319_Лекции по ядерной физике 1_7

Формула Вейцзеккера для енергії зв'язку в більшості випадків справедлива з точністю до декількох мегаелектронвольт і надзвичайно корисна при з'ясуваннівсіхістотнихзагальнихвластивостейядер(легкіядравиключаютьсязрозгляду).

Із цього можна зробити висновок, що краплинна модель із виправленнями на обмінний характер ядерних сил більш-менш правильно описує ядро, хоча, звичайно, ядро не тотожно краплі. Це видно й з того, що ряд характеристик ядра суперечить краплинній моделі.

Формула Вейцзеккера дозволяє пояснити загальний вид залежності від А (рис. 2.1). Об'єм ядра V ~ R3, тоді як площа поверхні ядра S ~ R2 . Якщо зменшувати розміри ядер, зменшуючи число нуклонів у ядрі, то об'єм ядра буде прямувати до нуля швидше площі його поверхні й, отже, роль поверхневих ефектів буде зростати зі зменшенням ядра. У дуже легких ядер практично всі нуклони перебувають на поверхні, а це значить, що ядерні сили не можуть виявити себе повністю, і система стає менш стійкою. Цим пояснюється спад кривої ліворуч.

Зі збільшенням розміру ядра, тобто в міру переходу в ділянку більших А (а отже, і більших Z) зростає число протонів. Енергія кулонівського відштовхування пропорційна Z2 , а ядерні сили пропорційні тільки першому ступеню А, тому роль електростатичної енергії зростає, й енергія зв'язку зменшується. При деякім значенні Z через відштовхування протонів стабільні ядра вже не можуть існувати. Таким чином, спад кривої праворуч пояснюється ростом сил електростатичного відштовхування.

Застосуємо формулу Вейцзеккера для визначення найбільш стабільного ізобара при заданому масовому числі А. Ізобари відрізняються один від одного значеннями Z. Тому завдання зводиться до визначення зарядового числа Z, при якому енергія зв'язку ядра максимальна. Продиференціюємо (3.1) по Z при постійному A і дорівняємо похідну нулю. Зрозуміло, при цьому досить взяти до уваги тільки третій і четвертий члени формули (3.1), тому що інші члени від Z не залежать. У результаті одержимо

31

що відрізняється від (3.7) приблизно на 1 %. Таке розходження навряд чи реально відчутне при тій точності, на яку може претендувати напівемпірична формула Вейцзеккера.

Ядра, що не зазнають -розпаду, називають -стабільними ядрами. Числа нейтронів N і протонів Z у них визначаються формулами (3.7) або (3.7а). Ці формули дають тільки середні або згладжені значення N і Z для -стабільних ядер. На плавний хід зміни, що відповідає формулам (3.7) і (3.7а), накладається ряд локальних перекручувань. Для A 40 число Z приблизно вдвічі менше A, тобто числа нейтронів і протонів у ядрі приблизно рівні. При великих А через кулонівське відштовхування в ядрі втримується більше нейтронів, чим протонів.

На рис. 3.1 на осях координат відкладені числа N і Z. Тут відомі -стабільні ядра зображені прямокутниками як функції N і Z. Темні квадратики відносяться до ядер, півперіод -розпаду яких більше 109 років, а світлі – до ядер, у яких цей півперіод менше. Ядра з надлишковим числом нейтронів або протонів -радіо- активні. Від надлишку протонів ядро звільняється шляхом випромінювання позитронів, а від надлишку нейтронів шляхом випромінювання електронів. Коли надлишок протонів стає настільки великим, що енергія відділення протона дорівнює нулю, то ядро існувати не може й розпадається. Аналогічний висновок можна зробити і для нейтронів.

Z

β-стабільні ядра

■ T 109 років (α-розпад)

12

□ T 109 років (α-розпад)

12

Відповідні теоретичні границі існування ядер зображені кривими Ср і Сn на рис. 3.1. Їх можна приблизно одержати, дорівнюючи нулю частинні похідні по Z (при N const) і по N (при Z const). Про криву Z2A 41 буде сказано при

розгляді питання про поділ ядра.

