319_Лекции по ядерной физике 1_7

Момент імпульсу

Квантовою одиницею моменту імпульсу є величинаħ

ħ=h/2π=1,055·10–34 Дж·с=6,59·10–16 еВ·с.

Розміри атомних ядер

Досліди Резерфорда з вивчення розсіювання -частинок на металевих плівках дозволили оцінити розміри ядра, яке їх відштовхувало, як найменшу відстань, на яку -частинка наближається до атомного ядра при лобовому ударі.

Сила відштовхування між ядром і α-частинкою на відстані d відповідно до закону Кулона

Fk k 2deZe2 ,

де k= 8,987· 109 HКлм22 ,2е– заряд α-частинки, Ze – заряд ядра. Потенціальна енергія на відстані d між частинками

Wn k 2eZed .

Кінетична енергія -частинки на великій відстані від ядра дорівнює MV2 2 .

При прямому влученні на центр, що розсіює, -частинка може підійти до ядра на відстань d0 , обумовлену законом збереження механічної енергії

В експериментах Гейгера й Марcдена (1909 р.) швидкість -частинок

V=2,09·107 м/с; M2e 2 10 8 кг/Кл, e 1,64 10 19 Кл,

тобто

11

Оцінимо розмір атома золота.

Кубічна кристалічна решітка золота містить один атом золота на елементарний куб, повторюючи який можна одержати всю решітку кристала. Густина золота = 19 320 кг/м3, атомна маса А = 197.

Визначимо відстань між найближчими атомами золота.

Густина золота Vm , де маса золота m = m0 · N (m0 – маса одного атома, N –

число атомів), об'єм золота V N l3 , де l – відстань між найближчими атомами. Маса одного атома

10 000 разів більше розміру ядра золота.

Як указувалося вище, з (1.4) випливає, що густина ядерної речовини приблизно однакова для всіх елементів. Дійсно, маса ядра (обумовлена величиною А) пропорційна його об'єму V:

V 43 r03 A

і, отже, у всіх ядрах число нуклонів в одиниці об'єму однакове

Однакова так само повинна бути й густина всіх ядер (цим ядра схожі на нестисливу рідину)

n mN 1038 ,166 10 24 1014 г/см3,

що має порядок 100 млн т в 1 см3. При такій густині куля радіусом 200 м мала б вагу земної кулі.

12

Лекція 2

ЕНЕРГІЯ ЗВ’ЯЗКУ ЯДЕР. МОДЕЛІ АТОМНИХ ЯДЕР

Енергія зв’язку ядер

Ядро являє собою систему з А елементарних частинок – нуклонів, які утримуються разом силами притягання і рухаються усередині ядра з нерелятивістськимишвидкостями.

Однієюзнайважливішиххарактеристик атомногоядра єйого масаМя.Уядерній фізиці масу ядра (і атома) вимірюють як в атомних одиницях маси, так і в електронвольтах, оскільки, відповідно до співвідношення Ейнштейна, енергія

Атомне ядро – складна система, що складається з нуклонів. Тому його енергія спокою визначається внутрішнім рухом нуклонів. Чим більше енергія внутрішнього руху нуклонів, тим більше енергія спокою ядра і, отже, тим більше його маса спокою. Атомне ядро, знаходячись у різних станах, має, узагалі кажучи, різну повну енергію. Стан, якому відповідає найменша можлива для даного ядра енергія, називають основним; всі інші стани називають збудженими.

За нормальних умов ядра знаходяться в основних станах. Якщо ядро, знаходячись у стані k, має енергію Еk, то говорять, що ядро знаходиться на енергетичному рівні Еk.

Усякий збуджений стан ядра нестійкий. Якщо ядро перевести в більш високий (збуджений) квантовий стан, то воно повернеться в основний стан з випущен- нямодногочидекількохелектромагнітнихквантів–γ-променівчиіншихчастинок.

Надлишок W енергії спокою збудженого стану Еk у порівнянні з енергією

Маса ядра Мя завжди менше суми мас частинок, що входять у нього, на декілька десятих відсотка. Це обумовлено тим, що при об'єднанні нуклонів у ядро виділяється енергія зв'язку нуклонів один з одним. Маса ядра визначається виразом

де mp і mn – відповідно маси протона і нейтрона.

