Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Метода_ТУ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

717.86 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Тема 10 Асимптотическая устойчивость

Для применения критерия Рауса требуется построить таблицу Рауса,

которая имеет n + 1 строк и

+ 1 столбцов.

Общий вид таблицы Рауса

i, k

…

–

c11 = an

c21 = an −2

c31 = an −4

…

–

c12 = an−1

c22 = an−3

c32 = an−5

…

c11

= c

− r c

= c

− r c

= c

− r c

…

c12

= c

− r c

= c

− r c

= c

− r c

…

c13

…

Для элементов таблицы Рауса верны соотношения: r

c1,i−2

, i = 3, n − 1;

c1,i−1

Все неопределимые элементы

ck ,i = ck +1,i−2

− ri ck +1,i −1

, i = 3, n − 1,

k = 1,

+ 1.

заполняются нулями.

Критерий Рауса. Система является асимптотически устойчивой тогда и только тогда, когда коэффициенты первого столбца в таблице Рауса c11 , c12 ,..., c1,n+1 положительны.

Пример 10.16. Исследовать на устойчивость с помощью критерия Рауса систему с характеристическим полиномом D( p) = p 2 + 2 p + 5.

Решение. Составим таблицу Рауса; для данной системы она состоит из 3 строк и 2 столбцов.

	i, k	ri				1				2

	1	–				1				5

	2	–				2				0

	3	r =	1		c = 5 −		1	0 = 5	c		= 0
	3	r =			c = 5 −			0 = 5	c	23	= 0
		3	2		13	2				23
			2			2

Элементы		первого		столбца c11 = 1, c12 = 2, c13 = 5 положительны,

следовательно, система асимптотически устойчива.

Пример 10.17. Исследовать на устойчивость с помощью критерия Рауса

Тема 10 Асимптотическая устойчивость

систему с характеристическим полиномом D( p) = p 5 + 5 p 2 + 4 p + 1.

Решение. Составим таблицу Рауса; для данной системы она состоит из 6 строк и 3 столбцов.

i, k		ri		1		2		3

1		–			1	0		1


2		–			0	4		0


3	r =		1		c	c	23	c	33

	3	0			13


4		r4			c14	c 24		c34
5		r5			c15	c25		c35
6		r6			c16	c26		c36

Элемент r3 вычислить невозможно, дальнейшее заполнение таблицы проблематично. Однако в первом столбце таблицы обнаружен неположительный элемент: c12 = 0 , следовательно, система не является асимптотически устойчивой.

Пример 10.18. Исследовать на устойчивость с помощью критерия Рауса систему с характеристическим полиномом D( p) = p 4 + 3 p 3 + 5 p 2 + 7 p + 3.

Решение. Составим таблицу Рауса; для данной системы она состоит из 5 строк и 3 столбцов.

	i, k				ri								1									2	3

	1				–								1									5	3

	2				–								3									7	0

	3		r =			1						c = 5 −			1	7 =			8	c		= 3 − 0 = 3	0
	3		r =									c = 5 −				7 =				c	23	= 3 − 0 = 3	0
			3			3					13			3					3		23
						3								3					3

	4	r4 =			3			=		9		c14 =	7 −	9			3 =	29		c24		= 0 − 0 = 0	0
				8										9				29

						8								8					8
				3										8					8
				3

				8					64
	5	r =		3			=		64			c = 3 − 0 = 3										0	0
	5	r =					=					c = 3 − 0 = 3										0	0
		5	29			87						15
			29			87
				8

Все элементы первого столбца положительны, следовательно, система
асимптотически устойчива.

,..., a0 .

Тема 10 Асимптотическая устойчивость

Критерий устойчивости Гурвица

Пусть характеристический полином системы D( p) имеет общий вид

D( p) = a	n	p n + a	n−1	p n−1	+ ... + a p + a	0	, a	n	> 0 .
					1
Критерий Гурвица. Система является асимптотически устойчивой тогда и
только тогда, когда все главные миноры									определителя Гурвица 1,..., n
положительны.
Определитель Гурвица					n определяется следующим образом: его порядок

равен порядку характеристического полинома, по главной диагонали записываются коэффициенты характеристического полинома: an−1 , an−2 Далее определитель заполняется по строкам коэффициентами характеристического полинома: вправо от главной диагонали с ростом индексов, влево – с убыванием индексов.

Пример 10.19. Исследовать на устойчивость с помощью критерия Гурвица систему с характеристическим полиномом D( p) = p 2 + 2 p + 5.

