Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Метода_ТУ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

717.86 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Тема 5 Передаточная функция

Решение. Проведя преобразования аналогично примерам 5.1, 5.2, получим выражение передаточной функции системы:

W (p) =	R2 Cp
		.

	R1Cp + R2 Cp +1

Обозначим T1 = R1C , T2 = R2C , тогда передаточная функция примет вид:

W (p) =	T2 p
		.

T1 p + T2 p + 1

Дифференциальное уравнение имеет вид:

T U ′		(t ) = T U ′		(t ) + T U ′		(t) + U	2	(t) .
2	1	1	2	2	2		2

Пример 5.4. Для заданной динамической передаточную функцию.

		C
	i(t )			1





U1	(t)	R2
		R2
			R1
вход			R1
вход

системы (рис. 5.5) найти

U 2(t)

выход

Рис. 5.5 – Схема динамической системы для примера 5.4

Решение. Проведя вычисления аналогично примерам 5.1–5.2, получим выражение передаточной функции системы:

W (p ) =

R1 (R2 Cp + 1)

R2 Cp + 1

R1 R2Cp + R1 + R2

R1 + R2

R1 R2C

p + 1

R1 + R2

Обозначим L0 =

, T1 = R2C

, T2 =

R1 R2 C

тогда передаточная

R1 + R2

функция примет вид:

W (p) = L0 T1 p + 1 . T2 p + 1

Пример 5.5. Для заданной динамической системы (рис. 5.6) найти передаточную функцию.

Решение. Найдем импеданс всей цепи.

Z		(p) =	1	+ R =	RCp + 1	;
	32
			Cp		Cp

Тема 5 Передаточная функция

i(t )

i1 (t)

U1 (t)

i2 (t )

U 2(t)

вход

выход

i(t )

Рис. 5.6 – Схема динамической системы для примера 5.5

Z 34 (p) = R ;

−1

1 −1

2RCp + 1

−1

( p) =

Z 32 ( p)

+ 1)

Z 34 ( p)

RCp + 1

R(RCp

R(RCp + 1)

;

2RCp + 1

Z ( p) =

R(RCp +1)

2RCp +1 + RCp(RCp +1)

2RCp +1

Cp(2RCp +1)

Тогда напряжение на входе U1 ( p) = Z ( p) i ( p) .

Z12 (p) = R ,

Z12 (p) =

U 2

( p)

Аналогично на участке 1–2:

тогда

. Отсюда

i 1( p)

напряжение на выходе U 2 ( p) = Z12 ( p) i 1( p) .

Передаточная функция имеет вид: W (p) =

U 2 (p)

Z12 ( p) i1 ( p)

U1 (p)

Z ( p) i( p)

В случае, когда в электрической цепи присутствует параллельное

соединение, необходимо выразить ток

i1 ( p)

через

i( p) или наоборот. Для

этого пользуются следующими правилами:

1)i ( p) = i1 ( p) + i2 ( p) ;

2)напряжение на параллельных участках одинаково: U 32 ( p) = U 34 ( p) .

Так

как

U 32 ( p) = Z 32 ( p)i1 ( p) ,

U 34 ( p) = Z 34 ( p)i2 ( p) ,

то

i2 ( p) =

32 ( p) i1 ( p)

Z 34 ( p)

+ Z

32 ( p) i1

( p) =

Отсюда i ( p)

Z32 ( p)

i1 ( p)

( p)

Z34 ( p)

( p) 1

Z34 ( p)

Передаточная функция равна:

Тема 5 Передаточная функция

W (p) =

Z12 ( p)i1 ( p)

( p)

2RCp + 1 + RCp(RCp + 1)

RCp + 1

Z ( p)i ( p) 1

Z34

Cp(2RCp + 1)

RCp

( p)

=	RCp (2RCp +1) RCp	=			R2C 2 p2
								.
	(2RCp +1 + RCp(RCp +1)) (2RCp + 1)		R2C 2 p2 + 3RCp + 1
	Обозначим T = RC > 0 , тогда W (p) =				T	2 p 2
							.
					2 p 2
				T		+ 3Tp + 1

Задачи для самостоятельного решения к теме 5

Задача 5.1. Записать передаточные функции динамических систем а), б), описанных дифференциальными уравнениями:

а)

x′′′(t )− 5x′′(t )+ 2x′(t )− x(t ) = 2 y′′′(t )− 4 y′′(t )+ 10 y′(t )+ 12 y(t );

б)

x′′′(t ) + 25x′(t ) + 10x(t ) = 8 y′′(t ) + 6 y′(t ).

Задача

5.2. Найти

передаточные

функции

следующих

динамических

систем а) – в) и привести их к стандартному виду.

