Мет.атом

п. 4.3. При обозначении спектральные термы атомов щелочных металлов характеризуются двумя квантовыми числами: n и l. Главное квантовое число n ставится впереди и обозначается цифрой. За ним указывается орбитальное квантовое число l, которое обозначается буквой в соответствии с таблицей:

Например, обозначение 3s обозначает терм с n = 3, l = 0.

п. 4.4. В спектроскопии для характеристики состояния электрона в атоме принято пользоваться числами n, l, j, 2s+1 и заменять число l буквой в соответствии с таблицей 1. Сначала пишут численное значение числа n, за ним букву, которая заменяет число l, число j пишут справа от этой буквы в качестве нижнего индекса, а в качестве верхнего индекса слева от той же буквы пишут число = 2s+1, которое называется мультиплетностью уровня:

Например, в состоянии 42d3/2 (четыре дублет d3/2) n = 4, l = 2, s = 1/2, j =

3/2.

п. 4.5. Для многоэлектронных атомов в случае нормальной связи спектральные термы принято обозначать символами, подобными символам,

используемым для описания состояния электрона: (L)J . Здесь = 2S+1, мультиплетность уровня, J – квантовое число полного момента, L – символ состояния, определяемого квантовым числом результирующего орбитального момента в соответствии с таблицей (4.16), только большими латинскими буквами: S, P, D и т. д.

Например, в состоянии 3Р1 L = 1, = 2S+1 =3, J = 1.

Следует отметить, что мультиплетность даёт количество подуровней только в случае S < L (в случае же S > L, число подуровней равно 2L+1).

Для одноэлектронных атомов, несмотря на то, что энергетические состояния электрона и атома совпадают, термы принято обозначать, как и для многоэлектронных атомов, большими буквами.

п. 4.6. Совокупность электронов атома с одинаковыми значениями квантового числа n, образуют слой. В соответствии со значением n слои обозначают большими буквами латинского алфавита следующим образом:

Слои подразделяют на оболочки, отличающиеся квантовым числом l. Различные состояния в оболочке отличаются значениями квантовых чисел m и ms. Возможные состояния электронов в атоме и их распределение по слоям и оболочкам показано в таблице, в которой вместо обозначений ms 1/2 и -1/2

использованы для наглядности стрелки и .

п. 4.7. Распределение электронов по состояниям в многоэлектронном атоме называют электронной конфигурацией. Их обозначают символически, например, так:

1s22s22p63s.

Это означает, что в атоме имеются два 1s-электрона, два 2s-электрона, шесть 2p-электронов и один 3s-электрон. В данном примере приведена электронная конфигурация атома Na.

Примеры решения задач

Задача 1. Определить наиболее вероятное расстояние электрона от ядра в атоме водорода, если атом находится в 1s-состоянии. Собственная волновая функция, отвечающая основному состоянию электрона в атоме водорода,

(r) e r/a / a3 , где r – расстояние от ядра, a 4 0 2 /me2 - радиус первой боровской орбиты.

Решение. Квантовомеханическое описание состояния частицы имеет статистический характер. Оно не позволяет определить точное местонахождение частицы в пространстве. С помощью волновой функции можно лишь найти, с какой вероятностью частица может быть обнаружена в различных точках пространства.

Согласно (3.6) вероятность нахождения электрона в элементарном объёме dV, находящемся на расстоянии r от ядра, равна:

dP (r)2 dV .

Здесь (r)2 w(r) - плотность вероятности обнаружения частицы в шаровом

слое радиуса r толщиной dr, dV – объём этого шарового слоя. В сферической системе координат

dV 4 r2dr.

Подставляя значения (r) и dV в предыдущую формулу, получим

43

Наиболее вероятным называют расстояние rв электрона от ядра, при котором функция w(r) имеет максимум. Найдём rв из условия: w (r) 0. Продифференцировав w(r), получим:

2re 2r /a 2r2 e 2r /a 0.

a

Отсюда

rв a.

Следовательно, наиболее вероятное расстояние электрона от ядра в рассмотренном случае равно радиусу первой боровской орбиты.

Задача 2. Сколько спектральных линий, разрешённых правилами отбора, возникает при переходе атомов лития в основное состояние из состояния 4р?

Решение. Основным состояниям лития является состояние 2s (п. 4.2), следовательно, необходимо определить число разрешённых спектральных линий при переходе 4p 2s.

