Krivolinejnie_i_poverhnostnie_integrali

а). e

x2 y2 ds , где L - нижняя полуокружность единичного радиуса с

L

центром в начале координат.

б).

x2 ydy x3dx , где ABC - контур треугольника с вершинами A(-1,0),

ABC

x2dy (x 2y)dx , где

L - окружность x2 2y y2 1.

L

2,3,1

x2 2yz dx y2 2xz dy z2 2xy dz .

3. Вычислить

1,0,1

S

гиперболоида x2 y2 z2 1,

0 z 3.

1

1

1

7.

Вычислить работу поля F

;

;

вдоль прямолинейного отрезка,

y

z

x

соединяющего точки M 1;1;1

и N 2;4;8 .

8.

Найти циркуляцию поля F y; x;c

c const вдоль

окружности x 2 2 y2

1,

z 0 .

9.

Найти div grad u

u xy yz .

а). (x2 y2 xy2 )ds ,

где L - дуга гиперболы y

1

между точками

x

L

(

1

,2 ) и (2,

1

);

2

2

б).

2xydx y2dy , где AB - ломаная с началом в точке A(1,0) и концом в

(2xy x2 )dx (x3

y3 )dy , где L - пробегаемый в положительном

L

направлении контур треугольника ABC с вершинами A(0,2), B(0,0) ,

C(1,0) .

2,3

xdy y dx

3. Вычислить

вдоль путей, не пересекающих начало

x

2

y

2

1, 2

а). (x2 y2 x2 z2 )ds , где S - поверхность

части конуса z

x2 y2 ,

S

осекаемая цилиндром x2 y2 2x .

S

x2 y2 z,

0 z H .

x2 y

2

sin x2 y2

.

9. Найти div grad u

u e

Пусть в пространстве R3 задана простая спрямляемая кривая , и на этой

кривой задана функция f x, y, z .

Возьмем произвольное разбиение

этой

кривой точками M

на

n частей:

M

n .

Обозначим длину дуги

i

M

M

i 1

i

i 0

i

через si

(так

как

–

спрямляема, то

при

i 1,..., n;

si

–

число).

Число

max

i

назовем шагом разбиения . Выберем произвольно на каждой

s

i

частичной дуге точку

n

M i и составим сумму

f , , M i f M i si , которую

i 1

назовем интегральной суммой для функции f

по кривой .

Если существует

– число, не зависящее ни от

lim f , , M i I , где I

0

способа разбиения, ни от выбора точек

I

называется

M i , то число

криволинейным интегралом первого рода и обозначается

I f x, y, z ds .

lim

При этом

что для

n

f , , M i I 0; 0 такое,

Mi i 0

0

кривой с шагом

выполняется

M

M

и для любого выбора точек M i

i

1

неравенство

i

.

f , , M i I

Замечание. Если – незамкнутая кривая с концами A и B , то

криволинейный интеграл обозначается также

f x, y, z ds .

AB

Из определения следует, что криволинейный интеграл первого рода не

зависит от того, в каком направлении (от A к B или от B к A ) пробегается

кривая , то есть

f x, y, z ds f x, y, z ds .

AB

BA

Если f x, y, z 1,

то ds lAB

- длине кривой AB .

AB

отрезку)

Если – простая гладкая кривая Жордана,

заданная параметрическими

уравнениями

x x t , y y t , z z t , t и на

задана

f x, y, z , причем

f x t

, y t , z t

интегрируема на ,

, то

dt .

f

x, y, z

ds

f x

t

, y

t

, z

t

x 2

y 2

z 2

t

t

t

AB

Замечания.

а)

Выражение

называется дифференциалом

дуги

ds

xt 2

yt 2 zt 2 dt

гладкой кривой .

Итак, для вычисления f x, y, z ds

нужно:

x x t , y y t , z z t ,

1) параметризовать

кривую

:

и указать

изменение параметра t t ,

2) заменить в подынтегральной функции x, y, z их выражением через

параметр t ;

3) найти дифференциал дуги

dt ;

ds

xt 2 yt 2 zt 2

4) воспользоваться равенством

dt .