а)

i(t )

U1 (t)

U 2(t)

вход

3С

выход

б)

в)

i(t )

U1 (t)

U 2(t)

вход

R выход

Контрольные вопросы к теме 5

Основной уровень

1.Сформулируйте определение передаточной функции динамической системы.

2.Какими вспомогательными величинами целесообразно пользоваться при

Тема 5 Передаточная функция

нахождении передаточных функций электрических систем?

Углубленный уровень

1.Какими правилами следует руководствоваться при выражении токов в параллельно соединенных участках цепи?

2.С какой целью осуществляется выражение тока на участке параллельного соединения через начальный ток в цепи?

Тема 6 Переходная и весовая функции

Тема 6 Переходная и весовая функции динамической системы

Определение. Переходной функцией h(t ) (единичной переходной характеристикой) называется реакция динамической системы на единичное ступенчатое воздействие I (t) при нулевых начальных условиях (рис. 6.1).

	ДС
I (t )		h(t)
I (t )		h(t)

Рис. 6.1 – Схематическая иллюстрация переходной функции

Переходную функцию можно найти путем решения дифференциального уравнения системы при условии y(t ) = I (t ) и нулевых н. у. или с помощью соотношения:

−1	W ( p)
h(t) = L			(6.1)

		p
Определение. Весовой функцией		k (t) (импульсной	переходной

характеристикой) называется реакция динамической системы на единичное импульсное воздействие δ (t) при нулевых начальных условиях (рис. 6.2).

ДС

δ (t )

k (t)

Рис. 6.2 – Схематическая иллюстрация весовой функции

Весовую функцию можно найти путем решения дифференциального

уравнения системы при условии

y(t ) = δ (t )

и нулевых н. у. или с помощью

соотношений:

k (t ) = L−1 [W ( p)]

(6.2)

k (t) = h′(t)

(6.3)

Пример 6.1. Задана

динамическая система с

передаточной

функцией

W ( p) =

T > 0 . Найти переходную и весовую функции и построить их

Tp + 1

графики.

Решение. Для нахождения переходной

функции используем

формулу

−1

W ( p)

h(t) = L

. Получаем:

W ( p)

−

= L−1

h(t ) = L−1

= L−1

= e T .

+ 1

p +

Тема 6 Переходная и весовая функции

График переходной функции данной системы приведен на рис. 6.1.

h(t)

0	t

Рис. 6.1 – График переходной функции h(t )для примера 6.1

Весовую функцию найдем по формуле k (t) = h′(t) :

k (t) = h′(t) = − 1 e −T .

График весовой функции данной системы приведен на рис. 6.2.

k(t)

0	t

−

Рис. 6.2 – График весовой функции k (t )для примера 6.1

Пример 6.2. Найти переходную и весовую функции для следующих

систем и построить их графики.

а) W ( p) =

T2 p

, T1 , T2 > 0 ;

б) W ( p) =

2Tp + 2

> 0 ;

, T

T1 p + T2 p +1

2Tp + 3

в) W ( p) =

T 2 p 2

, T > 0 .

2 p 2 + 3Tp + 1

Решение

а) W ( p) =

T2 p

, T1 , T2 > 0 .

T1 p + T2 p +1

Тема 6 Переходная и весовая функции

Переходная функция имеет вид:

−1

−

T +T

h(t ) = L

= L

1 2 .

T1 p + T2 p + 1

p(T1

+ T2 ) + 1

T1 + T2

−

T +T

Весовая функция равна: k (t) = h

(t) = −

2 .

(T + T

) 2

Графики переходной и весовой функций приведены на рис. 6.3.

h(t)

k(t)

T1 + T2

−

(T + T

) 2

а)

б)

Рис. 6.3 – Графики переходной (а) и весовой (б) функций для примера 6.2, а)

б) W ( p) = 2Tp + 2 , T > 0 . 2Tp + 3

Переходная функция имеет вид:

h(t ) =

−1

2Tp + 2

p(2Tp

Для нахождения обратного преобразования Лапласа воспользуемся

теоремой Хэвисайда:

R( p) = 2Tp + 2 , Q( p) = 2Tp 2 + 3 p , Q ′( p) = 4Tp + 3 ; корни

знаменателя: λ

= 0 , λ

= −

R(0)

R −

Тогда

A =

, A =

− 1

Q′(0)

3 − 3 3

Q′ −

Переходная функция равна: h(t) = 2 + 1 e − 2T t .

Весовая функция равна: k (t) = h′(t) = − 1 e − 2T t . 2T

Графики переходной и весовой функций приведены на рис. 6.4.

				Тема 6 Переходная и весовая функции
h(t)					k(t)
h(t)					k(t)
1
1
	2
	2		0				t
3			0
3
				−	1
				−	2T
					2T
0		а)	t			б)
0			t

Рис. 6.4 – Графики переходной (а) и весовой (б) функций для примера 6.2, б)

в) W ( p) =		T	2 p	2	, T > 0 .
		2 p 2
	T		+ 3Tp + 1

Переходная функция имеет вид:

	T	2	p
h(t) = L−1				.