Залежність енергії зв'язку ядра від числа нейтронів N і числа протонів Z можна зобразити графічно, відкладаючи на горизонтальних осях значення N і Z, а на вертикальній осі значення енергії зв'язку Езв. Оскільки числа N і Z цілі, то таким чином вийде кінцева система точок, кожна з яких відповідає певному ядру. Якщо їх з'єднати поверхнею, то вона аж ніяк не буде гладкою, а вийде зубчастою. Положення тут нагадує те, що вийшло б, якби подібним чином зобразити залежність енергії іонізації атома від порядкового номера елемента. Енергія іонізації змінювалася б стрибкоподібно при переході від одного елемента до сусіднього. Особливо великі були б ці стрибки при переходах від сусідніх атомів до атомів інертних газів, у яких повністю забудовані зовнішні електронні оболонки й саме завдяки цьому енергії іонізації особливо великі. Аналогічне збільшення питомої енергії зв'язку спостерігається й у ядерній фізиці при переході до магічнихядер. Цей ефект пов'язаний з оболонковою структурою ядра.

Але особливо сильно питома енергія зв'язку змінюється при зміні парності ядра. При переході ж від ядер до сусідніх ядер тієї ж парності стрибки питомої енергії зв'язку відносно менші. Саме в цьому проявляється енергія спарювання. Завдяки наявності енергії спарювання поверхня Eзв Eзв N,Z чітко розщеплю-

ється на три поверхні.

Вище всіх розташовується поверхня для парно-парних ядер, нижче всіх – для непарно-непарних. Посередині між ними розташовується поверхня з непарними числами А, що відповідає парно-непарним і непарно-парним ядрам. Всі три поверхні можна апроксимувати гладкими поверхнями, використовуючи для цього, наприклад, формулу Вейцзеккера. Відстань між цими поверхнями при Z 10 20 й N 10 20 становить приблизно 3 2 МеВ, а потім монотонно убуває до 1 МеВ у ділянці найважчих ядер (Z 100, N 150).

На рис. 3.2 представлена експериментальна залежність питомої енергії зв'язку ядра від масового числа А для найбільш стабільних ізобарів при всіх парних значеннях А. Непарно-непарних стабільних ядер відомо всього п'ять: це лег-

кі ядра 12 D, 36 Li, 105 B, 147 N , а також 5023V . Вони на рис. 3.2 не представлені. Не представлені і ядра з непарними значеннями А. Тим самим виключені систематичні непарно-парні виправлення, пов'язані з ефектом спарювання нуклонів. Плавна крива відповідає напівемпіричній формулі Вейцзеккера (3.1).

33

Рис. 3.2

Якщо виключити з розгляду найлегші ядра, то в грубому наближенні питома енергія зв'язку слабко змінюється при переході від ядра до ядра й дорівнює приблизно 8 МеВ. Питома енергія зв'язку досягає максимуму при A 56 (залізо). Цей максимум приблизно дорівнює 8,8 МеВ. Уповільнення росту питомої енергії зв'язку з подальшим падінням її, як уже вказувалося вище, спочатку пов'язане із впливом поверхневої енергії, а потім з кулонівським відштовхуванням. З розгляду кривої видно, що для легких ядер енергетично можливий процес злиття їх з виділенням ядерної енергії синтезу. Навпроти, для важких ядер енергетично вигідний процес поділу, що супроводжується також виділенням енергії. На цих процесах заснована вся ядерна енергетика.

34

Недоліки краплинної моделі

Краплинна модель ядра дає приблизно правильне уявлення про масу, енергію зв'язку й інші параметри ядра, дозволяє знайти енергетичні умови - і - розпаду. На основі краплинної моделі можна одержати правильне якісне уявлення про структуру поділу, спіни і парності декількох перших рівнів у парнопарних ядрах, побудувати якісну теорію поділу й ін.

