Литература / Олейник.Лекции по дискретной математике / вариант .doc / Глава 2 / Глава 2 / Введение к главе 2
.docГлава 2. Булева алгебра
Введение. Логика высказываний и логика предикатов
Любая научная теория воспринимается нами как некоторая система понятий и утверждений. Истинность каждого утверждения нуждается в доказательстве, которое в математике проводится с использованием логических средств. Именно эти логические средства изучает раздел математики, называемый математической логикой. Исходным понятием математической логики является понятие высказывания.
Под высказыванием принято понимать повествовательное предложение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно.
Например, предложение «» - истинное высказывание. Предложение «» - ложное высказывание. Предложения «» и «Студенты, ходите на лекции!» высказываниями не являются.
В математической логике интересуются не содержанием высказывания, а его истинностным значением, т.е. его истинностью или ложностью. Для истинностных значений будем использовать следующие обозначения: «1» для истинности и «0» для ложности.
Введем в рассмотрение основные логические связки:
Название |
Прочтение |
Обозначение |
Отрицание |
не |
|
Конъюнкция |
и |
|
Дизъюнкция |
или |
|
Импликация |
если … то |
|
Эквиваленция |
тогда и только тогда, когда |
|
Используя логические связки, из одного или двух высказываний можно образовать новое высказывание, осуществив тем самым логическую операцию. При этом истинностные значения образованных высказываний определяются только истинностными значениями составляющих их высказываний, а не их смыслом.
Пусть и высказывания. Введем основные логические операции над высказываниями.
Название |
Обозначение |
Прочтение |
Когда высказывание, полученное в результате операции, истинно |
Когда высказывание, полученное в результате операции, ложно |
Отрицание |
() |
не |
если ложно |
если истинно |
Конъюнкция и |
|
и |
и оба истинны |
в остальных случаях |
Дизъюнкция и |
или |
в остальных случаях |
и оба ложны |
|
Импликация и |
если , то ( влечет , из следует ) |
в остальных случаях |
истинно, ложно |
|
Эквиваленция и |
тогда и только тогда когда ( эквивалентно ) |
и имеют одинаковые значения истинности |
в остальных случаях |
Операции удобно задавать с помощью таблиц истинности.
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Высказывательными переменными будем называть такие переменные, значениями которых могут быть любые высказывания. Обозначать высказывательные переменные будем заглавными буквами латинского алфавита и так далее.
Введем, кроме того, две специфические высказывательные переменные И и Л. Множество значений переменной И ограничим истинными высказываниями, а множество значений переменной Л - ложными высказываниями.
Определение. Понятие формулы алгебры высказываний определим индуктивно следующими соглашениями:
-
Каждая отдельно взятая высказывательная переменная есть формула.
-
Если и - две формулы, то выражения , , , , , также являются формулами.
-
Не существует никаких других формул, кроме тех, которые получаются в результате применения конечного числа раз пп. 1 и 2.
Например, формулами являются следующие выражения: , .
Запись внешних скобок у формулы будем считать необязательным, если только эта формула не входит составной частью в более сложную формулу.
Для каждой формулы можно составить таблицу истинности, т.е. таблицу, дающую значение истинности формулы в зависимости от значений истинности входящих в нее переменных.
Пример 1. Составить таблицу истинности формулы
.
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
Таким образом, значение истинности данной формулы равно 1 при любых значениях истинности высказывательных переменных. Формулы, обладающие таким свойством, называются тавтологиями.
Упражнение. Показать, что следующие формулы являются тавтологиями:
1. .
2. .
Значение тавтологий состоит, в частности, в том, что они дают правильные способы умозаключений. Например, схема логического умозаключения, выражаемого тавтологией , часто используется в математике и носит название «доказательство от противного».
Определение. Две формулы и алгебры высказываний называются равносильными, если при любых значениях истинности переменных истинностные значения высказываний и совпадают.
То, что формулы и равносильны, обозначают так: .
Пример 2. Доказать равносильность формул и .
Для каждой из данных формул составим таблицу истинности:
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
Сравнивая таблицы, видим, что указанные формулы равносильны.
Существует связь между понятием тавтологии и понятием равносильности формул. Она заключается в следующем: формулы и равносильны тогда и только тогда, когда формула является тавтологией.
Утверждение. Пусть - произвольные высказывания. Имеют место равносильности:
1. ;
2. ;
3.;
4. ;
5.;
6. ;
7. ; 8. ;
9. ; 10. ;
11. ; 12. ;
13. ; 14. ;
15. ; 16. ;
17. ; 18. ;
19. .
В качестве упражнения рекомендуем самостоятельно доказать перечисленные равносильности, взяв за образец решение примера 2.
Определение. Предложение, в которое входят переменных и которое при замене переменных возможными для них значениями становится высказыванием, называется -местным предикатом ().
При задании предиката обязательно указывается множество возможных значений переменных; это множество называется областью определения предиката.
Заметим, что 0 - местный предикат является высказыванием.
В дальнейшем одноместные предикаты с переменной будем обозначать через , и т.д., с двумя переменными , - через , и т.д., -местный предикат с переменными - через . Однако часто пишут просто , .
Пусть - -местный предикат с областью определения .
Подмножество множества , состоящее из тех значений переменных, при которых данный предикат превращается в истинное высказывание, называется областью истинности предиката и обозначается .
Подмножество множества , состоящее из тех значений переменных, при которых данный предикат превращается в ложное высказывание, называется областью ложности предиката и обозначается .
Пример 3. Предложение «, где является действительным числом» является одноместным предикатом, определенным на множестве действительных чисел. Его множество истинности состоит из двух чисел и . Следовательно, обозначив данный предикат через , можем записать: и .
Предикат с областью определения называют тождественно истинным, если при любых значениях переменных из он превращается в истинное высказывание.
Предикат с областью определения называют тождественно ложным, если при любых значениях переменных из он превращается в ложное высказывание.
Предикаты и , определенные на одном множестве , называются равносильными, если их множества истинности совпадают. Равносильность предикатов и обозначается так: .
Пример 4. Предикат : «» с областью определения равносилен предикату : «» с той же областью определения, поскольку .
Определение. Пусть и - два предиката с общей областью определения . Говорят, что есть следствие , если .
Пример 5. Предикат : «» с областью определения есть следствие предиката : «» с той же областью определения, поскольку .
Пусть - предикат с областью определения и - предикат с областью определения . Введем основные логические операции над предикатами. Результатом каждой такой логической операции над предикатом (в случае унарной операции) или предикатами и (в случае бинарной операции) является новый предикат, определенный следующим образом.
Название |
Обозначение |
Прочтение |
Область определения предиката, полученного в результате операции |
Множество истинности предиката, полученного в результате операции |
Отрицание |
() |
не |
||
Конъюнкция и |
|
и |
||
Дизъюнкция и |
или |
|||
Импликация и |
если , то ( влечет , из следует ) |
|||
Эквиваленция и |
тогда и только тогда когда ( эквивалентно ) |