Мет.атом

21

2.14. Определить для атома водорода и иона Не+: энергию связи Есв электрона в основном состоянии, потенциал ионизации i , первый потенциал возбуждения 1 и длину волны головной линии серии Лаймана.

2.15. Какую наименьшую энергию надо сообщить иону He+, находящемуся в основном состоянии, чтобы он смог бы испустить фотон, соответствующий головной линии серии Бальмера?

Ответ: Еmin 8 RZ2 48,5 эВ.

9 2.16. Определить длину волны спектральной линии атомарного

водорода, частота которой равна разности частот двух линий серии Бальмера:1 486,1 нм и 2 410,2 нм. Какой серии принадлежит эта линия?

Ответ: 1 2 /( 1 2) 2,63 мкм.

Линия принадлежит серии Брэкета, т. к. при соответствующем переходе квантовое число нижнего уровня n 2/1 8 c/R 1 4.

2.17.Сколько спектральных линий будет испускать атомарный водород, который возбуждают на 4–й энергетический уровень? К каким сериям принадлежат эти линии?

Ответ: 122, 103 и 97 нм (серия Лаймана), 657 и 486 нм (серия Бальмера), 1875 нм (серия Пашена).

2.18.Вычислить для атомарного водорода:

а) длины волн первых трёх линий серии Бальмера; б) минимальную разрешающую способность / спектрального

прибора, при которой возможно разрешить первые N = 20 линий серии Бальмера.

Ответ: а) 657, 487 и 434 нм; б) / (N 3)3 /8 1,5 103.

2.19. Определить квантовое число n возбужденного состояния атома водорода, если известно, что при переходе в основное состояние атом излучил последовательно два фотона, с длинами волн 1 = 656,3 нм и 2 = 121,6 нм.

Ответ: 3.

2.20. Излучение атомарного водорода падает нормально на дифракционную решётку ширины l = 6,6 мм. В наблюдаемом спектре под некоторым углом дифракции оказалась на пределе разрешения (по критерию Релея) 50-я линия серии Бальмера. Найти этот угол.

Ответ: При n >> 1 значение sin n3 c/Rl, откуда 60 .

22

2.21. У какого водородоподобного иона разность длин волн головных линий серий Бальмера и Лаймана 59,3 нм?

2.22. Покоившийся атом водорода испустил фотон, соответствующий головной линии серии Лаймана. Найти отношение кинетической энергии атома отдачи к энергии испущенного фотона.

2.23. Атом водорода, двигавшийся со скоростью v0, испустил фотон, соответствующий переходу из первого возбужденного состояния в основное. Найти угол между направлением вылета фотона и первоначальным направлением движения атома, если кинетическая энергия атома осталась прежней.

2.25. Энергия связи электрона в основном состоянии атома гелия равна Е0 = 24,6 эВ. Найти минимальную энергию, необходимую для последовательного удаления обоих электронов из этого атома.

Ответ: Е Е0 4 R 79 эВ.

2.26. Найти скорость фотоэлектронов, вырываемых электромагнитным излучением с длиной волны 18 нм из ионов He+, которые находятся в основном состоянии и покоятся.

Ответ: v 2( 4 R)/m 2,3 106 м/с, где 2 с/ .

2.27. С какой минимальной кинетической энергией должен двигаться атом водорода, чтобы при неупругом лобовом соударении с другим, покоящимся, атомом водорода, один из них оказался способным испустить фотон? Предполагается, что до соударения оба атома находятся в основном состоянии.

Ответ: Tмин 3 R/2 20,5 эВ.

2.28. Покоившийся атом водорода испустил фотон, соответствующий головной линии серии Лаймана. Найти скорость отдачи, которую приобрёл атом.

Ответ: v 3 R 3,27 м/с.

4 mc

24

Методические указания.

п. 3.1. Если даны линейные размеры области l, в которой находится частица, то считают x ~ х.

п. 3.2. Если известен модуль импульса частицы, но не известно его направление, то проекция импульса на какую-либо ось оказывается неопределённой: её величина лежит в интервале ( p, p). Это значит, что неопределённость проекции импульса на ось х px 2p, или px ~ р.

п. 3.3. Пусть частица “заперта” в одномерной области размером l. В случае, если её энергия минимальна, можно считать, что импульс частицы по порядку величины равен его неопределённости, т. е. p ~ р. Чтобы это показать, положим, что частица в этой области имеет энергию Е > Emin. Тогда её импульс может быть представлен как p p p. При уменьшении энергии,

когда E Emin, p 0, но p при этом не меняется, так как согласно соотношению неопределённостей (3.2) p ~ /l . Эту величину и принимают за

р.

Примеры решения задач

Задача 1. Параллельный пучок электронов падает нормально на диафрагму с узкой прямоугольной щелью, ширина которой a = 2 мкм. Определить скорость электронов (считая её одинаковой для всех частиц), если известно, что на экране, отстоящем от щели на расстоянии l = 50 см, ширина центрального дифракционного максимума b = 80 мкм.

Решение. Дифракция электронов является следствием волновой природы частиц. Поэтому скорость электронов можно определить по формуле де Бройля

(3.1):

v 2 /mе .

Дифракционная картина, возникающая при прохождении через узкую щель параллельного пучка электронов, соответствует дифракционной картине, полученной от той же щели при освещении её плоскопараллельным пучком монохроматического света, длина волны которого равна длине волны де Бройля для электрона. Это означает, что для нахождения длины волны де Бройля можно воспользоваться формулой для определения положения минимумов освещённости при дифракции Фраунгофера (в параллельных лучах) на щели:

Здесь а – ширина щели, - угол дифракции, k – порядок минимума. Будем считать, что центральный дифракционный максимум заключён

между двумя минимумами первого порядка. Из рисунка 3.3 получим: sin tg b/2l.

