Скачиваний:
66
Добавлен:
16.04.2013
Размер:
137.22 Кб
Скачать

2.9. Класс самодвойственных функций и его свойства

Определение. Говорят, что булева функция самодвойственная, если .

Обозначим через множество самодвойственных функций от переменных, а через – множество всех самодвойственных функций; т.е. .

Например, ; .

Утверждение. Множество самодвойственных функций - замкнутый класс.

Доказательство. Наша задача показать, что . Согласно первому свойству замыкания . Докажем, что и , т.е., что любая булева функция, реализованная формулой над , самодвойственная. Поскольку класс содержит тождественную функцию, то нам достаточно показать, что функция , если . Имеем:

. ■

Лемма (о не самодвойственной функции). Пусть . Тогда формулой над множеством можно реализовать константы 0 и 1.

Доказательство. Пусть . Тогда существует такой набор значений переменных, что

или

,

и, значит,

. (1)

Рассмотрим функцию , где . Заметим, что , . И, значит,

;

.

Учитывая равенство (1), получим , т.е. - константа, - другая константа. ■

Введем условное обозначение алгоритма, использованного для доказательства леммы :

Упражнения. 1. Выяснить, сколько имеется самодвойственных функций от переменных.

2. Рассмотреть работу леммы на примере функции .

Решение. Для удобства рассуждений зададим функцию таблично, а также реализуем в виде СКНФ:

.

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

Заметим, что , следовательно, . Следуя лемме, рассмотрим функцию

.

.

22

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке Глава 2