Різницю М між сумою мас нуклонів і масою ядра називають дефектом маси ядра. Він характеризує енергію зв'язку цих нуклонів у ядрі, тобто енергію, яку потрібно затратити, щоб розділити дане ядро на нуклони, що його складають.

13

У більшості експериментів вимірюваною величиною є маса атома Мат, що відрізняється від маси ядра на величину мас електронів. Оскільки число електронів в атомі завжди дорівнює числу протонів у ядрі, маса атома може бути записана у виді

Енергією зв'язку електронів в атомі можна знехтувати в порівнянні з енергією зв'язку ядра і тому у виразах (2.4) і (2.5) вона не враховується. З (2.3) повна енергія зв'язку нуклонів у ядрі (енергія зв'язку ядра)

Вона дорівнює тій роботі, яку треба виконати, щоб розділити нуклони, що утворюють ядро і віддалити їх один від одного на такі відстані, при яких вони практично не взаємодіють один з одним. Маси всіх частинок у формулі (2.6) – маси спокою.

При утворенні ядер шляхом з'єднання нуклонів повинна виділитися енергія, рівна енергії зв'язку ядра.

Можна визначити й енергію зв'язку ядра стосовно поділу його на будь-які дві частини, що складаються з протонів і нейтронів, тобто мінімальну роботу, необхідну для поділу ядра на ці дві частини. Наприклад, енергія зв'язку протона в ядрі, інакше називана енергією відділення протона від ядра, є мінімальна робота, яку треба виконати, щоб видалити протон з ядра. Вона визначається формулою

тобто дорівнює різниці енергій зв'язку вихідного і кінцевого ядра.

Аналогічно енергія зв'язку нейтрона в ядрі (енергія відділення нейтрона від ядра)

винна виділитися (її іноді називають енергією приєднання).

Для всіх стабільних ядер Ер і Еn додатні, тому серед них не може існувати протонної і нейтронної радіоактивності.

14

Ядра важких елементів, наприклад урану, мають дуже велику енергію зв'язку щодо всіх нуклонів, що складають його, однак якщо для 92U238 підрахувати значення енергії зв'язку відносно 2 Не4 і 90Th234 , то виходить від’ємна величина

нейтронів міститься приблизно в 1,5 рази більше, ніж протонів (20882 Pb, 22688 Ra, 23892U ). Надлишок нейтронів у важких ядрах пояснюється кулонівським відштовхуван-

На рис. 2.1 наведена крива експериментальної залежності ε = f(A). ε зростає від ε = 0 при А = 1 (протон) до ε = 8,7 МеВ при А = 50 ÷ 60 і поступово зменшується до ε = 7,5 МеВ для урану. Така залежність питомої енергії зв'язку від масового числа робить енергетично можливими два процеси: 1) поділ важких ядер на декілька більш легких ядер; 2) злиття (синтез) легких ядер в одне ядро. Обидва процеси повинні супроводжуватися виділенням великої кількості енергії.

Ядра зі значеннями масового числа А від 50 до 60 є енергетично більш вигідними. У зв'язку з цим виникає питання: чому ядра з іншими значеннями А виявляються стабільними? Для того, щоб розділитися на кілька частин, важке ядро повинне пройти через ряд проміжних станів, енергія яких перевищує енергію основного стану ядра. У звичайних умовах ядру нема звідки взяти додаткову енергію, унаслідок чого важкі ядра не зазнають спонтанного поділу. Для злиття легких ядер в одне ядро вони повинні підійти одне до одного на дуже близьку відстань (~10–13 см). Такому зближенню ядер перешкоджає кулонівське відштовхування між ними. Для подолання цього відштовхування ядра повинні рухатися

15

зі швидкостями, що відповідають температурам порядку декілька сот мільйонів кельвін.