Разом з тим навіть у межах того кола питань, що вона описує, модель не цілком послідовна. Раніше було відзначено, що побудувати напівемпіричну формулу для енергії зв'язку й маси ядра, спираючись тільки на краплинну модель, не можна. Виявилося, що для правильного опису залежності маси ядра від заряду Z і масового числа А недостатньо тричленної формули, побудованої за принципом аналогії між ядерною речовиною й краплею рідини, а потрібне введення четвертого члена, що враховує ефект симетрії й п'ятого члена ( -члена), що має різний вид залежно від парності або непарності числа нуклонів, що містяться в ядрі. Власне кажучи, введення цих членів у напівемпіричну формулу є відступом від краплинної моделі.

Не дає краплинна модель кількісного уявлення й про збуджені стани ядра. Спроба погодити частоту поверхневих хвиль рідкої краплі ядерної речовини з положеннями рівнів ядра не привела до успіху. Не може пояснити краплинна модель і одного з основних властивостей поділу – його асиметрії.

Крім того, існує велике коло питань, які краплинна модель зовсім не зачіпає. Сюди відносяться індивідуальні характеристики основних і збуджених станів ядер (енергії зв'язку, спіни, магнітні моменти й парності), деякі особливості - і -розпаду, закономірності розміщення ядер-ізомерів серед інших ядер, поширеність різних ядер у природі й ін.

Виявилося, що перераховані вище й деякі інші властивості досить своєрідно залежать від числа нуклонів у ядрі. Ця своєрідність полягає в періодичності зміни. Так, наприклад, всі парно-парні ядра в основному стані мають нульові спіни й магнітні моменти й мають підвищене значення енергії зв'язку. Існує специфічна роль магічних чисел нуклонів (2, 8, 20, 50, 82, 126). Досвід показує, що ядра з такими кількостями протонів або нейтронів (магічні ядра) особливо стійкі. Нагадаємо, що магічними називають ядра, в яких число протонів або нейтронів дорівнює одному із чисел 2, 8, 20, (28), 50, 82, 126 (в останньому випадку тільки для нейтронів). Самі ці числа називають також магічними. Якщо у ядра одночасно є магічними як число протонів, так і число нейтронів, то таке ядро називаєтьсядвічі магічним. Таких ядер усього п'ять: 42 He, 168 O, 4020 Ca, 4820 Ca, 82208 Pb.

Магічні й особливо двічі магічні ядра відрізняються підвищеною стійкістю (тобто мають великі питомі енергії зв'язку) і підвищеною поширеністю в при-

35

роді в порівнянні з іншими ядрами. Існування магічних чисел пояснюється оболонковою моделлю ядра.

Відзначена періодичність у зміні властивостей атомних ядер залежно від числа нуклонів, що містяться в них, нагадує періодичну зміну властивостей атомів залежно від числа електронів, що містяться в них. Подібно магічним ядрам, атоми, що містять певне число електронів (2, 10, 18, 36, 54, 86), є особливо стійкими (інертні гази).

Як відомо, сучасна модель атома будується в припущенні про незалежний рух електронів у центральному потенціалі. Тому можна припускати, що перераховану вище періодичність у властивостях ядер також удасться пояснити в моделі незалежних частинок, хоча сама ідея використання цієї моделі для опису ядра, що складається із нуклонів, які сильно взаємодіють, на перший погляд здається спірною.

Існують дві моделі незалежних частинок: найпростіша – ядерний фермігаз, і більш складна – модель ядерних оболонок. Проблема застосовності моделі незалежних частинок до ядра обговорюється паралельно з розглядом моделей у відповідних лекціях.

36

Лекція 4

ЯДЕРНІ СИЛИ

При розгляді питань будови ядра був наведений ряд дослідних даних про властивості ядерних сил, що діють між протонами і нейтронами. Зараз труднощі визначення всіх кількісних співвідношень поки не переборені. Джерелами наших відомостей про особливості ядерних сил є експериментальні дослідження, найважливіші з яких будуть розглянуті далі.

Найпростішим ядром, у якому зв'язані тільки дві частинки: один протон і один нейтрон, – є ізотоп водню – дейтрон.

Вивчення структури й енергетичних станів цього ядра може дати деякі відомості про ядерні сили.

