Литература / Олейник.Лекции по дискретной математике / вариант .doc / Глава 2 / Глава 2 / параграф 2

2.1. Понятие булевой функции

Определение. Упорядоченный набор , где , называется булевым вектором.

Числа называются координатами вектора, число - его длиной. Для булева вектора используется краткое обозначение .

Множество всех булевых векторов длины есть единичный -мерный куб (мы уже рассматривали его в параграфе 1.2). Напомним, что мы обозначили его и показали, что .

Пусть . Положим . Число называется номером булева вектора.

Определение. Функция, определенная на и принимающая значения из множества , называется булевой функцией от переменных.

Для обозначения булевых функций используют строчные латинские буквы. Пишут: , , , , .

Чтобы задать булеву функцию от переменных достаточно для каждого набора значений аргументов указать соответствующее значение функции. Это удобно делать с помощью таблицы, в строках которой перечислены всевозможные булевы вектора длины и для каждого набора указано значение функции на этом наборе:

0	0		0	0
0	0		0	1
0	0		1	0
1	1		1	1

Такая таблица называется таблицей истинности функции. Булевы вектора в таблице истинности обычно располагают в порядке возрастания их номеров.

Таблицы, задающие булевы функции от одного числа аргументов, отличаются лишь последним столбцом. Поэтому булеву функцию можно также задавать в виде вектора значений, который выписывается по правому столбцу ее таблицы истинности. Поскольку помимо строки заголовков таблица содержит строк (столько, сколько имеется булевых векторов длины ), то вектор значений булевой функции от переменных имеет длину .

Утверждение. Число булевых функций от переменных равно .

Доказательство. Булевых функций от переменных столько, сколько булевых векторов длины , т.е. . ■

Множество булевых функций от переменных обозначают , множество всех булевых функций - .

Пример 1. Ниже функция от двух переменных задана в виде таблицы истинности и в виде вектора значений.

0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

.

То есть, имеем:

, ,

, .

Примеры булевых функций

1. Функции одной переменной. Их число: .

0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

Названия функций:

- константа 0;

- тождественная функция;

- отрицание (читается «не »), другое обозначение ;

- константа 1;

2. Функции двух переменных. Их число: .

0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0

0	0	1	1	1	1	1
0	0	0	1	1	1	1
1	0	1	0	0	1	1
1	0	1	0	1	0	1

Остановимся подробнее на тех функциях двух переменных, которые наиболее часто будут использоваться в дальнейшем:

	Обозначение	Название	Прочтение
		конъюнкция	« и »
		сложение по модулю 2	« плюс »
		дизъюнкция	« или »
		стрелка Пирса	«не или »
		эквивалентность	« эквивалентно »
		импликация	« имплицирует »
		штрих Шеффера	«не и »

Функции , , , , , , , , , , обычно называют элементарными. Символы , участвующие в их обозначении, называют логическими связками.

Определение. Говорят, что функция зависит существенным образом от аргумента , если существуют такие значения переменных , что

.

В этом случае переменная называется существенной переменной. В противном случае ее называют несущественной или фиктивной.

Пример 2. Для функции переменная - фиктивная, а - существенная.

0	0	1
0	1	0
1	0	1
1	1	0

Действительно, имеем:

, , следовательно, - фиктивная;

, следовательно, - существенная.

Операция удаления (введения) фиктивных переменных. Пусть для функции переменная является фиктивной. Возьмем таблицу истинности функции и на ее основе построим новую таблицу, вычеркнув все строки, в которых , а также вычеркнув столбец переменной . Полученная таким образом таблица будет определять некоторую функцию , причем на любом наборе значений переменных для функций и выполняется равенство . Говорят, что функция получена из функции путем удаления фиктивной переменной, а также, что получена из путем введения фиктивной переменной.

Определение. Функции и называются равными, если функцию можно получить из функции путем введения или удаления фиктивных аргументов.

Факт, что функции и равные, обозначают так: .

Пример 3. Для функции переменная - существенная, а - фиктивная. Вычеркиваем из таблицы истинности функции строчки и столбец, закрашенные серым цветом, получим таблицу истинности для функции . Функции и равны.

0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	0

0	1
1	0

Замечания. 1. Далее, если число переменных специально не оговаривается, функции рассматриваются с точностью до фиктивных переменных, т.е. предполагается, что с заданием некоторой булевой функции заданы все равные ей функции, и для обозначения равных функций используется один и тот же функциональный символ.