Мет.атом
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ОБЩЕЙ ФИЗИКИ И ДИДАКТИКИ ФИЗИКИ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО КУРСУ «ФИЗИКА АТОМА И АТОМНЫХ ЯВЛЕНИЙ»
(для студентов специальностей: «Физика», «Компьютерный эколого-экономический мониторинг»)
Рекомендовано к изданию решением совета физического факультета (протокол № 1 от 18.09.09)
Донецк ДонНУ 2009
2
УДК 378.147:52
Методические указания к решению задач по курсу «Физика атома и атомных явлений» (для студентов специальностей: «Физика», «Компьютерный эколого-экономический мониторинг») / Коломенская В.В. – Донецк: ДонНУ, 2009. – 52 с.
Методические указания составлены в соответствии с учебным планом по указанным специальностям. Учебный материал разбит на четыре раздела. В каждом разделе приведен краткий теоретический материал, содержащий основные формулы, и методические указания, необходимые для решения задач. Даны примеры решений типовых задач с подробной методикой их решения. Приведено большое количество задач для самостоятельного решения (с ответами), что позволяет подготовить индивидуальные задания для студентов по каждой теме.
Составитель: доц. Коломенская В.В.
Рецензенты: к. ф.-м.н., доц. Пицюга В.Г. к. ф.-м.н., доц. Зуйкова З.Г.
3
1. Квантовая природа электромагнитного излучения.
Основные формулы.
Зависимость массы релятивистской частицы от её скорости v:
m m / |
1 2 . |
(1.1) |
0 |
|
|
Здесь m0 – масса покоящейся частицы, v/c, где с = 3∙108 м/с – скорость света в вакууме.
|
|
Релятивистский импульс |
|
|
|
|
|
|||
|
|
p mv m v/ |
1 2 |
. |
|
|
(1.2) |
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кинетическая энергия Т релятивистской частицы вычисляется как |
||||||||
разность между полной энергией частицы |
Е = mc2 и энергией её |
покоя |
||||||||
E |
0 |
m c2 . |
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т = mc2 - m0c2. |
|
|
(1.3) |
|||||
|
|
Соотношение между полной энергией Е, импульсом р и кинетической |
||||||||
энергией T релятивистской частицы с массой покоя m0: |
|
|||||||||
|
|
Е2 (рc)2 (m c2)2, |
pc |
Т(Т 2m c2) |
. |
(1.4) |
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Энергия кванта света (фотона): |
|
|
|
|
|
|||
|
|
h |
hc |
, |
|
|
|
|
(1.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где h = 6,626176∙10-34 Дж∙с – постоянная Планка, h/2 =1,05459∙10-34 Дж∙с –,
постоянная Планка - перечеркнутая или дираковская, - частота, 2 - циклическая частота, - длина волны излучения.
Импульс фотона:
р |
|
|
h |
|
2 |
k , |
|
(1.6) |
с |
c |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
где k 2 / - волновое число. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Фотон движется со скоростью света. Его масса: |
|
|||||||
|
|
m h /c2 . |
|
(1.7) |
||||
Связь между энергией фотона h , вызывающего внешний фотоэффект, и |
||||||||
максимальной кинетической энергией Тm |
вылетающих |
электронов |
||||||
определяется формулой Эйнштейна: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
h A Тm , |
|
(1.8) |
||||
где А – работа выхода электрона из металла. |
|
|
||||||
Максимальная кинетическая энергия Тm |
фотоэлектронов |
в формуле |
||||||
Эйнштейна (1.8) для фотоэффекта: |
|
|
|
|
|
|||
Тm eUз e(U2 U1), |
|
(1.9) |
||||||
где Uз - задерживающая разность потенциалов, U1 - внешняя разность потенциалов (показание вольтметра, при котором ток обращается в нуль задерживающим полем), U2 - внешняя контактная разность потенциалов между
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
катодом |
и анодом (показание вольтметра, соответствующее началу |
тока |
|||||||||
|
I |
насыщения) (рис. 1.1). |
|
|
|
||||||
|
Коротковолновая |
граница сплошного |
|||||||||
|
2 |
рентгеновского спектра: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 c |
|
1,24 |
|
|
||
|
|
|
|
min |
|
, |
(1.10) |
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
Uз |
|
|
|
|
eU |
eU |
|
|||
|
где [U] = кВ, [ ]= нм. |
|
|
|
|||||||
|
|
Изменение длины волны рентгеновс- |
|||||||||
U1 |
0 U2 |
ких лучей при комптоновском рассеянии: |
|||||||||
U |
|
' c |
(1 cos ), |
(1.11) |
|||||||
|
|
|
|
||||||||
|
Рис. 1.1 |
|
|
h |
|
|
|
||||
|
|
где c |
|
|
- комптоновская длина волны |
||||||
|
|
m c |
|||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
частицы, |
и - длины волн излучения до и после рассеяния, m0 – масса покоя |
||||||||||
частицы, - угол рассеяния. Для электрона с = 0,0242 Ǻ. |
|
|
|
||||||||
Методические указания.