Решение. Определитель Гурвица данной системы: 2						=	2	1	; его главные
							0	5
миноры: 2			1		1 = 2 > 0.
миноры: 2	=	2	1	= 10 > 0 ,	1 = 2 > 0.
		0	5

Все главные миноры положительны. Следовательно, система асимптотически устойчива.

Пример 10.20. Исследовать на устойчивость с помощью критерия Гурвица систему с характеристическим полиномом D( p) = p 4 + 3 p 3 + 5 p 2 + 7 p + 3.

Решение. Определитель Гурвица данной системы:

			3	1	0	0
4	=		7	5	3	1		.
			0	3	7	5
			0	0	0	3
Найдем все его главные миноры.
				1	0	0			3	1	0
		3
		3
		7		5	3	1							5	3		7	3


4	=	0		3	7	5	= 3		1	5	3	= 3 3	3	7	− 1	0	7	= 3(3	26	− 49)	= 87 > 0;
		0		3	7	5			0	3	7		3	7		0	7
		0		0	0	3			0	3	7
		0		0	0	3

Тема 10 Асимптотическая устойчивость

		3	1	0
3 =		1	5	3	= 29 > 0;
		0	3	7

2	=	3	1	= 8 > 0;
		7	5

1 = 3 > 0.

Все главные миноры положительны. Следовательно, система асимптотически устойчива.

Пример 10.21. Исследовать на устойчивость с помощью критерия Гурвица систему с характеристическим полиномом D( p) = p 3 + 2 p 2 + 6 p − 24.

Решение. Определитель Гурвица данной системы:

2 1 0

3 = − 24 6 2 .

00 − 24

Найдем все его главные миноры.

	2	1	0		2	1
	2	1	0
=	− 24	6	2	= −24			= −24(12 + 24) = −864 < 0 ;
	0	0	− 24		− 24	6
	0	0	− 24

=	2	1	= 12 + 24 = 36 > 0 ;
	− 24	6

= 2 > 0 .

Не все главные миноры положительны. Следовательно, система не является асимптотически устойчивой.

Задачи для самостоятельного решения к теме 10

Задача 10.1. Исследовать системы а) – д) на асимптотическую устойчивость с применением каждого из изученных критериев устойчивости (в задачах д) – ж) величина a – параметр):

а) W (p ) =	2 p 2 + 5 p				б) W (p) =		3 p + 8
			;						;
	p 2
		+ 4 p + 4				4 p	2 + 3 p + 10
в) W (p) =		3 p + 7		;	г) W (p ) =	2 p 2 + 5		;
		2 + 4 p + 2
	2 p					p 3 + 11 p

Тема 10 Асимптотическая устойчивость

д) W (p) =				p + 6		е) W (p) =		2 p + 11
					;					;
			2		;			2		;
	3 p		2	+ ap + 4			ap	2	+ 5 p + 4
ж) W (p) =				3 p + 8		.

		4 p 2 + ap + 10
		4 p 2 + ap + 10

Контрольные вопросы к теме 10

Основной уровень

1.Дайте определения асимптотически устойчивой системы.

2.Что называют свободным движением системы?

3.Сформулируйте признак асимптотической устойчивости системы.

4.Сформулируйте необходимое условие асимптотической устойчивости. Для каких систем оно является достаточным для устойчивости?

Углубленный уровень

1.Сформулируйте критерий асимптотической устойчивости Михайлова. Что называют годографом Михайлова?

2.Сформулируйте критерий перемежаемости корней. Приведите примеры расположения перемежающихся корней.

3.Сформулируйте критерии асимптотической устойчивости Рауса и Гурвица. В чем их преимущество перед другими способами проверки устойчивости системы?

Литература

Список рекомендованной литературы

1.	Задачи	по теории автоматического управления /	под	ред.
А. С. Шаталова. – М.: Энергия, 1971.
2.	Сборник	задач по теории автоматического управления	/ под	ред.
В. А. Бесекерского. – М.: Наука, 1973.

3.Мирошник И. В. Теория автоматического управления. Линейные системы: учеб. пособие для вузов / И. В. Мирошник. – СПб.: Питер, 2005.

4.Бесекерский В. А. Теория систем автоматического управления / В. А. Бесекерский, Е. П. Попов. – СПб.: Профессия, 2004.

5.Артамонов Д. В. Основы теории линейных систем автоматического управления: учеб. пособие / Д. В. Артамонов, А. Д. Семёнов. – Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2003.

6.Повзнер Л. Д. Теория систем управления: учеб. пособие для вузов / Л. Д. Повзнер. – М.: Изд-во. МГГУ, 2002.