Середнє значення 8МеВ, причому для більшості ядер 8МеВ. Тому енергія зв'язку атомних ядер у першому наближенні може бути виражена через масове число співвідношенням

Якщо значення питомої енергії зв'язку обчислити для усіх відомих ядер і побудувати їх як функцію А і Z у просторі ε, А, Z, то через отриману сукупність точок ε(А, Z) можна провести поверхню, що називають енергетичною поверхнею. Вона має вид вигнутого хребта, гребінь якого проходить над доріжкоюміцно зв'язаних (β-стабільних) ядер, а схили – над ділянкою β+ і β–-радіоактивних ядер (рис. 2.2). Детальне вивчення ε(А, Z) виявляє, що енергетична поверхня розщеплюється на три поверхні: вище усіх лежить поверхня, на якій розташовуються ядра з парними Z і N (парно-парні ядра). Посеред лежить поверхня, що містить ядразнепарнимA(зпарнимZінепарнимN–парно-непарні;знепарнимZіпарним N – непарно-парні). Нижче усіх розташована поверхня для непарно-непарних ядер (з непарним Z і непарним N). Тобто енергія зв'язку максимальна для парнопарних ядер, мінімальна для непарно-непарних ядер і приймає проміжні значення для інших ядер. Існує всього п'ять стабільних непарно-непарних ядер (12Н ,

36 Li, 105 B, 147 N, 5023V ).

Розглянемо розходження між трьома статистиками – класичною, фермієвською і бозевською – на найпростішому випадку, коли є дві однакові частинки і два різних одночастинкових стани. Число можливих станів такої фізичної системи буде різним для різних статистик.

Укласичній статистиці можливі чотири стани: а) обидві частинки в першому стані; б) обидві частинки в другому стані;

в) перша частинка в першому стані, друга – у другому; г) перша частинка в другому стані, друга – у першому.

Устатистиці Фермі можливий тільки один стан: одна з частинок (яка саме – питання, що не має сенсу) знаходиться в першому стані, інша – у другому.

16

У статистиці Бозе-Ейнштейна можливі три стани: а) обидві частинки в першому стані; б) обидві частинки в другому стані;

в) одна з частинок у першому стані, інша – у другому.

Моделі атомних ядер

Зараз ще не створена послідовна закінчена теорія атомного ядра. Причина цього полягає насамперед у тому, що дотепер невідомо аналітичну залежність ядерних сил від параметрів, що їх визначають. Сили взаємодії між нуклонами залежать від відстані між ними, від їх швидкостей, від орієнтації спінів. Але якби навіть сили взаємодії між нуклонами були цілком відомі, то в теорії ядра треба було б ще вирішити квантовомеханічну задачу багатьох тіл. У теорії атома для розв’язку цієї задачі використовують наближені методи – метод Хартлі і метод Фока. Вони використовують ту обставину, що відстані між електронами атомної оболонки, а також між ними і ядром атома дуже великі в порівнянні з розмірами цих частинок, тобто атом практично порожній. У випадку ядер ці методи застосовувати не можна, тому що відстані між нуклонами ядра того ж порядку,що і розміри самих нуклонів.

Якби число частинок у системі було дуже велике, то можна було б застосовувати статистичний метод. Але статистичний метод не можна застосовувати для легких ядер, а для середніх і важких ядер застосовність статистичного методу обмежена, оскільки число нуклонів навіть у важких ядрах усе-таки недостатньо велике.

Таким чином, спроби побудови теорії ядра наштовхуються на такі серйозні труднощі: 1) недостатність знань про сили, що діють між нуклонами; 2) надзвичайну громіздкість квантової задачі багатьох тіл (ядро з масовим числом А являє собою систему з А тіл). Замість послідовної закінченої теорії ядра в ядерній фізиці використовують різні моделі ядра, кожна з яких охоплює лише обмежене коло явищ, але жодна з них не може пояснити всю сукупність дослідних фактів. Ядерні моделі не дають істинної теорії явищ, але дозволяють систематизувати

17

явища з різних галузей ядерної фізики, а головне – передбачати нові. У цьому і полягає їхня користь. У кожній моделі містяться довільні параметри, значення яких підбираються так, щоб дістати згоду з експериментом. Гідно подиву, що на цьому шляху досягнуто так багато в розумінні відомих з дослідів ядерних явищ і передбаченні нових.