п. 1.1. Микрочастицу можно считать классической частицей, если её кинетическая энергия Т<<E0, где E0 = m0c2 - энергия покоя микрочастицы. Для электрона E0 = 0,511 МэВ.
п. 1.2. Так как при фотоэффекте согласно (1.8) T h , то предыдущее условие для электрона будет заведомо выполняться при условии h m0c2
или hc/ m0c2 . Учитывая, что комптоновская длина волны c h/m0c (для электрона с 0,0242 Ǻ), последнее неравенство можно записать так:
c .
Если это неравенство не выполняется, электрон следует считать релятивистской частицей.
Примеры решения задач
Задача 1. Определить максимальную скорость электронов, вылетающих из меди под действием -излучения с длиной волны = 0,029 Ǻ.
Решение. Применим формулу Эйнштейна (1.8). Заметим, что длина волны -излучения близка к комптоновской длине волны c для электрона, следовательно, энергия фотона h – величина одного порядка с энергией покоя электрона E0 = 0,511 МэВ. Так как при этом работа выхода для меди А = 4,47 эВ, то А << h , и величиной А в (1.8) можно пренебречь, а электрон рассматривать как релятивистскую частицу, кинетическая энергия которой выражается формулой (1.3). Тогда имеем
hc |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
m c |
|
|
|
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
1 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
5
Введя c h/m0c, найдём относительную скорость электрона:
с ( с 2 ) 0,83.
с
Отсюда для скорости электрона получим:
v c 0,86 3 108 2,49 108м/с.
Задача 2. При последовательном освещении катода светом с частотой
1,0 1015 Гц и 1,4 1015 Гц показания вольтметра, при которых фототок
прекращался, оказались равными соответственно U1 0,4 В и U1 2,0 В. Найти постоянную Планка .
Решение. Из приведенных данных значение постоянной Планка можно найти, воспользовавшись уравнением Эйнштейна для фотоэффекта (1.8). Максимальную кинетическую энергию Тm в этой формуле можно определить по формуле (1.9), измерив задерживающую разность потенциалов Uз (рис. 1.1):
Для двух случаев получим:
2 A е(U2 U1)
2 A е(U2 U1 ),
где U |
1 |
и U |
< 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы избавиться от неизвестных А и U2 , вычтем первое уравнение из |
|||||||||
второго: |
|
|
|
2 ( ) A е(U1 U1 ) |
|
|||||
|
Отсюда |
|
|
|
||||||
|
|
|
U1 U1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
e |
|
|
1,6 10 19 1,6 |
1,0 10 34 |
Дж∙с. |
|
|
|
|
|
|
2 3,14 0,4 1015 |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
Задача 3. До какого потенциала φ можно зарядить удаленный от других тел цинковый шарик, облучая его ультрафиолетовым излучением с длиной волны λ = 200 нм?