Іншим джерелом інформації про ядерні сили служать досліди з розсіювання нуклонів на нуклонах при різних енергіях частинок, що падають. У класичній фізиці сили, що діють між двома частинками,можна вимірювати при різних взаємних відстанях, швидкостях і орієнтаціях їхніх моментів з будь-яким ступенем точності. Мікросвіт підкоряється законам квантової механіки і відповідно до принципу невизначеності неможливо встановити два нуклони на строго визначеній відстані один від одного і вимірювати діючу між ними силу. Такий простий шлях вивчення ядерних сил закритий.

Не все так просто і при вивченні зіткнень частинок. Для характеристики процесів зіткнень мікрочастинок приходиться вводити нове поняття так називаного ефективного перерізу (чи поперечного перерізу) процесу – . Походження цього параметра можна уявити, якщо розглядати частинку-розсіювач у вигляді круглої мішені. Якщо допустити, що при влученні в мішень частинки, що падають, вибувають з пучка (або поглинаються, або відхиляються від свого шляху за рахунок розсіювання), то площа перерізу мішені і буде являти ефективний переріз процесу: R2 , де R – радіус мішені.

Практично неможливо ставити досліди з одиночними частинками, завжди ми маємо справу з потоками частинок і з безліччю розсіювачів. Як же необхідно при цьому визначати ефективний переріз?

Щільність потоку частинок, що падає на мішень, може бути записана у вигляді I = Nv, де N – число падаючих частинок в одиниці об'єму; v – швидкість падаючих частинок.

Якщо п – число частинок, що розсіюють, в одиниці об'єму мішені, x – товщина мішені, досить мала для того, щоб багаторазове розсіювання було несуттєве, то щільність потоку в шарі x послаблюється на шляху l на величинуI, таку, що

I In ,x

37

де величина не залежить від I , п та х і характеризує одиничний акт розсіювання.

Величина чисельно дорівнює числу актів розсіювання (і поглинання у випадку, коли вимірюється повне ослаблення пучка), віднесеному до одиничного потоку частинок (тобто числу актів, поділеному на число падаючих частинок, що проходять за 1 с через площадку в 1 см2, яка нормальна потоку). Інакше кажучи, ефективний переріз являє собою імовірність виникнення реакції (чи розсіювання) в одиничному потоці при проходженні шару мішені в 1 см, що містить одну частинку, яка розсіює.

Для характеристики розсіювання за різними напрямками зручно ввести поняття про диференціальний переріз розсіювання d , під яким розуміють переріз розсіювання усередину елемента тілесного кута . Число розсіяних частинок, що летять після влучення на мішень в елементі тілесного кута d , пропорційно

диференціальному перерізу. Повний переріз дорівнює інтегралу від dd по

сфері, що оточує мішень.

При розгляді процесів розсіювання використовують дві системи координат: лабораторну систему і систему центра інерції. Результати виміру різних експериментальних величин звичайно подаються в лабораторній системі координат (л. с. к.) – у системі відліку, яка пов'язана з мішенню.

Однак аналіз результатів іноді більш зручно робити в системі центра інерції (с. ц. і.), у якій нерухомим началом координат є загальний центр мас частинок, що взаємодіють. Імпульси частинок, вимірювані в с. ц. і., рівні за абсолютною величиною і протилежні за напрямком. Таким чином, сумарний імпульс обох частинок у с. ц. і. завжди дорівнює нулю, що істотно спрощує аналіз експериментальних даних.

Повний переріз не залежить від того, у якій системі координат вивчається процес. Відзначимо, крім того, що усі введені поняття справедливі й у тому випадку, якщо для процесу розсіювання істотні квантові явища.

Основні характеристики ядерних сил

Ядерні сили забезпечують притягання – це випливає із самого факту іс-

нування стабільних ядер, що складаються з протонів і нейтронів.

Ядерні сили великі за абсолютною величиною.Їхня дія на малих відстанях значно перевершує дію усіх відомих у природі сил, у тому числі й електромагнітних.

38

Дотепер нам відомо чотири види взаємодії: а) сильні (ядерні) взаємодії; б)електромагнітні взаємодії;

в)слабкі взаємодії, особливо чітко спостерігаються в частинок, що не виявляють сильних і електромагнітних взаємодій (нейтрино);

г) гравітаційні взаємодії.

