
1,0, 1 |
х2 |
2уz dx ( y2 2xz)dy (z2 2xy)dz. |
3. |
Вычислить |
|
||
|
|
1,2,3 |
|
|
4.Вычислить поверхностные интегралы
а) (x2 y2 )ds , где S – поверхность, отсекаемая от параболоида
S
x2 + y2 = 2z плоскостью z = 1.
б) |
|
zdxdy ydzdx xdydz , где S – внешняя сторона поверхности |
|
S |
|
куба, |
ограниченного плоскостями х = 0, х = 1, у = 0, у = 1, z = 0, |
|
z = 1. (не применяя формулу Остроградского) |
||
в) |
( y2 z2 )dxdy , где S - часть верхней стороны цилиндра |
|
|
S |
|
z
a2 x2 , 0 y b .
5.Применяя формулу Остроградского, вычислить поверхностный интеграл
xdydz ydzdx zdxdy , где S – внешняя граница области,
S
ограниченной поверхностью x2 + y2 = 2z (x2 + y2 ≤ 2z) и плоскостью
z = 2.
6.В каком направлении скалярное поле u (x, y, z) имеет наибольшую скорость изменения в точке М (–9, 12, 1)?
Чему равна наибольшая скорость, если u = xy – z2?
7.Вычислить работу A плоского поляF вдоль кривой , если
F x y i x y j, |
-часть графика y |
x |
от точки 1;1 до |
точки 2;2 .
8.Найти циркуляцию поляF z2i x2 j y2k вдоль контура
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
1 ориентированного по часовой стрелке, если следить |
|||||
|
x |
|
y |
|
z |
|
|||||||
|
|
x y z 1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
из точки O 0;0;0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
u |
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
в точке 1;1;1 в направлении вектора |
|
9. |
Найти |
|
|
, |
|
u |
|
|
|
|
|
||
|
|
a2 |
b2 |
c2 |
|||||||||
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
||||
l |
i j k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 2.
1.Вычислить криволинейные интегралы:
а) x2ds , где L – верхняя половина окружности х2 + у2 = а2
L
б) Найти работу силы F = sin y i + sin x j при перемещении вдоль линии L, где L – отрезок прямой, соединяющий точки (0, π) и
(π, 0)
2.Применяя формулу Грина, вычислить
xydx (y3 x)dy , где S – контур, составленный из дуги гиперболы
S
ху = 1 и отрезка прямой у = 5 – х, 1 ≤ х ≤ 2
2 2