	2 p 2
T		+ 3Tp + 1

Для нахождения обратного преобразования воспользуемся теоремой

Хэвисайда: R( p) = T 2 p ,

Q( p) = T 2 p 2 + 3Tp + 1, Q ′( p) = 2T 2 p + 3T ; корни

− 3 ±

знаменателя: λ

1,2

− 3 + 5

− 3 − 5

Тогда A =

− 3 5

, A =

3 5

− 3 +

− 3 − 5

Q′

−3+ 5

−3− 5

Переходная функция равна: h(t) =

− 3 5 + 5

3 5 + 5

−3+ 5

−3− 5

Весовая функция равна: k (t) = h′(t) =

7 5 − 15

−

7 5 + 15

10T

Графики переходной и весовой функций приведены на рис. 6.5.

h(t)				h(t)
1




			0		t
					t
			− 3T
0		t
0

	а)				б)

Рис. 6.5 – Графики переходной (а) и весовой (б) функций для примера 6.2, в)

Тема 6 Переходная и весовая функции

Задачи для самостоятельного решения к теме 6

Задача 6.1. Задана передаточная функция системы. Найдите переходную и весовую функции системы и постройте их графики.

а) W ( p) =	3 p	;	б) W ( p) =	p + 2	;	в) W ( p) =		p + 3	.

	2 p + 1			7 p + 4			2 p	2 + p − 6

Контрольные вопросы к теме 6

Основной уровень

1.Что называется переходной и весовой функциями системы?

2.Какими способами можно найти переходную и весовую функции системы? В чем их отличие?

Углубленный уровень

1.Какой сигнал на практике является аналогом единичного ступенчатого; импульсного сигнала?

2.Что иллюстрируют графики переходной и весовой функций?

Тема 7 Частотные характеристики

Тема 7 Частотные характеристики динамической системы

Частотные характеристики системы описывают зависимости между амплитудой и фазой входного и выходного гармонических сигналов.

Определение. Амплитудно-фазовой частотной характеристикой

(АФЧХ) системы называется следующая функция чисто мнимого аргумента:

W (iω) = bm (iω) m + ... + b1iω + b0 . an (iω) n + ... + a1iω + a0

АФЧХ может быть формально получена из передаточной функции W ( p) заменой p на iω . Действительную и мнимую части АФЧХ обычно

обозначают: U (w) = ReW (iω) и V (w) = ImW (iω) .

Определение. Амплитудной частотной характеристикой (АЧХ) системы называется модуль АФЧХ этой системы:

A(ω) = W (iω) = U 2 (ω) + V 2 (ω).

Определение. Фазовой частотной характеристикой (ФЧХ) системы называется аргумент АФЧХ этой системы:

ϕ (ω) = ArgW (iω) = arctg V (ω) .

U (ω)

Определение. Годографом АФЧХ называют кривую в комплексной плоскости, которую описывает конец вектора W (iω ) при изменении ω от − ∞ до + ∞ .

Годограф АФЧХ на практике получают следующими способами:

−нахождением явной зависимости между U (w) и V (w) и последующим построением кривой, заданной неявно;

−построением кривой «по точкам»;

−использование средств математических пакетов.

Первый из указанных способов построения годографа является предпочтительным, так как дает возможность проанализировать характер изображенной кривой.

Пример 7.1. Найти частотные характеристики и построить годограф

АФЧХ системы с передаточной функцией W ( p) =	Tp	, T > 0 .

	Tp + 1

Решение. Найдем АФЧХ данной системы, подставив в передаточной

функции p = iω : W (iω) =	Tiω
		.

	Tiω + 1

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.20252.43 Mб0Метод.реком.раздел дипл.Охрана труда,БЖДвЧС.doc
#
12.11.20195.03 Mб5метод1-3.docx
#
09.11.2019652.29 Кб2Метод[1]. Экологическое 2007.doc
#
03.09.2019118.78 Кб1Метод_стажировка.doc
#
01.05.2025358.91 Кб0МЕТОД_УКАЗ_ПО_ФИН_МАТ.doc
#
13.04.2015717.86 Кб8Метода_ТУ.pdf
#
12.11.2019791.04 Кб2Методвказівки для сам. вивчення_Інформатика. ОІ...doc
#
01.04.2025418.3 Кб0Методика анализа хоздеят. (для дипломов).doc
#
01.03.20251.87 Mб0Методика викладання української мови у таблицях...doc
#
26.04.201971.4 Кб2Методика викладення дієслова.docx
#
16.03.2016223.23 Кб24методика вищ шк магістр.doc