В состоянии 4р l = 1 (п. 4.3). Литий - щелочной металл, его электронная оболочка содержит один валентный электрон, для которого s = 1/2.

Квантовое число полного момента импульса электрона j = l ± s. В нашем случае

состояний с разными значениями j и mj.

В состоянии 2s l =0, s = 1/2, j = l + s = 1/2 , (значение j = l - s = -1/2 – не реализуется, т. к. квантовое число j не может принимать отрицательные значения). Следовательно, в этом случае возможны 2j + 1 = 2 различных состояний.

Для квантового числа j действует правило отбора, согласно которому возможны только те переходы между уровнями, при которых j 0, 1. Этому требованию удовлетворяю все возможные комбинации состояний при переходе 4p 2s, следовательно, возможно возникновение 2N = 2∙6= 12 спектральных линий.

Задача 3. Головная линия резкой серии атомарного цезия представляет собой дублет с длинами волн 1 = 1469,5 и 2 = 1358,8 нм. Найти частотные интервалы между компонентами следующих линий этой серии.

Решение. Атомарный цезий принадлежит к классу щелочных металлов, электронная оболочка которых содержит один валентный электрон. В резкой

серии щелочных металлов наблюдаются линии, для которых * np ms, m n 1, n 2,....

44

Согласно (4.5) энергетические уровни щелочных металлов определяются формулой:

Enl hcTnl 2 2(n l )2 .

Для серии значения s и p не меняются, а так как величина расщепления спектральной линии – это результат спин-орбитального взаимодействия, то и от n величина расщепления не зависит. Тогда

hc hc

E E1 E2 1 2 h ,

или

2 с 22 11 1,045 1014с 1.

Задача 4. Определить возможные значения орбитального момента импульса ML в возбуждённом атоме водорода, если энергия возбуждения

12,09 эВ.

Решение. Орбитальный момент импульса ML в атоме водорода равен моменту импульса его электрона Ml, который определяется квантовым числом l по формуле (4.3). Так как ряд возможных значений l ограничен величиной n-1, найдём главное квантовое число n, используя формулу для собственных значений энергии электрона в атоме водорода (4.2), приняв Z = 1.

Энергия возбуждения – это квант энергии, поглощённый атомом при переходе из основного состояния (n = 1) в возбуждённое. Следовательно,

En E1 .

Энергия электрона в основном состоянии:

Е1 me (ke22 )2 = -13,6 эВ. 2

Учитывая, что En E1 /n2 , получим:

Следовательно, l = 0, 1, 3.

Теперь по формуле (4.2) найдём возможные значения Ml:

при l = 0 M = 0;

при l = 1 M = 2 1,49 10 34 Дж·с;

при l = 2 M = 6 2,6 10 34 Дж·с.

Задача 5. Выписать спектральные обозначения термов атома водорода, электрон которого находится в состоянии с главным квантовым числом n = 3.

45

Решение. При заданном главном квантовом числе n орбитальное квантовое число принимает значения: l = 0, 1, 2,…, n-1. Следовательно, если n 3, то l = 0, 1, 2.

В одноэлектронном атоме квантовое число полного момента импульса j = l ±s =l ±1/2. При указанных выше значениях l возможны следующие

Согласно методическим указаниям (п. 4.3 - 4.4) имеем следующие термы:

3s1/2, 3p1/2, 3p3/2, 3d3/2, 3d5/2.

Задача 6. Найти кратность вырождения состояний 2Р, 3D и 4F с максимально возможными значениями полного механического момента.

Решение. В состоянии 2Р квантовое число результирующего орбитального момента атома L = 1 (п. 4.3 – 4.4), мультиплетность 2S+1 = 2, следовательно, спиновое число S = 1/2. При заданных L и S квантовое число J может принимать значения:

J L S, L S 1,..., L S ,

тогда максимальное значение полного момента

MJ L S =3/2.

Кратность вырождения – это число возможных состояний атома с одинаковыми значениями энергии. Так как L и S заданы, то число таких состояний будет определяться числом возможных значений проекций полного момента, которое равно 2J+1 = 4.

Аналогично:

всостоянии 3D: L = 2, 2S+1 = 3, S = 1, J = 3, 2J+1 = 7;

всостоянии 4F: L = 3, 2S+1 = 4, S = 3/2, J = 9/2, 2J+1 = 10.