Всі існуючі моделі можна грубо розділити на класи, що є як би наближенням до дійсності з різних боків.

1. Моделі ядер із сильною взаємодією (колективні). У цих моделях враховується, що ядро є системою сильновзаємодіючих одна з одною частинок, зв'я- заних силами, що діють тільки на дуже малих відстанях. Вільний пробіг нуклона в ядрі λ і радіус сил між двома частинками r0 при цьому малі в порівнянні з розміром ядра R і r0 R. Рух нуклона в такій моделі визначається не станом

ядра як цілого, а рухом невеликого числа його сусідів (визначальне значення мають часті й інтенсивні взаємодії кожного нуклона з його найближчими сусідами). До такого типу відносяться моделі: краплинна, складеного ядра, статистична, модель з α-частинок і інші.

2.Моделі ядер з незалежних частинок (одночастинкові). У моделях цього класу вважається, що рух нуклонів є зовсім неузгодженим, вони рухаються практично незалежно один від одного в потенціальному полі, що утворено сумарною середньою дією всіх нуклонів ядра (деяке усереднене самоузгоджене поле (при цьому R). До такого типу відносяться оболонкова модель, модель Фермігазу, модель потенціальної ями й ін.

3.Крім того, запропоновані узагальнена й оптична моделі, в яких робиться спроба узгодження деяких протилежних допущень, покладених в основу моделей першого і другого класів.

Як же можна погодити два припущення про те, що R і R, які на перший погляд виключають одне одне? Якщо розглядати незбуджене ядро в основному стані, то нижні енергетичні рівні його повинні бути цілком заповнені і, відповідно до принципу Паулі, на ці рівні не можна помістити інші ідентичні частинки. При русі нуклона в ядрі і зіткненні його з іншими нуклонами повинний відбуватися перерозподіл енергії між ними; у результаті один з нуклонів повинний перейти в більш низький енергетичний стан, а це неможливо. У зв'язку

зцим можна вважати нуклони такими, що практично не взаємодіють, а довжину вільного пробігу великою ( R).

Якщо ж розглядати збуджене ядро, енергія збудження якого більше середньої енергії зв'язку нуклона в ядрі, то зіткнення нуклонів усередині такого ядра стають можливими, оскільки з'являються вільні вище і нижче розташовані рівні і нуклони можуть переходити з одного стану в інший. У цьому випадку можна

18

вважати довжину вільного пробігу меншою розмірів ядра. Таким чином, при розгляді різних фізичних явищ варто використовувати різні моделі.

Більш важким є випадок, коли вільний пробіг нуклона і розмір ядра – величини одного порядку.

Докладний опис ядерних моделей із вказівкою областей і границь їхньої застосовності дається в спеціальних посібниках з ядерної фізики. У рамках курсу загальної фізики можна обмежитися лише загальними уявленнями.

Краплинна модель була запропонована Нільсом Бором і незалежно від нього Я.І. Френкелєм. Те, що густина ядерної речовини всіх ядер постійна, говорить про її нестисливість. Ця властивість зближає ядерну речовину з рідиною. Про таку аналогію свідчить також відзначена пропорційність енергії зв'язку масовому числу (2.10), яку можна порівняти з лінійною залежністю енергії випару рідини від її маси.

Властивість насичення ядерних сил, що випливає зі сталості середньої енергії зв'язку ( = 8 МеВ/нуклон), поглиблює аналогію, оскільки подібну ж властивість мають хімічні сили, що зв'язують молекули рідини. Усе це дозволяє побудувати краплинну модель атомного ядра, за якою ядро являє собою сферичну (кулясту) краплю надгустої нестисливої позитивно зарядженої ядерної рідини.

Краплинна модель ядра побудована в припущенні сильної взаємодії нуклонів між собою. Ця модель відноситься до класу колективних моделей (у ній розглядається взаємодія великих колективів нуклонів).

