Литература / Олейник.Лекции по дискретной математике / вариант .doc / Глава 2 / Глава 2 / Параграф 2.12

2.12. Критерий полноты (теорема Поста)

Классы , , , , называют классами Поста.

Утверждение 1. Классы Поста неполны и попарно различны.

Доказательство. Предположим, что какой-то из классов Поста полон. Тогда любая функция принадлежит его замыканию, а, следовательно, в силу его замкнутости, и ему самому. Но это не так. Например, штрих Шеффера не принадлежит ни одному из классов Поста.

Чтобы убедиться в попарном различии классов Поста, составим таблицу, столбцы которой соответствуют классам , , , , , строки – функциям , а в клетках проставляется «+» или «–» в зависимости от того, принадлежит ли функция соответствующему классу или не принадлежит.

	+	–	–	+	+
	–	+	–	+	+
	–	–	+	–	+

Как видно из таблицы, для каждой пары классов найдется функция, принадлежащая одному классу из пары и не принадлежащая другому. ■

Теорема (Поста). Для того чтобы система функций была полна, необходимо и достаточно, чтобы множество не являлось подмножеством ни одного из классов Поста.

Доказательство. Необходимость. Пусть система полна. Докажем, что , , , , . Доказательство проведем от противного: предположим, что - подмножество одного из классов Поста. Обозначим этот класс . Имеем:

.

Следовательно, . т.е. . Но это не так, хотя бы потому, что штрих Шеффера не принадлежит ни одному из классов Поста. Получили противоречие, следовательно, наше предположение было неверным.

Достаточность. Пусть , , , , .Тогда найдутся функции такие, что , , , , . Покажем, что отрицание и конъюнкцию можно реализовать формулами над множеством . Процедуру построения соответствующих формул покажем в виде схемы:

Таким образом, конъюнкцию и отрицание можно реализовать формулой над . Имеем: - полная система, причем каждая ее функция может быть выражена формулой над . Следовательно, условия теоремы о полноте выполнены и, значит, - полная система. ■

Следствие. Всякий замкнутый класс функций, не совпадающий с , содержится, по крайней мере, в одном из классов Поста.

Определение. Класс называется предполным классом, если:

1. неполон;

2. добавление к любой функции, ему не принадлежащей, приводит к образованию полного множества.

Справедливо утверждение, которое мы приводим без доказательства.

Утверждение 2. Предполными являются классы Поста и только они.

Определение. Система функций называется базисом, если:

1. -полна;

2. при удалении из системы хотя бы одной функции, полнота теряется.

Примеры. 1. - дизъюнктивный базис Буля.

2. - конъюнктивный базис Буля.

3. - базис Шеффера.

4. - базис Жегалкина.

27