Порівняння сил при цих видах взаємодії можна одержати шляхом використання системи одиниць, у якій характерні константи взаємодії, що відповідають цим силам (квадрати «зарядів»), безрозмірні.

Так, для взаємодії усередині ядра двох нуклонів, що взаємодіють усіма цими силами, константи взаємодії мають порядок:

сильнівзаємодії............... –1 електромагнітні . . . . . . . . . . . . . –10–2 слабкі........................ –10–14 гравітаційні . . . . .. .. . . . . . . . .. . –10–36

1.Ядерні сили забезпечують існування ядер.

2.Електромагнітні сили забезпечують існування атомів і молекул. Середня енергія зв'язку нуклона в ядрі дорівнює 8 МеВ, тобто 10–3 Mc2, де Мс2 – енергія

спокою нуклона. Енергія зв'язку електрона в атомі водню складає всього 13,57 еВ, тобто 10–5 тс2, де тс2 – енергія спокою електрона. Отже, у цьому масштабі енер-

3. Слабкі взаємодії відповідальні за такі тонкі ефекти, як взаємні перетворення n p шляхом -розпаду і k-захоплення; за різні розпади елементарних

частинок, а також за всі процеси взаємодії нейтрино з речовиною.

4.Ізгравітаційними взаємодіямипов'язанастійкістькосмічнихтілісистем.

тобто досить повільно і, отже, є далекодійними. Взаємодії ж першого і третього типу убувають з відстанню дуже швидко і тому є короткодійними.

Ядерні сили короткодійні. Це випливає:

а) з дослідів Резерфорда з розсіювання -частинок легкими ядрами (для відстаней, що перевищують 10–12 см, результати дослідів пояснюються чисто кулонівською взаємодією -частинок з ядром, але при менших відстанях настають відхилення від закону Кулона, обумовлені ядерними силами. Звідси випливає, що радіус дії ядерних сил у будь-якому разі менше 10–12 см);

б) з вивчення -розпаду важких ядер; в)з дослідів з розсіювання нейтронів на протонах і протонів на протонах.

39

Зупинимося на них трохи докладніше.

При малих енергіях нейтронів розсіювання їх у системі центра інерції є ізотропним. Дійсно, класична частинка з імпульсом р «зачепиться» за мішень, що розсіює, з радіусом дії ядерних сил rp, якщо вона пролітає на відстанях, менших r0, тобто якщо компонента її моменту імпульсу в напрямку, перпендикулярному площині траєкторії не перевищує r0 p (рис. 4.1).

r0 l,

відкіля

l r0 .

Таким чином, при r0 значення l 0, а при l = 0 хвильова функція,

що описує стан системи, сферично симетрична в с. ц. і., тобто в цій системі розсіювання повинне бути ізотропним.

При r0 розсіювання вже не буде ізотропним. Зменшуючи енергію па-

даючих нейтронів і тим самим збільшуючи , можна знайти те її значення, при якому досягається ізотропія розсіювання. Це дає оцінку радіуса дії ядерних сил.

Максимальна енергія нейтронів, при якій ще спостерігалося сферично симетричне розсіювання, дорівнювала 20 МеВ. Це дозволило визначити верхню границю радіуса дії ядерних сил, вона виявилася рівною 2·10–13 см.

Далі, при розсіюванні потоку протонів на протонній мішені можна розрахувати очікуване значення ефективного перерізу процесу, якщо діють тільки кулонівські сили. Однак, коли частинки сильно зближаються, ядерні сили починають переважати над кулонівськими, і розподіл розсіяних протонів змінюється.

З таких дослідів знайдено, що ядерні сили різко спадають зі збільшенням відстані між протонами. Область їхньої дії вкрай мала і має порядок величини

(2 3) 10 13 см. На жаль, результати дослідів з розсіювання нуклонів малих енергій не дають відомостей про закон зміни ядерних сил з відстанню. Детальна форма потенціальної ями залишається невизначеною.

40