Отсюда, полагая в условии минимума k = 1, имеем

ab/2l.

Подставив это значение в формулу де Бройля, найдём:

Задача 2. Узкий пучок электронов с кинетической энергией Т = 10 кэВ проходит через тонкую поликристаллическую фольгу и образует систему дифракционных колец на экране, отстоящем от фольги на l = 10 см. Найти межплоскостное расстояние, для которого максимум отражения третьего порядка соответствует кольцу с радиусом r = 1,6 см.

Решение. В задаче описано исследование дифракции электронных волн по методу Дебая-Шерера-Хелла.

Дифракционная картина на экране возникает вследствие отражения электронного луча от множества беспорядочно ориентированных мельчайших (~10-6 см) кристалликов, образующих поликристаллическую фольгу.

При фиксированной длине волны де Бройля, представляющей собой движение свободного электрона, среди множества кристалликов найдутся такие, которые удовлетворяют условию Вульфа-Брегга (3.2) (расположены под углом , удовлетворяющим указанному условию).

Отражённые от таких кристалликов лучи пойдут по поверхности конуса – на фотопластинке появится система интерференционных колец (рис. 3.4).

2 .

Рис. 3.4

26

Задача 3. Интерпретировать квантовые условия Бора на основе волновых представлений: показать, что электрон в атоме водорода может двигаться только по тем круговым орбитам, на которых укладывается целое число дебройлевских волн.

Решение. Согласно теории Бора момент импульса электрона квантуется:

Это условие было использовано Бором для отбора стационарных круговых орбит:

mvr n ,

где m – масса электрона, v – его скорость r – радиус орбиты. Перепишем это условие в виде:

2 r n2 . mv

Учитывая (3.1) получим:

2 r n ,

т. е. длина окружности стационарной орбиты должна быть равна целому числу волн де Бройля.

Задача 4. Пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов U = 150 В, падает на поверхность никеля, внутренний потенциал которого Ui = 15 В. Вычислить показатель преломления никеля.

Решение. Причина преломления электронных потоков с корпускулярной точки зрения – изменение импульса электронов при попадании в металл. Это изменение объясняется тем, что внутри металла имеется электрическое поле, обусловленное положительными ионами кристаллической решётки. Потенциал этого поля Ui > 0. При прохождении ряда ионов этот потенциал меняется периодически, приближённо его можно заменить средним потенциалом,

который называют внутренним потенциалом металла Ui.

Согласно определению показатель преломления

n vф , vф

где vф - фазовая скорость электронных волн в металле, vф - вне металла.

Фазовая скорость электронных волн вне металла равна

Здесь v – скорость, Е –полная энергия електронов вне метала.

Если потенциальная энергия энергия электрона в металле равна ЕП, то импульс внутри металла:

p2m(E EП ),

афазовая скорость электронных волн:

27

Показатель преломления

Полную энергию можно выразить через ускоряющий потенциал:

Е= eU,

апотенциальную энергию – через внутренний потенциал:

Е= eUi,

тогда

Задача 5. Средняя кинетическая энергия электрона в невозбуждённом атоме водорода равна 13,6 эВ. Найти наименьшую неточность, с которой можно вычислить координату электрона в атоме.

Решение. Из соотношения неопределённостей следует, что неточность координаты частицы

x 2 .px

Величина px неизвестна, однако можно найти импульс р электрона. Так как в данном случае кинетическая энергия электрона T m0c2 (энергия покоя электрона m0c2 = 0,51 эВ), то

p 2mT .

Поскольку импульс – векторная величина, то эта формула позволяет вычислить модуль этого вектора, тогда как его направление остаётся неизвестным. Поэтому проекция импульса на какую-либо ось оказывается неопределённой: её величина лежит в интервале ( p, p). Это значит, что неопределённость проекции импульса на ось х (см. п. 3.2 методических указаний) равна:

Задача 6. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l с очень высокими стенками. Оценить с помощью соотношения неопределённостей силу давления, которую оказывает электрон на стенки ямы при минимально возможной его энергии.

Решение. При сжатии ямы на малую величину dlнеобходимо совершить работу A Fdl против силы давления F, с которой электрон действует на стенку. Эта работа пойдёт на приращение энергии электрона dE. Отсюда

28

F dE . dl

При минимально возможной энергии электрона его потенциальная энергия равна нулю. Учитывая это, получим, что полная энергия электрона в яме определяется как

E T p2 .

2m

Согласно п. 3.3 импульс электрона р ~ px . В данном случае неопределённость координаты частицы x ~ l, тогда p ~ /l , а полная энергия

E 2 . 2ml2

Отсюда искомая сила

F dE 2 . dl ml3

Задача 7. С помощью соотношения неопределённостей оценить размер атома водорода.

Решение. Для оценки размера атома водорода найдём наименьшую возможную энергию электрона Еmin в кулоновском поле ядра. Полная энергия электрона в атоме

E T U p2 e2 . 2m r

Точное положение и импульс электрона в атоме согласно принципу неопределённости (3.3) установить одновременно невозможно, поэтому для оценки Еmin можно положить разброс расстояний электрона от ядра r r и разброс импульсов p p. При минимальной энергии согласно п. 3.3 p /r , тогда приближённое значение полной энергии

E 2 e2 . 2mr2 r

Приравняв производную dE/dr к нулю, найдём значение r, при котором

E Emin :

r 2 . me2

Соответствующее значение Еmin:

me4

Emin 2 2 13,6 эВ.

Полученное значение r совпадает с Боровским радиусом, а значение Еmin

– с энергией основного состояния атома водорода. Полное совпадение оценочных значений с точными, разумеется, следует считать случайным, важно лишь то, что получен правильный порядок величин.