Основним досягненням краплинної моделі є одержання напівемпіричної формули для енергії зв'язку частинок у атомному ядрі (формула Вейцзеккера):

Ця формула дозволяє оцінювати не тільки енергію зв'язку і масу ядра, але і деякі інші його параметри, наприклад енергію відділення нуклона й ін. За допомогою краплинної моделі була побудована якісна теорія поділу важких ядер, отриманий зв'язок між А і Z для β-стабільних ядер, пояснені деякі закономірності α- і β-розпаду, передбачено маси й енергії зв'язку деяких нових ядер тощо.

Іноді говорять, що ядро складається із суміші двох «нестисливих рідин» – нейтронної і протонної, що проникають одна в одну.

Однак існуютьвластивості атомних ядер,що суперечатьмоделі рідкої краплі. Наприклад, обчислення збуджених станів ядер за даною моделлю дає занадто великі відстані між рівнями, не пояснює модель і асиметрію поділу ядра. Краплинна модель приводить до плавної залежності властивостей ядер від числа нуклонів, що містяться в них. Тим часом з досвіду випливає, що ряд ядерних властивостей (енергія зв'язку, поширеність у природі, спін, магнітний момент, квадрупольний електричний момент і ін.) змінюються в залежності від числа нуклонів

19

періодично. Так, наприклад, за інших рівних умов серед легких ядер більш стійкі ті, в яких число протонів дорівнює числу нейтронів. Парно-парні ядра стійкіші (мають підвищене значення енергії зв'язку), ніж парно-непарні, непарно-парні і непарно-непарні. Крім того, усі парно-парні ядра в основному стані мають нульовий спін і магнітний момент. А ядра, що містять 2, 8, 20, (28), 50, 82 чи 126 нуклонів (магічні ядра), виявляють особливу стійкість навіть на тлі парно-парних ядер і мають нульовий квадрупольний електричний момент.

Експерименти показали, що існує періодичність у зміні деяких властивостей атомних ядер у залежності від числа нуклонів, що містяться в них. Це нагадує періодичну зміну властивостей атомів у залежності від числа електронів, що містяться в них. Подібні періодичні властивості ядер описуються в моделях незалежних частинок.

Як відомо, сучасна модель атома будується в припущенні про незалежний рух електронів у центральному потенціалі. Тому можна припускати, що періодичність у властивостях ядер також удасться пояснити в моделі незалежних частинок, хоча сама ідея використання цієї моделі для опису ядра, що складається із сильновзаємодіючих нуклонів, на перший погляд здається спірною.

Нижче розглянуті дві моделі незалежних частинок: найпростіша – ядерний фермі-газ і більш складна – модель ядерних оболонок. Обидві ці моделі відносяться до класу одночастинкових моделей, тому що в них описується рух окремої частинки в самоузгодженому полі всіх інших частинок.

Найпростішою моделлю незалежних частинок є модель фермі-газу, в якій розглядається рух невзаємодіючих нуклонів у полі усередненої потенціальної ями. Ця модель дозволяє пояснити найпростіші періодичні властивості ядер (симетрія в числі протонів і нейтронів, залежність стійкості ядра від парності чи непарності нуклонів, що містяться в ньому, нульовий спін і магнітний момент у парно-парних ядер). У моделі ядерного фермі-газу замість складної картини, що є суперпозицією індивідуальних нуклон-нуклонних взаємодій, розглядається рух нуклонів, які не взаємодіють між собою у полі усередненої потенціальної

ями із шириною R r0 A13 і глибиною U0 (~40 МеВ), при якій вона повинна

утримувати нуклони в межах радіуса ядра R.

Вище відзначалося, що своєрідна періодичність у властивостях ядер, подібна з періодичною зміною властивостей атомів, дозволяє припустити, що подібно атому атомні ядра мають оболонкову структуру. Відповідну модель атомного ядра називають оболонковою моделлю чи моделлю ядерних оболонок.

Оболонкова модель ядра була розвинута Марією Гепперт-Майєр і іншими вченими. У цій моделі нуклони вважаються такими, що рухаються незалежно один від одного в усередненому центрально-симетричному полі. В оболонковій

20