Решение. Под действием излучения шарик начнёт испускать фотоэлектроны. При этом он будет приобретать положительный потенциал φ, который играет роль задерживающего потенциала. Испускание электронов закончится, когда глубина потенциального барьера, удерживающего электрон в металле, станет равным его максимальной кинетической энергии. В
соответствии с (1.8) тогда можно записать: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
e max |
Тm h A. |
|
|
|
|
|
||
Учитывая (1.5), отсюда получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
hc |
1 |
|
|
6,62 10 34 3 108 |
19 |
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,74 1,6 10 |
|
|
|
|
2,47В. |
max |
A |
|
|
7 |
|
|
|
19 |
||||||
|
2 10 |
|
|
|
1,6 10 |
|||||||||
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6
Задача 4. После увеличения напряжения на рентгеновской трубке в 2 раза первоначальная длина волны 0 коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра изменилась на 50 пм. Найти 0 .
Решение. При увеличении напряжения, согласно (1.10), длина волны коротковолновой границы спектра уменьшается. Поэтому можно записать:
0 |
|
1,24 |
, |
0 0 |
|
1,24 |
, |
|
|
||||||
|
|
eU1 |
|
|
eU2 |
||
где U1 и U2 - напряжения на рентгеновской трубке. Разделив второе равенство на первое, получим:
0 U1 1 .
0 U2
Отсюда находим:
0 1 1,10нм.
Задача 5. Воспользовавшись законами сохранения показать, что свободный электрон не может поглотить фотон.
Решение. Проведём доказательство от противного. Воспользуемся системой отсчёта, в которой электрон первоначально покоился. Пусть электрон
поглотил фотон с импульсом |
p |
и энергией |
|
. Обозначим импульс электрона |
|||||||||||||||||
после поглощения |
pe, а энергию е. |
Из |
|
|
законов |
сохранения импульса и |
|||||||||||||||
энергии следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
p |
e |
, |
|
|
|
|
|
m c2 |
|
e |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
где m0 – масса покоя электрона. Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(сp |
|
)2 |
(сp |
e |
)2 , |
|
|
|
2 |
2 |
|
m c2 (m c |
2) |
2 |
2 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
е |
||||
Вычтем первое равенство из второго. Тогда с учётом соотношения (1.6) |
|||||||||||||||||||||
для фотона и соотношения (1.4) для электрона получим |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m c2 |
0. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда следует =0, т. е. поглощение невозможно.
Задача 6. Фотон с энергией рассеялся под углом на покоившемся свободном электроне. Определить угол , под которым вылетел электрон отдачи (по отношению к направлению налетевшего фотона).
Решение. По закону сохранения импульса импульс p падающего фотона равен векторной сумме импульса рассеянного фотона и импульса
электрона pe, который он приобрёл в результате соударения с фотоном (рис.
1.2):
p p' pe .
Из рисунка
7
pe
p
p'
Рис. 1.2
|
|
p' |
sin |
||
tg |
|
|
|
|
. |
p |
p' |
|
|||
|
cos |
||||
При упругом столкновении фотонов с электронами происходит увеличение длины волны рентгеновских лучей (явление Комптона). Согласно (1.6), р h/ , тогда
|
sin |
|
tg |
|
, |
|
||
|
/ cos |
|
где и - длины волн излучения до и после рассеяния. Из формулы (1.11):
1 с (1 cos ).
Учитывая (1.5) найдём, |
что |
с |
/ /m c2 , где m0 – масса покоя |
|||||||
электрона. Следовательно |
|
|
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
sin |
|
|
ctg( /2) |
|
||||
tg |
|
|
|
|
|
. |
||||
(1 |
с |
/ )(1 cos ) |
1 /m c2 |
|||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
Задача 7. При облучении вещества рентгеновским излучением с некоторой длиной волны обнаружили, что максимальная кинетическая энергия релятивистских электронов отдачи равна Тm = 0,44 МэВ. Определить .
