3. МЕХАНИКА

22

Для проверки этого закона необходимо убедиться в том, что отношения S1 t1 и S2 t2 для двух значений пути совпадают в пределах погрешностей из-

мерений.

2. Закон пути при равноускоренном движении: при движении тела с постоянным ускорением a без начальной скорости отношение пути, пройденного телом к квадрату времени, за который этот путь пройден, постоянно

∆m2 = mn2 + mn1 в двух опытах, mn1 и mn2 - массы перегрузов, которые необходимо положить на грузы для придания им ускорения ( mn2 > mn1). Соотношение

(3) следует из II закона Ньютона ma = F и закона равноускоренного движения

(2) при условии, что масса системы не изменяется при перекладывании перегрузков, а движущие силы равны F1 = (mn2 −mn1)g и F2 = (mn2 + mn1)g .

Порядок выполнения работы

1.Проверка закона пути при равномерном движении

1.Установить кольцо 6 (рис. 1.) на расстоянии 25 ÷ 30 см от начала шкалы. Проверить центровку установки: груз «П» должен проходить через центр кольца, не касаясь его. При необходимости отцентрировать установку при помощи установочных винтов 9. Подставку 7 установить на расстоянии 30 ÷ 35 см от кольца.

2.Собрать электрическую схему, приведенную − 1на рис. 2. Для этого клеммы блока питания (БП)

3. Опустить груз «Л» в крайнее нижнее положение и включить ключ Кл, зафиксировав тем самым положение грузов. На груз

«П» положить перегрузок. Установить нуль на секундомере, нажав на кнопку «сброс».

24

меньшей массы, а на груз «П» перегрузок mп2 большей массы (mп2 > mп1). В этом случае на систему грузов будет действовать результирующая сила

F1 = (mn2 −mn1)g .

2.Измерить по методике упражнения 2 время t1 , затраченное грузом «П» на прохождения им пути, из состояния покоя до подставки под действием силы F1.

3.Переложить перегрузок с груза «Л» на груз «П». Масса системы при этом не изменится, а результирующая сила станет равной F2 = (mn2 + mn1)g . Измерить

по методике п. 2 время t2 движения системы в этом случае.

4. Результаты измерений оформить в виде таблицы, заменив S1 → mn2 −mn1 и

S1 → mn2 + mn1 .

5.Рассчитать средние значения и погрешности прямых измерений.

6.Проверить выполнение соотношения (3). Оценить погрешности измерений по формулам (20 - 22). Правильно записать результаты измерений и сделать выводы.

Вопросы для допуска

1.Сформулируйте цели работы.

2.Опишите назначение и устройство машины Атвуда.

3.Дайте определение равномерного и равноускоренного движения. Как эти движения реализуются на машине Атвуда?

4.Опишите принципы проверки законов равномерного и равноускоренного движений в данной работе.

5.Сформулируйте II закон Ньютона. Как этот закон проверяется в данной работе?

6.Какие прямые измерения и какими приборами проводятся в данной работе при выполнении разных упражнений?

Контрольные вопросы и задания

1.Перечислите способы задания движения материальной точки в кинематике.

2.Дайте определение основных понятий кинематики: перемещение, скорость, ускорение, траектория, средняя скорость, пройденный путь.

3.Сформулируйте основные законы равномерного и равноускоренного прямолинейного движения. Приведите основные формулы для этих движений.

4.Расскажите о нормальном и тангенциальном ускорении. Как они находятся?

5.Расскажите о кинематике вращательного движения точки по окружности. Как между собой связаны угловые и линейные величины (скорости и ускорения)?

6.Дайте определение силы и массы. Поясните смысл этих величин. Расскажите, какими факторами характеризуется действие силы.

7.Перечислите свойства сил, изучаемые в механике: тяжести, упругости, реакции опоры, трения, натяжения нити.

8.Сформулируйте законы Ньютона и принцип относительности Галилея.

9.Выведите уравнение движения грузов на машине Атвуда.

25

10. Выведите рабочие формулы и формулы для расчета погрешностей.

Приложение

1. Механика машины Атвуда. На рис. 3 приведена схема машины Атвуда. На грузы действуют силы тяжести и натяжения нити, направленные

Таким образом, под действием перегрузка, грузы в машине Атвуда движутся с постоянным ускорением а. Если в процессе движения перегрузок снять, то ускорение становится равным нулю и дальнейшее движение грузов будет равномерным со скоростью, равной скорости грузов в момент снятия перегрузка. Эти особенности движения грузов используются для проверки законов равномерного и равноускоренного движения и II закона Ньютона.

