Мет.атом

11

1.20. Фотон с энергией = 0,15 МэВ рассеялся на покоившемся свободном электроне, в результате чего его энергия изменилась на 3 пм. Найти угол, под которым вылетел комптоновский электрон.

1.21. Фотон с энергией, в 2 раза превышающей энергию покоя электрона, испытал лобовое столкновение с покоившимся свободным электроном. Найти радиус кривизны траектории электрона отдачи в магнитном поле B 0,12 Тл. Предполагается, что электрон отдачи движется перпендикулярно к направлению поля.

Ответ:R mc 2 (1 ) 3,4см. eB 1 2

1.22. При столкновении с релятивистским электроном фотон рассеялся на угол 60 , а электрон остановился. Найти комптоновское смещение длины волны рассеянного фотона.

Ответ: (4 /mc)sin2( /2) 1,2пм.

1.23. Фотон испытал рассеяние на покоившемся свободном электроне. Найти импульс налетавшего фотона, если энергия рассеянного фотона равна кинетической энергии электрона отдачи при угле 90° между направлениями их разлёта.

Ответ: p 2mc 1,02 МэВ/с.

14

Примеры решения задач

Задача 1. Альфа-частица с кинетической энергией Т рассеялась под углом в кулоновском поле неподвижного тяжелого ядра с зарядом Ze. Найти минимальное расстояние, на которое она сблизилась с ядром в процессе движения.

Решение. Для решения задачи воспользуемся законами сохранения. В процессе движения на -частицу действует кулоновская сила. Поэтому импульс частицы не сохраняется. В то же время кулоновская сила – центральная, поэтому сохраняется момент импульса L -частицы относительно центра ядра. Вдали от ядра L = bmv, где b – прицельный параметр, v – скорость -частицы вдали от ядра.

Когда -частица пролетает вблизи ядра, её траектория представляет собой гиперболу (рис. 2.1). При максимальном сближении с ядром скорость v-частицы будет перпендикулярна её радиус-вектору относительно центра ядра, следовательно момент импульса частицы в этот момент L rminmv . Таким образом, из закона сохранения момента импульса получим:

bmv rminmv .

Вконсервативном кулоновском поле ядра полная механическая энергия

-частицы сохраняется. Учитывая, что потенциальная энергия -частицы при

максимальном сближении с ядром равна k2Ze2 /rmin, а кинетическая равна T , из закона сохранения энергии получим:

Задача 2. Узкий пучок -частиц с кинетической энергией Т = 0,6 МэВ падает нормально на золотую фольгу, содержащую n = 1,1∙1019 ядер/см2. Найти относительное число -частиц, рассеивающихся под углами 0, где

0 20 .

Решение. Относительное число частиц, рассеянных фольгой в заданном интервале углов можно найти с помощью формулы Резерфорда. Однако эта формула не применима для углов рассеяния, меньших 3˚ (п. 2.1). Поэтому, учитывая, что по условию нормировки

15

dN 1,

0 N

искомую величину можно представить в виде (п. 2.2):

Из определения d (п. 2.2) следует, что

( 0) b02,

где b0 - прицельный параметр, соответствующий углу рассеяния 0 . Величину b0 найдём из формулы (2.1):

kZe2 b0 Ttg( 0 /2) .

Из приведенных формул находим:

Задача 3. Оценить время, за которое электрон, движущийся вокруг ядра атома водорода по орбите радиусом r0 = 0,5∙10-8 см, упал бы на ядро, если бы он терял энергию на излучение в соответствии с классической теорией:

dE/dt k(2e2 /3с3)a2 ,

где а – ускорение электрона, е – его заряд, с – скорость света, k 1/4 0 (СИ). Для простоты считать, что в любой момент падения электрон движется равномерно по окружности соответствующего радиуса.

Решение. Полная энергия электрона в атоме водорода складывается из кинетической и потенциальной и равна

Е mv2 k e2 .