Решение. Согласно законам сохранения энергии и импульса имеем:
|
|
|
|
Tm , |
p p' |
pe , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
где |
|
- энергия фотона до и после столкновения с электроном, p и p - |
||||||
и |
||||||||
импульс падающего и рассеянного фотона, |
pe - импульс электрона отдачи. |
pе |
||||||
|
|
|
pе |
Так как согласно условию задачи |
импульс |
|||
|
|
|
максимален, то все три вектора импульсов должны быть |
|||||
p |
|
|
|
коллинеарными (рис. 1.3). Тогда, учитывая (1.6), закон |
||||
|
|
|||||||
|
|
сохранения импульса можно записать в виде: |
|
|||||
|
|
p |
|
|||||
|
Рис. 1.3 |
|
/c /c pе . |
|
|
|||
|
Исключая из |
законов |
сохранения |
энергии |
и |
|||
|
|
|
|
|||||
импульса , получим:
2 Tm pc.
Учитывая (1.4) и (1.5), это уравнение можно преобразовать к виду:
|
|
|
hc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
T T (T 2m |
0 |
c2) |
. |
|
|||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
m |
m m |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда найдём : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2hc |
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
Tm 1 |
|
|
|
|
1 2mc |
|
/Tm |
1 2 пм. |
|||||
|
|
|
mc |
|
||||||||||
(1 2m0c2 /Tm |
|
|||||||||||||
8
Задачи для самостоятельного решения.
1.1. Красной границе фотоэффекта для алюминия соответствует длина волны λ0 = 332 нм. Найти работу выхода и длину световой волны λ, при которой величина задерживающего напряжения Uз = 1 В.
Ответ: A |
2 c |
3,74 эВ, |
|
0 |
262 |
нм. |
0 |
1 eU 0 /2 c |
|||||
1.2. Определить |
красную |
границу фотоэффекта |
0 для цинка и |
|||
максимальную скорость vmax фотоэлектронов, вырываемых с его поверхности электромагнитным излучением с длиной волны 250 нм.
Ответ: 0 = 332 нм, vmax = 6,6∙105 м/с.
1.3. Найти работу выхода А с поверхности некоторого металла, если при поочерёдном освещении его электромагнитным излучением с длинами волн1 0,35 мкм и 2 0,54 мкм максимальные скорости фотоэлектронов отличаются в 2 раза.
Ответ: А hc( 2 2 / 1) 1,9 эВ.
2 ( 2 1)
1.4. При некоторой задерживающей разности потенциалов фототок с поверхности лития, освещаемого электромагнитным излучением с длиной волны λ0, прекращается. Изменив длину волны излучения в n = 1,5 раза, установили, что для прекращения фототока необходимо увеличить задерживающую разность потенциалов в 2 раза. Работа выхода электрона с поверхности лития А = 2,39 эВ. Вычислить λ0.
Ответ: 0 |
hc( n) |
0,26 мкм. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
A( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
1.5. В 1916 г. Р. |
Милликеном при исследовании фотоэффекта с |
|||||||
поверхности натрия были получены данные, приведенные ниже: |
||||||||
,1014 c 1 |
5,49 |
6,92 |
7,41 |
8,22 |
9,60 |
11,83 |
||
U, B |
0,47 |
1,02 |
1,20 |
1,60 |
2,13 |
3,02 |
||
Здесь - частота света, U – задерживающее напряжение (в значение U внесена поправка на контактную разность потенциалов). Используя эти данные, определить:
а) значение постоянной Планка , б) работу выхода электрона А для натрия.
Ответ: а) 1,04 10 34 Дж с, б) А 1,8эВ.
1.6. Ток, возникающий в цепи вакуумного фотоэлемента при освещении цинкового электрода электромагнитным излучением с длиной волны 262 нм, прекращается, когда внешняя разность потенциалов (показания вольтметра) достигает значения U1 = -1,5 В. Имея в виду, что работа выхода электрона с поверхности цинка А = 3,74 эВ, определить значение и полярность внешней
9
контактной разности потенциалов между катодом и анодом данного фотоэлемента.
Ответ: U2= -0,5 B; полярность противоположна полярности внешнего напряжения.
1.7. Найти длину волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра, если известно, что после увеличения напряжения на рентгеновской трубке в = 2 раза эта длина волны изменилась на Δλ = 50 пм.
Ответ: 0,1нм.
1
1.8.Определить напряжение на рентгеновской трубке, если известно, что зеркальное отражение узкого пучка её излучения от естественной грани
монокристалла наблюдается при уменьшении угла скольжения вплоть до
4,1 . Соответствующее межплоскостное расстояние d = 281 пм.
