Krivolinejnie_i_poverhnostnie_integrali

где определители A, B,C определены в теореме 1.

Замечание. Площадь поверхности называется ее мерой и обозначается mS P .

Замечание 1. Теорема справедлива и для кусочно-гладких поверхностей. Замечание 2. Для поверхностей, заданных явно уравнением z z x, y ,

называют элементом площади поверхности. Итак, площадь поверхности

называют выбором стороны поверхности. Любая гладкая поверхность, заданная параметрически, имеет две стороны и называется двусторонней.

Например, если гладкая поверхность задана явно z z x, y , то выбрав в

какой-то точке поверхности вектор нормали так, чтобы он составлял положительным направлением оси OZ острый угол (cos 0 ), мы тем самым выбираем верхнюю сторону поверхности, на которой непрерывное поле нормалей можно задать вектор-функцией N M zx M , zy M ,1 .

n

Z

S

X

N A, B, C , где A, B,C определяются равенством (1).

Двусторонние поверхности называются ориентируемыми, а выбор определенной стороны (выбор поля нормалей) называется ориентацией поверхности.

Ориентацию гладкого куска поверхности можно также задавать, выбирая направление обхода края гладкого куска.

Пусть S - ориентированный кусок гладкой поверхности (то есть, выбрано поле нормалей). Направление обхода края поверхности L считается положительным (согласованным с ориентацией поверхности), если наблюдатель, находящийся на поверхности так, что выбранный вектор нормали совпадает с направлением от его ног к голове, обходя край поверхности, видит выбранную сторону поверхности все время слева от себя. Обход в противоположном направлении считается отрицательным.

n

Рис Понятие двусторонней поверхности можно ввести и для кусочно-

гладкой поверхности. Кусочно-гладкая поверхность S , состоящая из

существует такая согласованная ориентация ее кусков, при которой части контуров соседних поверхностей находятся в противоположных направлениях.

S1

Рис 12 Очевидно, что для ориентируемой кусочно-гладкой поверхности задание

ориентации одного куска определяет ориентацию всей поверхности.

6.2. Поверхностные интегралы I рода.

6.2.1. Определение поверхностного интеграла первого рода.

конечное число измеримых, попарно не имеющих общих внутренних точек поверхностей Si : S k Si . На каждой поверхности Si выберем Mi Si и

6.2.2. Вычисление поверхностного интеграла первого рода с помощью двойного интеграла.

Теорема 3. Пусть S - простая гладкая поверхность, заданная

Из данной теоремы следует, что для вычисления поверхностного интеграла первого рода нужно:

1.Задать поверхность S параметрически и указать область D изменения параметров.

3.Найти элемент площади dS A2 B2 C2 dudv .

4.Воспользоваться равенством (6) и вычислить двойной интеграл.

6.2.3.Приложения поверхностных интегралов первого рода.

6.3. Поверхностные интегралы второго рода.

где A, B,C - ранее введенные определители (1), причем выбор знака перед двойным интегралом зависит от выбора стороны поверхности (то есть от выбора знака перед радикалом в направляющих косинусах нормали (5)). Итак, для вычисления поверхностных интегралов второго рода нужно:

1.Задать поверхность S параметрически и указать область D изменения параметров.

2.Найти определители A, B,C .

3.В соответствии в выбранной ориентацией поверхности определить, какой знак нужно выбрать перед двойным интегралом в формуле (8).

4.Вычислить двойной интеграл.

6.4.Формула Остроградского-Гаусса.

Втеории двойных и криволинейных интегралов мы ознакомились с формулой Грина, связывающей двойной интеграл по плоской области D с криволинейным интегралом по контуру области. Ее аналогом в теории тройных и поверхностных интегралов служит формула ОстроградскогоГаусса, связывающая тройной интеграл по пространственной области с поверхностным интегралом по границе этой области.

Теорема 5. Пусть функции P x, y, z , Q x, y, z , R x, y, z и их частные

производные P , Q , R непрерывны в замкнутой области D , ограниченной

x y z

простой кусочно-гладкой поверхностью S . Тогда справедлива формула

где поверхностный интеграл берется по внешней стороне поверхности.

Формула (9) называется формулой Остроградского-Гаусса, она находит широкое применение при вычислении поверхностных интегралов.

6.5. Формула Стокса.

Формула Стокса связывает поверхностный интеграл по поверхности S с криволинейным интегралом по кривой, являющейся границей (краем) поверхности.

Напомним определение согласованной (положительной) ориентации поверхности и обхода края поверхности.

Пусть S - ориентированная поверхность, ограниченная замкнутым контуром C . Говорят, что направление обхода контура C согласовано с ориентацией поверхности S , если наблюдатель, находясь на выбранной стороне поверхности S (то есть направление от ног к голове совпадает с

направлением выбранной нормали) при обходе контура C видит выбранную сторону поверхности слева от себя.

Если граница состоит из нескольких замкнутых контуров, то для каждого из них положительное направление обхода определяется таким же образом.

n

n

C1 C2

Замечание 2. Если в качестве куска поверхности взять плоскую область D на плоскости XOY , то есть положить z 0 , то получим формулу Грина

Таким образом, формула Грина является частным случаем формулы Стокса.

Формула Стокса находит широкое применение при вычислении и исследовании криволинейных интегралов в пространстве.

6.6. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования в пространстве E3.

Для криволинейных интегралов второго рода в пространстве справедлива теорема об условиях независимости их от пути интегрирования, в которой используется понятие поверхностно-односвязной области.

Определение. Область D E3 называется поверхностно односвязной, если для любого замкнутого контура D найдется поверхность S D , ограниченная контуром .

Примером поверхностно односвязных областей служат шар, параллелепипед, область, ограниченная концентрическими сферами.

расположенного в области D .

3.Выражение Pdx Qdy Rdz является полным дифференциалом, то есть u x, y, z , что du Pdx Qdy Rdz и для любой кусочно-

гладкой кривой AB , лежащей в D , имеет место равенство

Pdx Qdy Rdz u B u A .

AB

4. В области D выполняются равенства

Замечание. По заданному полному дифференциалу