Задача 7. Найти максимально возможный полный механический момент и соответствующий спектральный символ терма атома в состоянии с электронной конфигурацией 1s22p3d.

Решение. Из электронной конфигурации атома видно, что в нём имеются два 1s-электрона, один 2p-электрон и один 3d-электрон.

Максимальный полный механический момент будет складываться из максимальных спинового и орбитального моментов (4.17). Это относится и к соответствующим квантовым числам.

В случае нормальной связи согласно (4.16) и п. 4.3, 4.6 методических указаний:

Lmax 0 1 2 3, Smax 1/2 1/2 1/2 1/2 1.

В результате согласно (4.18) получим:

46

Задача 8. Антикатод рентгеновской трубки покрыт молибденом (Z = 42). Найти приближённо минимальную разность потенциалов, которую надо приложить к трубке, чтобы в спектре рентгеновского излучения появились линии К-серии молибдена.

Решение. К-серия в характеристическом рентгеновском излучении возникает при переходах электронов на самый глубокий К-слой (n = 1) с менее глубоких слоёв L (n = 2) M (n =3) и т. д. Для того, чтобы любой из таких переходов стал возможным, необходимо появление вакантного места в К-слое. Так как внутренние слои L, M и т. д. целиком заполнены электронами, для образования вакансии один из двух электронов К-слоя должен быть вырван из атома или переведён на внешний, не заполненный электронами слой.

Минимальную энергию, необходимую для удаления электрона К-слоя из атома, можно приближённо вычислить по закону Мозли (4.20). Положив в этой формуле ni =1 и nk = и приняв приближённо, что постоянная экранирования для всех линий К-серии = 1, можно найти энергию излучения атома, соответствующую переходу внешнего электрона на К-слой:

R(Z 1)2.

Очевидно, такую же энергию должен получить атом при обратном процессе – вырывании электрона из К-слоя.

Энергию атом молибдена получает в результате удара об антикатод электрона, обладающего кинетической энергией T = eU. Разность потенциалов U будет минимальной, когда вся энергия электрона eUmin поглотится атомом, т.е.

что длина волны K -линии железа (Z2 = 26) равна 193 пм.

Решение. В характеристических рентгеновских спектрах длина волны K -линий подчиняется закону Мозли (4.21). Для атомов меди и железа Z достаточно велико, таким образом поправку нельзя считать равной единице, однако, учитывая, что Z1 и Z2 имеют близкие значения, можно считать, что

1 2.

Записав закон Мозли для каждого из атомов и исключив из них , получим:

Учитывая, что

2 c,

Задача 10. Найти порядковый номер Z лёгкого элемента, у которого в спектре поглощения рентгеновкого излучения разность частот К- и L-краёв

поглощения равна 6,85 1018с 1.

Решение. Частоты, соответствующая краям поглощения К- и L-серий, определяются энергиями связи электронов на указанных уровнях. Тогда - это разность энергий связи К- и L-электронов. Из рис. 4.2 видно, что эта разность равна просто энергии перехода между L- и К-уровнями, которая связана с частотой K -линии и определяется законом Мозли (4.21):

3 R(Z 1)2 .

4

Отсюда найдём:

Z 1 4 /3R 22,

т. е. искомый элемент – титан.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Электрон атома водорода находится в стационарном состоянии,

описываемом волновой функцией (r) Ae r , где А и - некоторые постоянные. Найти энергию Е электрона и постоянную .

2 2 me2

Ответ: E 2m , 2 .

2. Энергия связи валентного электрона атома лития в состояниях 2s и 2p равна соответственно 5,39 и 3,54 эВ. Вычислить ридберговские поправки для s- и p-термов этого атома

Ответ: s 0,41, p 0,04.

3.Определить потенциал ионизации и первый потенциал возбуждения атома натрия, у которого ридберговские поправки основного терма 3s и терма 3p равны соответственно 1,37 и 0,88.

Ответ: Ui = 5,1 В, U1 =2,1 B.

4.Вычислить ридберговские поправки s-, p-, и d-термов атома лития, если известно, что энергия связи валентного электрона в основном состоянии равна Е0 = 5,39 эВ, первый потенциал возбуждения i =1,85 В и длина волны

головной линии диффузной серии 610 нм. Какой из перечисленных термов наиболее близок к водородоподобным и чем это обусловлено?