2. Проверка закона пути при равномерном движении. При равно-

мерном прямолинейном движении тело за равные промежутки времени проходит равные пути. Для проверки закона пути необходимо удостоверится, что отношение пути S, пройденного телом ко времени t, за который этот путь пройден, постоянно, т. е. если измерить время t1 и t2 прохождения двух отрезков пути S1 и S2, то отношения S1 t1 и S2 t2 должны совпадать в пределах их по-

грешностей.

26

В экспериментах измеряются величины S1, S2, t1 и t2 с погрешностями ∆S1 , ∆S2 , ∆t1 и ∆t2 , которые рассчитываются как погрешности прямых измерений.

Считается, что закон равномерного движения проверен, если выполнено соотношение (10).

3. Проверка закона пути при равноускоренном движении. Уско-

рением называется векторная физическая величина, определяющая изменение

При движении тела с постоянным ускорением а без начальной скорости, зависимость пройденного телом пути S от времени t определяется выражением

Отсюда следует, что отношение пути, пройденного телом при равноускоренном движении без начальной скорости, к квадрату времени, за который этот путь пройден, постоянно

В экспериментах измеряются величины S1, S2, t1 и t2 с погрешностями ∆S1 , ∆S2 , ∆t1 и ∆t2 , которые рассчитываются как погрешности прямых измерений.

Погрешности отношений S1 t12 и S2 t22 определяются по формулам

Считается, что закон равноускоренного движения проверен, если выполнено соотношение (15).

3. Проверка второго закона Ньютона. По II закону Ньютона ускоре-

ние тела прямо пропорционально приложенной к нему силе и обратно

29

хранения импульса не выполняется. Однако момент силы реакции относительно оси подвеса равен нулю, и, следовательно, выполняется закон сохранения момента импульса.

На рис. 2 схематически представлен вид сверху баллистического маятника

Таким образом, из закона сохранения момента импульса следует, что если импульс пули постоянен, то отношение плеча импульса к максимальному углу отклонения маятника постоянно. Следовательно, для проверки закона сохранения момента импульса, необходимо при постоянном импульсе пули измерить максимальные углы отклонения αm1 , αm2 ,… для различных значений плеч им-

пульса l1, l2,…, и проверить справедливость равенства

Порядок выполнения работы

1.Укрепить мишень 6 возле конца стержня крестовины маятника.

2.Зарядить пружинный пистолет пулькой и установить его против мишени на расстоянии 3 - 5 см, перпендикулярно стержням крестовины.

Линейкой измерить расстояние l от места попадания пули до оси маятника. Повторить опыт 5 раз. Результаты занести в таблицу 1.

30

4.Передвигая мишень к оси маятника каждый раз на 5-7 см, повторить измерения п. 3 еще для двух положений мишени.

5.Рассчитать средние значения и погрешности прямых измерений.

6.Проверить выполнение закона сохранения момента импульса согласно рабочей формуле (4).

7.Оценить погрешности косвенных вычислений, правильно записать результаты измерений и сделать выводы.

Вопросы для допуска

1.Сформулируйте цель работы.

2.Опишите устройство баллистического маятника.

3.Дайте определение импульса и момента импульса тела.

4.Сформулируйте законы сохранения импульса, момента импульса и механической энергии.

5.Почему в данной работе не выполняется закон сохранения импульса и механической энергии при ударе пули?

6.Как в данной работе проверяется закон сохранения момента импульса?

7.Какие прямые измерения и как проводятся в данной работе.

Контрольные вопросы и задания

1.Дайте определения момента импульса и момента силы, приведите соответствующие формулы и рисунки.

2.Сформулируйте и объясните законы сохранения импульса, момента импульса и полной механической энергии.

3.Всегда ли эти законы выполняются одновременно? Приведите соответствующие примеры.

4.Сформулируйте и объясните основной закон вращательного движения твердого тела.

5.Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии тела.

6.Как обеспечивается в этой работе постоянство импульса пули?

7.Выведите рабочую формулу для проверки закона сохранения момента импульса и формулы для расчета погрешностей.

8.Опишите устройство баллистического маятника.

9.Выведите формулу для потенциальной энергии деформированной пружи-

ны.

10.Выведите формулу для кинетической энергии вращающегося тела.

31

11. Перечислите виды удара и опишите, какие законы сохранения выполняются при разных ударах. Приведите примеры.