7.Лазарева Т. Я. Линейные системы автоматического регулирования: учеб. пособие / Т. Я. Лазарева, Ю. Ф. Мартемьянов. – Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн.

ун-та, 2001.

8.Зайцев Г. Ф. Теория автоматического управления и регулирования / Г. Ф. Зайцев. – К.: Вища школа, 1989.

9.Михайлов В. С. Теория управления / В. С. Михайлов. – К.: Вища шк.,

1988.

10.Диткин В. А. Интегральные преобразования и операционное исчисление / В. А. Диткин, А. П. Прудников. – М.: Наука, 1974.

11.Шостак Р. Я. Операционное исчисление / Р. Я. Шостак. – М.: Высш.

шк., 1972.

12.Диткин В. А. Справочник по операционному исчислению / В. А. Диткин, А. П. Прудников. – М.: Наука, 1965.

13.Шелковников Ф. А. Сборник упражнений по операционному исчислению / Ф. А. Шелковников, К. Г. Такайшвили. – М.: Высш. шк., 1976.

Таблица оригиналов и их изображений

Приложение А. Таблица оригиналов и их изображений

№

Оригинал

Изображение

1(t )

e−α t

p + α

e−α t

− e− β t

( p + α )( p + β )

β − α

+ β e

−α t

− α e

− β t

p ( p + α )( p + β )

αβ αβ (α − β )

sin ω t

p2 + ω 2

cosω t

p2 + ω 2

(1 − cosω t )

p ( p2 + ω 2 )

ω 2

t n

pn+1

t ne−α t

( p + α )

n+1

e−α t sin ω t

( p + α )2 + ω 2

e−α t

cosω t

p + α

( p + α )2 + ω 2

e−α t + α t − 1

p2 ( p + α )

α 2

(a − α )t + 1 e−α t

p + a0

( p + α )

1 − (1 + α t )−α t

p ( p + α )2

α − a

−α t

p + a0

−

α 2

p ( p + α )

t −

sin ω t

( p2 + ω 2 ) p2

ω 2

Таблица оригиналов и их изображений

Приложение А. Таблица оригиналов и их изображений

(продолжение)

№

Оригинал

Изображение

sh ω t −

( p2 − ω 2 ) p2

ω 2

t sin ω t

( p2

+ ω 2 )

2ω

(sin ω t + ω t cosω t )

( p2 + ω 2 )2

2ω

t cosω t

p2 − ω 2

( p2 + ω 2 )2

−α t cosω t

( p + α )2 − ω 2

( p + α )2 + ω 2

sin ω t

arctg

(

− p )n

Jn (t ) (n > −1)

p2 + 1

J1 (t )

p +

p2 + 1

1(t − a )

e−a p

(t − a )1(t − a )

e−a p

1(t − a ) − 1(t − b )

(e−a p − e−b p ) при a < b

Навчальне видання

Вайсруб Наталя Володимирівна Голуб Олександр Миколайович Зейдіна Марія Іванівна

Теорія управління

Методичні матеріали для лабораторних занять та СРС

(Рос. мовою)

Редактор	І. О. Аксьонова
Технічний редактор

План вид. 2013 р., поз. № 72

Підписано до друку __________

Формат 60 х 84/16. Папір офсетний. Друк – цифровий. Умовн. друк. арк. ______

Тираж 100 прим. Зам. № ____

Донецький національний університет 83001, м. Донецьк, вул. Університетська, 24. Свідоцтво про внесення суб’єкта видавничої справи до Державного реєстру

серія ДК № 1854 від 24.06.2004 р.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.20252.43 Mб0Метод.реком.раздел дипл.Охрана труда,БЖДвЧС.doc
#
12.11.20195.03 Mб5метод1-3.docx
#
09.11.2019652.29 Кб2Метод[1]. Экологическое 2007.doc
#
03.09.2019118.78 Кб1Метод_стажировка.doc
#
01.05.2025358.91 Кб0МЕТОД_УКАЗ_ПО_ФИН_МАТ.doc
#
13.04.2015717.86 Кб8Метода_ТУ.pdf
#
12.11.2019791.04 Кб2Методвказівки для сам. вивчення_Інформатика. ОІ...doc
#
01.04.2025418.3 Кб0Методика анализа хоздеят. (для дипломов).doc
#
01.03.20251.87 Mб0Методика викладання української мови у таблицях...doc
#
26.04.201971.4 Кб2Методика викладення дієслова.docx
#
16.03.2016223.23 Кб24методика вищ шк магістр.doc