Лекции_ТУ

УДК 681.5 В 144

Рецензент:

С. Н. Мичкивский – канд. техн. наук, доц. кафедры прикладной математики и теории систем управления факультета математики и информационных технологий Донецкого национального университета

Вайсруб Н. В.

В 144 Теория управления: конспект лекций / Н. В. Вайсруб, В. П. Чуберкис. – Донецк: ДонНУ, 2012. – 88 с.

Учебное пособие содержит краткий конспект лекций, включающий основные теоретические положения теории управления, излагаемые студентам факультета математики и информационных технологий в рамках общего курса «Теория управления».

Для студентов специальностей «Прикладная математика» и «Информатика», математиков-аналитиков и разработчиков систем управления.

УДК 681.5

© Вайсруб Н. В., 2012 © Чуберкис В. П., 2012 © ДонНУ, 2012

4

5

Введение

Настоящее пособие разработано на основе лекций, читаемых авторами студентам факультета математики и информационных технологий специальностей «Прикладная математика» и «Информатика» в рамках общего курса «Теория управления» в Донецком национальном университете. Материал разбит на шесть разделов, которые охватывают описание функционирования динамических систем в пространстве «вход-выход», применение операционных методов к анализу модели «вход-выход», динамические характеристики систем, частотные характеристики систем, типовые звенья динамических систем, понятие и критерии устойчивости.

Впервом разделе пособия рассмотрены понятия динамической системы, входных и выходных сигналов, приведены примеры описания с помощью дифференциальных уравнений функционирования динамических систем во времени, изложены принципы классификации динамических систем.

Второй раздел содержит теоретические сведения об интегральных преобразованиях Фурье и Лапласа, понятии и свойствах передаточной функции, примеры применения операционных методов для анализа моделей динамических систем.

Третий раздел посвящен динамическим характеристикам линейных стационарных систем: рассмотрены понятия переходной и весовой функций, изучены их свойства, приведены примеры определения и анализа динамических характеристик физических систем.

Вчетвертом разделе пособия рассмотрены частотные характеристики линейных стационарных систем и примеры их определения и анализа для физических систем.

Пятый раздел посвящен рассмотрению типовых звеньев линейных стационарных динамических систем и их применения для анализа динамических

ичастотных характеристик.

Шестой раздел содержит теоретические сведения об устойчивости линейных стационарных динамических систем, рассмотрены необходимое и достаточное условия устойчивости, алгебраические критерии устойчивости Рауса и Гурвица, критерий перемежаемости корней, частотный критерий Михайлова.

Материал пособия содержит многочисленные примеры исследования свойств динамических систем.

Целью данного пособия является предоставление студентам основных теоретических положений и навыков практической работы в области теории управления.

1. Основные понятия теории управления

Теория управления – это наука о процессах и системах управления и их общих закономерностях. Теория управления сложилась в ХХ в. на базе теории автоматического регулирования, которая начала интенсивно развиваться со второй половины XIX в. в связи с потребностью в регуляторах, поддерживающих устойчивый режим работы паровых машин в промышленности и на транспорте. Теория автоматического управления изучает задачи анализа

исинтеза систем автоматического управления как одного из классов кибернетических систем, а также принципы построения и функционирования, методы

исредства создания систем управления.

Современная теория управления на базе математических моделей позволяет изучать динамические процессы в автоматических системах, устанавливать структуру и параметры составных частей системы для придания реальному процессу управления желаемых свойств. Она является фундаментом для специальных дисциплин, решающих проблемы автоматизации управления и контроля технологических процессов, проектирования следящих систем и регуляторов, автоматического мониторинга производства и окружающей среды, создания автоматов и робототехнических систем.

Предметом настоящего краткого курса являются основы теории управления материальными объектами и технологическими процессами, принципы исследования свойств и проектирования технических и информационных систем управления.

1.1 Динамическая система

Первым самоуправляемым устройством считаются водяные часы, сконструированные Ктезибием из Александрии (примерно в 250 году до н. э.), в которых использован сифон как регулятор потока воды. До этого изобретения считалось, что только живые существа способны модифицировать свое поведение в ответ на изменения в окружающей среде. Упоминания об управляемых системах встречаются в работах Герона Александрийского, датированных началом н. э. (автоматы для открывания дверей храма, продажи святой воды и т. п.). В Новое время разработаны некоторые системы управления с обратной связью: регулятор уровня Ползунова (1765 г.), регулятор скорости паровой машины Уатта (1784 г.), система управления ткацким станком Жаккара (1804 г.). В связи с развитием паровых машин потребовались регуляторы, которые могли бы автоматически поддерживать установившийся режим их работы. Универсальность математических методов, полученных в данной теории, перевела ее в область наук, занимающихся изучением абстрактных математических объектов, а не их конкретных технических реализаций. Основы

математической теории регуляторов разработаны Максвеллом и Вышне-

градским (1868–1876 гг.), Ляпуновым (1892 г.).

Рассмотрим пример простейшей системы управления – регулятора уровня воды, разработанного Ползуновым (рис. 1.1).

пар вода

1

2

H = const

нагревание

Рис. 1.1 – Схема регулятора Ползунова: 1 – поплавок, 2 – заслонка

Задачей управления паровым котлом является поддержание постоянного уровня воды ( H = const , см. рис. 1.1). При уменьшении уровня воды поплавок 1 опускается, а заслонка 2 поднимается, открывая трубопровод и увеличивая подачу воды в котел. При увеличении уровня воды всё происходит наоборот.