Приложение

1. Момент импульса и момент силы. Вращательное движение тела характеризуется специальной физической величиной, которая называется мо-

ментом импульса L . Момент импульса частицы относительно центра вращения определяется векторным произведением ее радиус-вектора и импульса

Моментом силы M относительно центра О называется векторное произ-

первое слагаемое тождественно равно нулю. С учетом принятых обозначений получим следующее уравнение для моментов импульса и силы

Отсюда после интегрирования можно получить закон изменения момента импульса материальной точки

32

Закон (11) показывает, что изменение момента импульса ∆L системы равно интегралу по времени от момента действующей силы. Из этого закона вытекают важные практические следствия:

−в замкнутой системе момент импульса сохраняется;

−если момент сил скомпенсирован, то момент импульса сохраняется;

−если сила центральная, то ее момент равен нулю и момент импульса сохраняется.

Можно показать, что соотношение (11) справедливо для системы материальных точек и для твердого тела. Закон (11) является одним из важнейших законов механики вращательного движения.

3. Вывод рабочей формулы. Для крутильного баллистического маятника (рис. 2) при ударе пули закон сохранения импульса не выполняется, а выполняется закон сохранения момента импульса. Это происходит потому, что во время удара в подвесе маятника возникает сила реакции, которая приводит к изменению импульса. Однако момент этой силы относительно оси вращения маятника равен нулю, поэтому момент импульса сохраняется.

До удара момент импульса пули равен mvl , где m и v - масса и скорость пули, l - плечо импульса пули (расстояние от оси вращения маятника до точки удара пули). Сразу после удара момент импульса системы будет равен

(Jm + Jn )ω0 ,

где ω0 - угловая скорость вращения системы; Jm и Jn - соответственно моменты

инерции маятника и пули относительно оси вращения маятника О. Обычно Jm >> Jn и тогда закон сохранения момента импульса можно записать в виде

Столкновение пули с маятником абсолютно неупругое, после которого тела движутся как единое целое. При таком столкновении закон сохранения механической энергии не выполняется. Однако колебания маятника после столкновения происходят под действием упругой силы, которая является потенциальной. Поэтому при колебаниях маятника выполняется закон сохранения механической энергии

где Ek = Jmω2 2 - кинетическая энергия вращательного движения маятника, а Ep = kα22 - потенциальная энергия деформации кручения подвеса, ω - угловая

скорость маятника, α - угол отклонения маятника, k - модуль кручения подвеса. По закону Гука для деформации кручения, момент упругих сил относительно оси вращения, возникающий при этой деформации, пропорционален углу поворота φ: M = −kϕ, где k - модуль кручения. Чтобы повернуть пружину

на угол dϕ надо совершить работу dA = kϕdϕ. Для поворота пружины из равновесного положения на угол α необходимо совершить работу

мированной пружины Ep = kα22.

Сразу после удара пули маятник имеет только кинетическую энергию, ко-

Считается, что закон сохранения момента импульса проверен, если выполнено соотношение (17).

Литература

1.Андроникашвили Э. Л. Лабораторные работы по физике. -М.: ГИФИЛ,

1961. – С. 37-41.

2.Савельев И.В. Курс общей физики: Учеб. пособие. т. 1. Механика.- М.:

Наука, 1988. - С. 75 – 97, 100 - 111

34

3.3.Лабораторная работа № 3 «Проверка теоремы Гюйгенса – Штейнера»

Цель работы. Экспериментально проверить теорему Гюйгенса – Штейнера. Приборы и принадлежности. Установка для изучения крутильных и обычных колебаний, стержень с призмами на концах, диск, штангенциркуль,

измерительная линейка, секундомер.

Описание установки

Лабораторная установка состоит из штатива 1, на котором укреплена горизонтально

трубка 2 (рис. 1). На одном конце трубки закреплена вилка 3 с опорами под призмы 4 стержня 5 для изучения его колебаний. На другом конце трубки укреплен зажим 6 подвеса 7 для исследования крутильных колебаний. К концу подвеса при помощи зажима 8 поочередно прикрепляются вспомогательный диск 9 и исследуемый стержень 5. Крутильные колебания возбуждаются кратковременным натяжением шнура

10, связанного с подвесом 7.

Рис. 1

Методические указания

Момент инерции стержня J1 , относительно оси, проходящей через его конец, можно определить, измерив период его колебаний Т1 относительно этой оси

где g – ускорение свободного падения, L2 - расстояние от оси колебаний до

центра масс стержня.