48

5. Найти ридберговскую поправку 3p-терма атома Na, первый потенциал возбуждения которого i = 2,1 В, а энергия связи валентного электрона в основном 3S-состоянии Е0 = 5,14 эВ.

E0 e 1

6. Найти энергию связи валентного электрона в основном состоянии атома лития, если известно, что длины волн головной линии резкой серии и её коротковолновой границы равны соответственно 1 813 нм и к 350 нм.

R

Ответ: Есв R 1 2 /2 c 1 2 5,3 эВ.

7. Определить длины волн спектральных линий, возникающих при переходе возбуждённых атомов лития из состояния 3s в основное состояние 2s.

волны головной линии резкой серии, если известно, что длины волн головной линии главной серии и её коротковолновой границы равны 321,0 и 68,3 нм.

Ответ: p 0,05, 177нм.

9. Длины волн компонент жёлтого дублета резонансной линии натрия, обусловленной переходом 3p 3s, равны 589,00 и 589, 56 нм. Найти величину расщепления p-терма в эВ.

Ответ: E 2 c / 2 2 мэВ.

10.Определить возможную мультиплетность терма D3/2.

Ответ: 2, 4, 6, 8.

11.Сколько и какие значения квантового числа J может иметь атом в состоянии с квантовыми числами S и L, равными соответственно:

а) 2 и 3; б) 3 и 3; в) 5/2 и 2?

Ответ: а) 1, 2, 3, 4, 5; б) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6;

в) 1/2, 3/2, 5/2, 7/2, 9/2.

12. Определить число возможных состояний атома с заданными значениями квантовых чисел L и S.

Ответ: (2J 1) (1S 1)(2L 1).

J

13.Атом находится в состоянии 4F, имея при этом максимально возможный полный механической момент. Определить кратность вырождения этого состояния по J. Каков физический смысл полученной величины?

Ответ: 10 (это число состояний с различными значениями mJ).

14.Известно, что в F- и D-состояниях число возможных значений квантового числа J одинаково и равно пяти. Определить спиновый механический момент в этих состояниях.

состоянию соответствует пять термов одинаковой мультиплетности, но с различными значениями квантового числа J.

которого равна пяти, кратность вырождения по квантовому числу J – семи и значение орбитального квантового числа равно максимально возможному в этих условиях.

Ответ: 5H3.

18. Определить максимально возможный орбитальный механический момент атома в состоянии, мультиплетность которого равна пяти и кратность вырождения по J – семи. Написать спектральное обозначение соответствующего терма.

22.Найти кратность вырождения основного терма атома, электронная конфигурация единственной незаполненной подоболочки которого d6.

Ответ: Основной терм этой конфигурации 5D4, его кратность вырождения по J равна девяти.

23.Определить длину волны Кα–линии элемента периодической системы, начиная с которого следует ожидать появления L-серии характеристического рентгеновского спектра.

Ответ: 1,22 нм (натрий).

24.Найти напряжение на рентгеновской трубке с никелевым антикатодом, если разность длин волн Кα–линии и коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра равна 84 пм, Z = 28.

Ответ: U = 15 кВ.

50

25. Найти постоянную экранирования σ для L-серии рентгеновского спектра, если известно, что при переходе электрона в атоме вольфрама (Z = 74) с М- на L-слой испускаются лучи с длиной волны λ = 147 пм.

Ответ: 7,8.

26. Вычислить с помощью закона Мозли:

а) длину волны Кα–линии алюминия и кобальта;

б) разность энергий связи K- и L– электронов ванадия (Z =23).

Ответ: а) 843пм для Al, 180 пм для Co; б) Е 5кэВ.

27. Найти энергию связи K–электрона ванадия (Z =23), для которого длина волны L-края полосы поглощения L 2,4 нм.

Ответ: Есв (3/4) R(Z 1)2 2 c / L 5,5кэВ.

28. При увеличении напряжения на рентгеновской трубке от U1 =10 кВ до U2 =20 кВ разность длин волн Кα–линии и коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра увеличилась в 3 раза. Какой элемент используется в качестве антикатода? Иметь в виду, что данный элемент является лёгким.

29. Какие серии характеристического рентгеновского спектра возбуждаются в молибдене и серебре Кα–излучением серебра?

Ответ: В молибдене – все серии, в серебре – все, кроме К-серии.