Ответ: U c 31кВ. edsin
1.9. При увеличении напряжения на рентгеновской трубке в = 1,5 раза длина волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра изменилась на Δλ = 26 пм. Найти первоначальное напряжение на трубке.
Ответ: U hc(1 1/ ) 16 кДж. e
1.10. Вычислить скорость электронов, подлетающих к антикатоду рентгеновской трубки, если длина волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра min 15,7 пм.
Ответ: v |
c ( 2) |
0,5 м/с, где |
h |
. |
||||
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
mc min |
|||
1.11. Фотон длины волны λ = 6 пм рассеялся под прямым углом на |
||||||||
покоящемся свободном электроне. Найти: |
|
|
|
|||||
а) частоту рассеянного фотона; |
|
|
|
|||||
б) кинетическую энергию электрона отдачи. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
20 |
рад/с; |
|
Ответ: а) 2 с/( h/mc) 2,2 10 |
|
|||||||
б) T |
|
hc/ |
|
60 кэВ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 mc/h
1.12. Фотон с длиной волны λ = 700 нм рассеивается под прямым углом на покоящемся свободном электроне. Определить:
а) какую долю первоначальной энергии теряет при этом фотон; б) какую скорость v приобретает электрон.
Ответ: а) |
|
|
c |
|
c |
0,347 10 5 , |
|
c |
|
||||
|
|
|
|
|||
б) v 2 2 1,47 км/с.
m
10
1.13. Узкий пучок рентгеновского излучения с длиной волны падает на рассеивающее вещество. Найти , если длины волн смещённых составляющих
излучения, рассеянного под углами 1 60 и 2 120 , отличаются друг от друга в 2 раза.
Ответ: 4 с sin( 2 /2) sin( 1 /2) /( 1) 1,2 пм.
1.14. Фотон с энергией = 1 МэВ рассеялся на покоившемся свободном электроне. Найти кинетическую энергию электрона отдачи, если в результате рассеяния длина волны фотона изменилась на = 25% .
Ответ: T /(1 ) 0,2 МэВ.
1.15. Фотон рассеялся под углом 120° на покоившемся свободном электроне, в результате чего электрон получил кинетическую энергию Т = 0,45 МэВ. Найти энергию фотона до рассеяния.
|
|
2mc2 |
Т |
|
|
Ответ: 1 |
1 |
|
|
|
0,68 МэВ. |
|
2 |
||||
|
Tsin2( /2) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1.16. Фотон с длиной волны = 3,64 пм рассеялся на покоившемся свободном электроне так, что кинетическая энергия электрона отдачи составила= 25% от энергии налетевшего фотона. Найти:
а) комптоновское смещение длины волны рассеянного фотона; б) угол , под которым рассеялся фотон.
Ответ: а) /(1 ) 1,2 пм;
б) cos 1 ( / c ) /(1 ) 0,5, откуда 60 .
1.17. Фотон с энергией = 0,46 МэВ рассеялся под углом = 120° на
покоившемся свободном электроне. Найти: |
|
|
|
||||
а) энергию рассеянного фотона; |
|
|
|
|
|||
б) энергию, переданную электрону. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0,2 МэВ; |
||
|
|
|
|
||||
Ответ: а) |
|
|
|||||
|
1 2( /mc2)sin |
2( /2) |
|
||||
б) T |
2( /mc2)2 sin2( /2) |
0,26 |
МэВ. |
||||
1 2( /mc2)2 sin2 |
( /2) |
||||||
|
|
|
|
||||
1.18. Фотон |
с импульсом р = |
1,02 МэВ/с, |
где с – скорость света, |
||||
рассеялся на покоившемся свободном электроне, в результате чего импульс фотона стал p 0,255 МэВ/с. Под каким углом рассеялся фотон?
Ответ: sin( /2) 
mc(p p )/2pp , отсюда 120 .
1.19. Фотон с импульсом р = 60 кэВ/с, где с – скорость света, испытав комптоновское рассеяние под углом 120 на покоившемся свободном электроне, вырвал затем из атома молибдена электрон, энергия связи которого Есв = 20 кэВ. Найти кинетическую энергию фотоэлектрона.
pc
Ответ: T 1 2(p/mc)sin2( /2) Eсв 31кэВ.