2 r

При вращении по окружности радиуса r с циклической частотой вокруг точечного ядра с зарядом e

m 2r k e2 , r2

следовательно,

Е k e2 .

2r

Убыль энергии за время dt вследствие излучения:

dE k 2e2 a2dt.

3с3

16

Приняв во внимание, что

С другой стороны dE можно найти, продифференцировав выражение для полной энергии:

e2 dE k 2r2 dr,

тогда

r2dr k2 4e4 dt.

3m2с3

Интегрирование даёт

m2с3r03 10 11с.

4k2e4

Задача 4. Частица массы m движется по круговой орбите в центральносимметричном поле, где её потенциальная энергия зависит от расстояния r до центра поля как U kr2 /2, k – постоянная. Найти с помощью боровского условия квантования возможные радиусы орбит и значения полной энергии частицы в данном поле.

Решение. В указанном потенциальном поле на частицу действует сила

F dU kr. dr

Так как частица движется по окружности радиуса r, то эта сила является центростремительной. Из второго закона Ньютона в проекции на нормаль к траектории получим:

mv2 kr. r

Согласно боровскому правилу квантования орбит (2.5), имеем:

mevrn n, n = 1, 2, 3,…

Исключая из последних двух уравнений скорость v, найдём возможные радиусы орбит:

Полная энергия частицы в потенциальном поле состоит из кинетической

ипотенциальной. Учитывая, что v r, для полной энергии получим:

Еmv2 kr2 n .

2 2

17

Задача 5. Определить потенциал ионизации i и первый потенциал возбуждения 1 атома водорода.

Решение. Потенциал ионизации i можно найти, определив работу, необходимую для удаления электрона из атома Ai (п.2.4). Она равна работе сил электрического поля, ускоряющего электрон, А = e i , поэтому

Аi = e i .

Учитывая квантовый характер поглощения энергии атомом, можно сказать, что работа ионизации Ai равна кванту энергии h , поглощенному атомом водорода при переходе электрона с первой боровской орбиты на бесконечно удалённую орбиту. Положив в формуле Бальмера (2.4) m = 1, n , получим:

Тогда

i hcR /e 13,6 В.

Первый потенциал возбуждения 1 можно найти, приравняв работу сил ускоряющего электрического поля e 1 кванту энергии, h , поглощённому атомом при его переходе в первое возбуждённое состояние (п.2.4). Для атома водорода это соответствует переходу электрона с первой боровской орбиты на вторую. Положив в (2.4) m = 1, n = 2, получим

Задача 6. Вычислить разрешающую силу спектрального прибора необходимую, чтобы разрешить первые 20 линий серии Бальмера атома водорода.

Решение. Разрешающая сила спектрального прибора определяется формулой:

r / ,

где - наименьшая разность длин волн двух близких спектральных линий, при которой они ещё разрешаются прибором.

Так как с увеличением номера спектральной линии одной и той же серии разность длин волн соседних линий, согласно (2.3) уменьшается, то, очевидно, все первые 20 линий серии Бальмера будут разрешены, если будут разрешены двадцатая ( 20) и двадцать первая ( 21) линии этой серии. Поэтому для минимальной разрешающей силы спектрального прибора получим

Задача 7. У какого водородоподобного иона разность длин волн между головными линиями серий Бальмера и Лаймана 133,7 нм?

Решение. Согласно (2.3) частоты этих линий (рис. 2.2), соответственно, равны:

Л RZ2 12 12 3RZ2 .

1 2 4

Учитывая (1.5) из этих формул находим:

Искомый ион – однократно ионизированный атом гелия, He+.

Задача 8 Покоившийся ион Не+ испустил фотон, соответствующий головной линии серии Лаймана. Этот фотон вырвал фотоэлектрон из покоящегося атома водорода, который находился в основном состоянии. Найти скорость фотоэлектрона.