Момент инерции стержня J2 относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его центр масс, определяют, измерив период его крутильных колебаний Т2 в горизонтальной плоскости относительно оси подвеса 7, проходящей через середину стержня

35

где k – постоянная для этого подвеса величина, называемая модулем кручения. Для исключения величины k из уравнения (2), измеряют период колебаний

диска относительно его оси симметрии на этом же подвесе

где Jd = MD28– момент инерции диска диаметром D и массой М.

Из (2) с учетом (3) и Jd получаем формулу для момента инерции стержня

Так как расстояние между осями колебаний стержня a = L2, то для про-

верки теоремы Гюйгенса – Штейнера необходимо проверить выполнение равенства

Порядок выполнения работы

1.Измерить массы т и М стержня и диска на технических весах. Результаты измерений занести в табл. 1 и 3. Оценить погрешности взвешивания тел.

2.Измерить штангенциркулем диаметр D диска и линейкой расстояние L между внутренними ребрами призм стержня. Результаты измерений занести в табл. 1 и 3. Оценить погрешности измерений.

3.Одну из призм стержня установить на опоры вилки 3 (рис. 1). Вывести стержень из положения равновесия, отклонив его на небольшой угол, и измерить время десяти полных колебаний стержня. Результаты занести в табл. 1. Опыт повторить 5 раз. По результатам измерений определить среднее время t1

и период колебаний Т1. Оценить погрешности прямых и косвенных измерений. 4. Привинтить стержень в средней части к зажиму 8 на конце подвеса 7. Вывести стержень из положения равновесия кратковременным натяжением шнура 10. Измерить время десяти полных колебаний стержня. Результаты занести в табл. 2. Опыт повторить 5 раз. По результатам измерений определить среднее время t2 и период колебаний Т2. Оценить погрешности прямых и косвенных

измерений.

5. Привинтить диск к зажиму 8. Вывести диск из положения равновесия кратковременным натяжением шнура 10. Измерить время десяти полных колебаний диска. Результаты занести в табл. 3. Опыт повторить 5 раз. По результатам измерений определить среднее время td и период колебаний Тd. Оценить

погрешности прямых и косвенных измерений.

6.По формулам (1) и (4) рассчитать моменты инерции стержня J1 и J2 относительно разных осей.

7.Проверить выполнение теоремы Гюйгенса – Штейнера согласно рабочей формуле (5).

36

8. Оценить погрешности косвенных вычислений, правильно записать результаты измерений и сделать выводы.

1

…

5

1

…

5

1

…

5

Вопросы для допуска

1.Сформулируйте цель работы.

2.Дайте определение момента инерции точки, системы точек и тела.

3.Сформулируйте теорему Гюйгенса – Штейнера.

4.Как в данной работе проверяется теорема Гюйгенса – Штейнера?

5.Покажите, относительно каких осей вращения определяются моменты инерции стержня. Как это делается в данной работе?

6.Как определяются периоды колебаний стержня и диска?

7.Зачем в данной работе используется диск?

8.Какие величины и как измеряются непосредственно в этой работе?

Контрольные вопросы и задания

1.Что называется моментом инерции твердого тела? Каков его физический смысл?

2.Запишите основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела и объясните его.

37

3.Выведите формулу для момента инерции тонкого однородного стержня относительно оси, проходящей через его центр масс, перпендикулярно стержню.

4.Выведите формулу для момента инерции тонкого однородного стержня относительно оси, проходящей через его конец.

5.Выведите формулу для момента инерции диска относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно диску.

6.Докажите теорему Гюйгенса – Штейнера.

7.Выведите уравнение колебаний стержня относительно оси, проходящей через его конец.

8.Выведите уравнение крутильных колебаний стержня, подвешенного на упругом подвесе.

9.Выведите выражение для кинетической энергии вращающегося тела.

10. Выведите выражение для кинетической энергии колеса, которое катится без скольжения.

Приложение

1. Момент инерции. Момент инерции характеризует инертные свойства тел при их вращательном движении, подобно тому, как масса характеризует инертные свойства при поступательном движении тел.

Моментом инерции J материальной точки относительно оси называется произведение массы точки m на квадрат расстояния r до оси

Чтобы найти момент инерции твердого тела, в котором масса распределена непрерывно по объему тела V с плотностью ρ, надо тело разбить на элементар-

ные массы dm = ρdV , найти моменты инерции этих масс dJ = ρr2dV , а затем сложить их, т.е. проинтегрировать по объему тела

его длине и равна dm = m drl . Момент инерции стержня найдем интегрированием по его длине с учетом симметрии задачи по формуле