Далее приведены основные понятия и определения теории управления. Определение. Система – это совокупность материальных объектов,

взаимодействующих друг с другом так, что возникают новые качества этой совокупности.

Определение. Управление – организация того или иного процесса, направленная на достижение определенной цели.

Процесс управления системой можно условно разделить на 4 этапа:

1)получение информации о задачах управления (что надо);

2)получение информации о результатах управления (что есть);

3)анализ полученной информации;

4)принятие решения о необходимом управляющем воздействие и применение этого воздействия.

Определение. Динамической системой (ДС) будем называть систему,

функционирование которой во времени описывается с помощью дифференциальных (в случае непрерывного времени) или разностных (в случае дискретного времени) уравнений или их систем.

Определение. Внешние возмущения, являющиеся источниками информации об управляющем воздействии на систему, будем называть входным сигналом (входными переменными, входами) и обозначать y1 (t ), y2 (t ),..., yn (t ).

Величины, характеризующие результаты управления, будем называть вы-

ходным сигналом (выходными переменными, выходами) и обозначать

x1 (t ), x2 (t ),..., xm (t ).

Динамическую систему с n входами и m выходами можно условно изобразить в виде схемы (рис. 1.2), на которой прямоугольник обозначает систему, а входы и выходы обозначены стрелками.

Д С

Рис. 1.2 – Обобщенная схема динамической системы

1.2 Классификация динамических систем

Рассмотрим общепринятую классификацию динамических систем. 1. По типу моделей: линейные и нелинейные.

Линейные динамические системы описываются линейными относительно входа и выхода уравнениями или системами линейных уравнений, нелинейные – нелинейными уравнениями или системами.

2. По типу параметров моделей: стационарные и нестационарные. Параметры модели стационарной системы неизменны во времени, неста-

ционарной – изменяются с течением времени, например, в результате износа материала.

3.По типу параметров: системы с сосредоточенными и с распределенными параметрами.

Системы с сосредоточенными параметрами описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, с распределенными – уравнениями в частных производных.

4.По типу времени: непрерывные и дискретные.

Непрерывные системы описываются дифференциальными уравнениями или их системами, дискретные системы – разностными уравнениями или их системами.

5. По размерности: одномерные и многомерные.

Одномерная система имеет один вход и один выход, многомерная – несколько входов или выходов (рис. 1.2).

6.По определенности выходного сигнала: детерминированные и стохастические.

Детерминированная система на один и тот же входной сигнал отвечает одним и тем же выходным сигналом, стохастическая – на один и тот же входной сигнал отвечает выходным сигналом в соответствии с некоторым законом распределения вероятностей.

7.По типу управления: с обратной связью и с прямой связью.

В системе с обратной связью прилагаемое управляющее воздействие зависит от результата управления, в системе с прямой связью – не зависит.

1.3 Примеры динамических систем

При анализе различных систем управления выясняется, что разнообразные динамические системы, отличающиеся физической сутью, конструкцией, принципом действия, описываются уравнениями одного типа. Рассмотрим примеры динамических систем и выведем дифференциальные уравнения, их описывающие, на основе соответствующих физических законов.

Пример 1.1. Пружинный маятник.

На рис. 1.3 представлена схема механической системы перемещения «жесткость», представляющая собой закрепленную одним концом пружину. Обозначим f (t ) – прилагаемая к системе сила, d (t ) – перемещение центра масс системы (деформация пружины), k – коэффициент жесткости пружины.

d (t )

f (t )

Рис. 1.3 – Схема механической системы перемещения «жесткость»

Решение. Закон Гука гласит, что деформация пружины прямо пропорциональна величине прилагаемой силы, то есть

пружины d (t ). В обозначениях п. 1.1 имеем: вход y(t ) = f (t ), выход x(t) = d(t ).

Тогда уравнение (1.1), описывающее функционирование данной динамической системы, примет вид:

мерная (один вход и один выход), детерминированная, с прямой связью. Система может являться стационарной или нестационарной в зависимости от материала пружины (коэффициент k может изменяться во времени, например, в результате износа материала).

Пример 1.2. Перемещение груза на плоскости.

На рис. 1.4 представлена схема механической системы перемещения «масса», представляющая собой груз, перемещаемый на плоскости (трением пренебрегаем). Здесь f (t ) – прилагаемая к грузу сила, d (t ) – перемещение центра масс системы, a(t ) – ускорение перемещения центра масс системы, m – масса груза.

m d (t ) f (t )

Рис. 1.4 – Схема механической системы перемещения «масса»

Решение. Согласно второму закону Ньютона, ускорение перемещения

причем a(t ) = d ′′(t ).

Пусть вход системы – прилагаемая сила y(t ) = f (t ), выход – перемещение x(t) = d(t ). Тогда уравнение, описывающее функционирование системы, имеет вид:

Данная динамическая система линейная, стационарная (масса груза неизменна), одномерная, детерминированная, с прямой связью.

Пример 1.3. Конденсатор.

На рис. 1.5 представлена схема электрической системы «конденсатор» в цепи постоянного тока. Здесь U(t) – напряжение на концах цепи, i(t) – сила тока в цепи, C – емкость конденсатора.