Решение. Фотон, соответствующий головной линии серии Лаймана, испускается ионом гелия при переходе из первого возбуждённого состояния (m 2) в основное (n = 1) (рис. 2.2). Частота этой линии, согласно (2.3), равна:

RZ2 m12 n12 3R.

Энергия фотона 3R пошла на удаление электрона из атома водорода и сообщение ему кинетической энергии:

Eсв mev2 , 2

где me, v – масса электрона и его скорость, Есв – энергия связи электрона в основном состоянии атома водорода. Согласно п. 2.3 её значение найдём, положив в формуле (2.3) m = 1, n = :

19

Отсюда найдём скорость фотоэлектрона:

v2( Eсв )/me 2 R)/me 3,1 106 м/с.

Задачи для самостоятельного решения.

2.1.Найти расстояние, на которое приблизится -частица к неподвижному ядру атома золота, двигаясь точно по направлению к его центру. Порядковый номер атома золота Z = 79 и кинетическая энергия налетающей - частицы вдали от ядра Т = 5,7 МэВ.

2.3. Альфа-частица с кинетической энергией Т налетает с прицельным параметром b = 90 фм на покоящееся ядро атома свинца. При каком значении Т модуль приращения вектора импульса рассеянной -частицы будет максимальным для данного прицельного параметра? Каков при этом угол рассеяния?

Ответ: T kZe2 /b 1,3 МэВ, 90 .

2.4. Альфа-частица с кинетической энергией Т = 0,5 МэВ рассеялась под углом 90° в кулоновском поле неподвижного ядра атома ртути. Найти:

а) наименьший радиус кривизны её траектории; б) минимальное расстояние, на которое она сблизилась с ядром.

2.6. Альфа-частица с кинетической энергией Т = 2,3 МэВ налетает с прицельным параметром b = 90 фм на покоящееся тяжёлое ядро атома свинца. Найти модуль приращения вектора импульса рассеянной -частицы.

2.7. Узкий пучок -частиц падает нормально на серебряную фольгу. За ней установлен счётчик, регистрирующий частицы, рассеянные в соответствии с формулой Резерфорда. При замене серебряной фольги на платиновую той же массовой толщины число регистрируемых в единицу времени -частиц возросло в 1,52 раза. Найти порядковый номер платины, считая, что порядковый номер серебра и массовые числа обоих элементов известны.

нормально на золотую фольгу толщины d = 1 мкм. Поток частиц в пучке составляет І = 3,6∙104 с-1. Найти число -частиц, рассеянных фольгой в течение= 2 мин под углами:

а) в интервале 59 - 61°.

б) превышающими 0 = 60°.

Ответ: а) N I nd kZe2 /2T 2 2 sin /sin4( /2) 2,5 103 , где n –

концентрация ядер золота в фольге;

б) N I nd kZe2 /T 2ctg( 0 /2) 3,1 104.

2.9. Найти отношение частот головных линий первых четырёх серий спектра атома водорода, принимая за единицу частоту 2 головной линии серии Бальмера.

Ответ: 1: 2 : 3 : 4 5,4:1:0,35:0,16.

2.10.Энергия ионизации водородного атома Еi = 13,6 эВ. Исходя из этого, определить энергию (в эВ) фотона, соответствующего второй линии серии Бальмера.

Ответ: 3Ei /16 2,6 эВ.

2.11.Потенциал ионизации водородного атома равна i = 13,6 В.

Исходя из этого, определить, сколько линий серии Бальмера попадают в видимую часть спектра ( 400 – 760 нм).

Ответ: Четыре линии.

2.12. Найти для водородоподобного иона радиус n-й боровской орбиты и скорость электрона на ней. Вычислить эти величины для первой боровской орбиты атома водорода и иона He+.

2.13. Для атома водорода и иона Li++ найти кинетическую энергию Т электрона и его энергию связи Есв в основном состоянии, а также потенциал ионизации i .