(1)

f

x, y, z

ds

f

x

t

, y

t

, z

t

x 2

y 2

z 2

t

t

t

AB

y y x ;

б)

Если плоская кривая задана уравнением

a x b , причем

y x

имеет

непрерывную

производную

на

a,b ,

то

dx и

ds

2

1 yx

справедливо равенство

b

f x, y ds f x, y x

2

dx

.

(2)

1 yx

в) Если плоская кривая Г задана в полярных координатах уравнением

,

,

и

имеет непрерывную производную на

, , то

ds

2

2

d и справедливо равенство

f x, y ds

f cos , sin

2

2 d .

(3)

Пусть AB простая,

спрямляемая, ориентированная от A к B кривая и на

этой

кривой

задана

векторная

функция

F x, y, z P x, y, z i Q x, y, z j R x, y, z k .

Возьмем

произвольное

разбиение

M

n

этой

кривой

M0 A,..., Mn B . На каждой частичной дуге

i

i 0

i 1

выберем произвольную

Mi M

и составим систему вида

точку M i

n

которую

будем

называть

интегральной

F, , M i F

M i

Mi M i 1 ,

i 1

суммой для функции F x, y, z

по ориентированной кривой AB .

Обозначим через

max

s

.

i

i

Учитывая,

что

Mi M i 1

xi i yi j zi k ,

интегральную

сумму

можно

n

xi

представить в виде F, , M i

P M i

Q M i yi

R M i zi .

Определение.

i 1

Число

I

называется пределом

интегральной

суммы

при 0, что для M

n

ориентированной кривой AB и для

F, , M i

0

i

i

Mi M i 1 выполняется неравенство

.

M i

F, , M i I

Если

то он называется криволинейным интегралом

lim F, , M i I ,

0

второго рода и обозначается

I P x, y, z dx Q x, y, z dy R x, y, z dz F x, y, z d r

dr i dx j dy k dz

.

AB

AB

Замечания.

n

I1 , то I1

P x, y, z dx . Аналогично,

а) Если существует lim P M i xi

0

i 1

AB

lim

n

I2 Q x, y, z dy,

lim

n

zi

I3 R x, y, z dz .

Q

M i yi

R

M i

0

i 1

AB

0

i 1

AB

Очевидно,

если

существует I1, I2 , I3 ,

то

существует

и

P x, y, z dx Q x, y, z dy R x, y, z dz I1 I2 I3 .

AB

б) Ориентация кривой существенна:

Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy Rdz

AB

BA

где

a P i Q j R k,

i cos j cos k cos -

единичный касательный

вектор

к кривой в

точке

M x, y, z , направление

которого

соответствует

ориентации кривой

AB , , , - углы между касательным

вектором и

осями OX ,OY,OZ .

Теорема. Пусть функции

P x, y ,Q x, y и

их производные

P

и

Q

y

x

непрерывны в замкнутой односвязной области D и - кусочно-гладкий

контур-граница области D , тогда

Q

P

dx dy P x, y dx Q x,

y dy ,

(6)

D x

y

Q

P

dx dy Pdx Qdy ,

(7)

x

D

y

Пусть AB гладкая (кусочно-гладкая) кривая. Тогда

а) длина кривой l ds

(9)

AB

б)

если x, y, z -

линейная плотность, распределенная вдоль

материальной кривой , то масса кривой

m x, y, z ds

(10);

статические моменты кривой относительно координатных плоскостей

M XOY

z x, y, z ds; MYOZ

x x, y, z ds; MZOX

y x, y, z ds

(11);

координаты центра тяжести кривой

x

MYOZ

;

y

MZOX

; z

c

M XOY

;

(12)

c

m

c

m

m

S xdy , или S

ydx , или S

1

xdy ydx

2

б)

работа

силы

F x, y, z P x, y, z i Q x, y, z j R x, y, z k

при

перемещении единичной

массы из точки A в точку B

по кривой

AB

вычисляется по формуле

P x, y, z dx Q x, y, z dy R x, y, z dz

(13)

AB